鄭艷 石樹(shù)偉

摘要：由一道限定工具作圖題反思初中尺規(guī)作圖教學(xué)的現(xiàn)狀、價(jià)值與方法。尺規(guī)作圖作法的生成過(guò)程是應(yīng)用幾何原理解決新問(wèn)題的過(guò)程，也是執(zhí)果索因思考的過(guò)程，可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力、探索性思維以及應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)。因此，尺規(guī)作圖教學(xué)不應(yīng)該局限于技能的傳授，而應(yīng)該讓學(xué)生充分經(jīng)歷作法的生成過(guò)程。

關(guān)鍵詞：限定工具作圖;尺規(guī)作圖;作圖道理;作一個(gè)角的平分線(xiàn)

一、九年級(jí)學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)中的一道限定工具作圖題

近日，一次九年級(jí)學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)中有這樣一道限定工具作圖題：

如圖1，∠AOB放置在正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、O、B在格點(diǎn)上。請(qǐng)你僅用無(wú)刻度的直尺畫(huà)出∠AOB的角平分線(xiàn)，保留畫(huà)圖痕跡并說(shuō)明理由。

解決本題的思路分析如下：

僅用無(wú)刻度的直尺畫(huà)∠AOB的角平分線(xiàn)，需充分借助網(wǎng)格并利用相關(guān)幾何性質(zhì)。初中幾何與平分角相關(guān)的性質(zhì)主要有 “菱形對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角”和“等腰三角形三線(xiàn)合一”。因此，可以借助網(wǎng)格構(gòu)造菱形（如圖2）或等腰三角形（如下頁(yè)圖3）解決本題。

考試中本題的答題情況很不理想。考試后有學(xué)生反映：僅有直尺沒(méi)有圓規(guī)，而直尺無(wú)刻度只能用來(lái)連線(xiàn)，不知道從哪里畫(huà)起;雖然學(xué)過(guò)尺規(guī)作圖，但只需按指定步驟操作，不需要想怎么作，從沒(méi)有遇到過(guò)這類(lèi)問(wèn)題，不知道從哪里想起。

其實(shí)，尺規(guī)作圖也屬于限定工具作圖。由此，引發(fā)筆者對(duì)當(dāng)前初中尺規(guī)作圖教學(xué)的反思。

二、對(duì)尺規(guī)作圖教學(xué)的反思

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》規(guī)定的初中尺規(guī)作圖內(nèi)容，主要包括四個(gè)方面：一是利用尺規(guī)完成一些基本作圖（包括作一條線(xiàn)段等于已知線(xiàn)段，作一個(gè)角等于已知角，作一個(gè)角的平分線(xiàn)，作一條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)，過(guò)一點(diǎn)作已知直線(xiàn)的垂線(xiàn)）;二是利用基本作圖作三角形（具體內(nèi)容省略）;三是利用基本作圖完成一些與圓相關(guān)的作圖（具體內(nèi)容省略）;四是“在尺規(guī)作圖中，了解作圖的道理，保留作圖的痕跡，不要求寫(xiě)出作法”。其與之前的教學(xué)大綱和課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）相比，最大的變化是要求學(xué)生了解作圖的道理（比如，作一個(gè)角等于已知角、作一個(gè)角的平分線(xiàn)、作一條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)、過(guò)一點(diǎn)作已知直線(xiàn)的垂線(xiàn)等基本作圖的原理就是三角形全等）。

但是，現(xiàn)行教材僅提供了規(guī)范的作法和保留痕跡的作圖示范，教師的教學(xué)受到習(xí)慣的影響，僅教給學(xué)生作法，將尺規(guī)作圖當(dāng)技能來(lái)訓(xùn)練——尤其是對(duì)利用尺規(guī)完成一些基本作圖而言。調(diào)查發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)在大部分學(xué)生沒(méi)有想過(guò)為什么這樣作圖，更不用說(shuō)知道怎么想到這樣作的。在許多學(xué)生心目中，尺規(guī)作圖只需按步驟操作，尺規(guī)作圖是“不講道理的數(shù)學(xué)”。也就是說(shuō)，“了解作圖的道理”這一課標(biāo)教學(xué)要求沒(méi)有完全落實(shí)到位。

（一）信息時(shí)代尺規(guī)作圖的教學(xué)價(jià)值

張奠宙先生指出，數(shù)學(xué)“雙基”要與時(shí)俱進(jìn)。過(guò)去，工程繪圖、工藝設(shè)計(jì)、教師教學(xué)、學(xué)生學(xué)習(xí)要繪制精準(zhǔn)圖形，必須用尺規(guī)作圖，因此，尺規(guī)作圖是學(xué)生未來(lái)繼續(xù)學(xué)習(xí)和參加工作必備的基本技能?，F(xiàn)在，信息技術(shù)飛速發(fā)展，各種繪圖軟件易學(xué)又好用，日?？蒲小⑸a(chǎn)、教學(xué)中的手工繪圖已經(jīng)基本上被計(jì)算機(jī)所替代，可以說(shuō)，尺規(guī)作圖已經(jīng)不再是現(xiàn)代學(xué)生的必備技能。

那么，尺規(guī)作圖的教學(xué)價(jià)值又在哪里呢？就在“了解作圖的道理”中。尺規(guī)作圖教學(xué)不僅要讓學(xué)生在作圖之后知道為什么這樣作，而且要讓學(xué)生在作圖之前知道怎么想到這樣作。尺規(guī)作圖作法的生成過(guò)程，是應(yīng)用幾何原理解決新問(wèn)題的過(guò)程，也是執(zhí)果索因思考的過(guò)程，可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力、探索性思維以及應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)。

尺規(guī)作圖教學(xué)中，經(jīng)歷作法的生成過(guò)程對(duì)學(xué)生應(yīng)用幾何原理解決其他作圖問(wèn)題有較大的幫助，可以為學(xué)生提供作法分析策略的宏觀(guān)指導(dǎo)和作法分析過(guò)程的具體示范。例如，對(duì)于文章開(kāi)頭提到的限定工具作圖題，學(xué)生首先要想哪些幾何結(jié)論可以得到角平分線(xiàn)或角相等，然后要分析哪個(gè)結(jié)論能用來(lái)在網(wǎng)格中僅用無(wú)刻度的直尺作出角平分線(xiàn)：用菱形對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角需考慮在網(wǎng)格中能否僅用直尺構(gòu)造菱形，用等腰三角形“三線(xiàn)合一”需考慮在網(wǎng)格中能否僅用直尺構(gòu)造等腰三角形及其底邊中點(diǎn)。如果在尺規(guī)作圖教學(xué)中學(xué)生經(jīng)歷了作法的生成過(guò)程，那么在解決限定工具作圖問(wèn)題時(shí)學(xué)生會(huì)有意識(shí)地按照上述思路進(jìn)行分析。

其實(shí)，運(yùn)用信息技術(shù)作圖本質(zhì)上也是限定工具作圖，其限定的工具就是作圖軟件。有時(shí)，為了精準(zhǔn)作圖也需要充分利用幾何原理構(gòu)造圖形。例如，“正多邊形與圓”一節(jié)教學(xué)，教師在前期教學(xué)中已經(jīng)指導(dǎo)學(xué)生掌握了幾何畫(huà)板軟件的基本操作，學(xué)生已經(jīng)能夠在電腦上獨(dú)立使用幾何畫(huà)板軟件。課上，教師先讓學(xué)生運(yùn)用幾何畫(huà)板軟件繪制正三角形、正方形、正六邊形，然后有選擇地請(qǐng)部分學(xué)生通過(guò)幾何畫(huà)板軟件的“顯示/隱藏”功能展示自己的作圖方法，介紹自己的作圖思路及依據(jù)。學(xué)生的作圖方法可以分為兩種：（1）通過(guò)線(xiàn)段的擺放畫(huà)出正多邊形，這種作法形“似”神散，隨意拖動(dòng)正多邊形的任一頂點(diǎn)，圖形便會(huì)“散架”;（2）通過(guò)幾何關(guān)系構(gòu)造正多邊形（常見(jiàn)構(gòu)造方法見(jiàn)圖4），這種作法形“是”神聚，隨意拖動(dòng)正多邊形的任一頂點(diǎn)，圖形只會(huì)改變位置和大小，不會(huì)改變幾何關(guān)系。后一種畫(huà)法才是學(xué)生需要掌握的畫(huà)法。這種畫(huà)法需要根據(jù)正多邊形各邊相等、各角也相等的本質(zhì)特征，充分利用圓的幾何性質(zhì)構(gòu)造圖形，其思考分析方法和能力素養(yǎng)要求與限定工具作圖（包括尺規(guī)作圖）是一致的。

（二）信息時(shí)代尺規(guī)作圖的教學(xué)方法

信息時(shí)代尺規(guī)作圖教學(xué)不應(yīng)該局限于技能的傳授，而應(yīng)該提升教學(xué)立意，讓學(xué)生充分經(jīng)歷作法的生成過(guò)程：操作前要引導(dǎo)學(xué)生思考分析如何作圖，感悟“是怎么想到這樣作的”;操作后要追問(wèn)這樣作的道理，知道“為什么這樣作”。以“尺規(guī)作圖——作一個(gè)角的平分線(xiàn)”為例，教學(xué)設(shè)計(jì)如下：

問(wèn)題1尺規(guī)作圖就是只用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作圖。無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)分別可以用來(lái)做哪些事？

教師引導(dǎo)學(xué)生回憶、思考、討論，形成“無(wú)刻度的直尺可以用來(lái)連線(xiàn)，圓規(guī)可以用來(lái)畫(huà)圓弧，進(jìn)而可以截取等長(zhǎng)線(xiàn)段”的認(rèn)識(shí)。

問(wèn)題2造房子一般先要有圖紙，然后根據(jù)圖紙去想怎么造。畫(huà)圖也一樣，先要有“圖紙”。假設(shè)已經(jīng)畫(huà)成功了，“效果圖”如圖5所示，其中∠AOM=∠BOM。我們學(xué)過(guò)哪些原理可以得到角相等？如何構(gòu)造使用上述原理得到角相等所需要的圖形（“施工圖”）呢？

學(xué)生容易想到“全等三角形對(duì)應(yīng)角相等”。教師通過(guò)追問(wèn)啟發(fā)學(xué)生思考如何構(gòu)造一對(duì)全等三角形使得∠AOM=∠BOM，形成如圖6所示的“施工圖”，其中OC=OD，CP=DP。然后引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，利用尺規(guī)能夠?qū)崿F(xiàn)OC=OD，CP=DP。

問(wèn)題3根據(jù)“施工圖”（圖6），該如何用尺規(guī)操作？請(qǐng)嘗試操作。

教師引導(dǎo)學(xué)生自己說(shuō)出尺規(guī)作圖作一個(gè)角的平分線(xiàn)的基本步驟，并讓學(xué)生動(dòng)手操作。

問(wèn)題4根據(jù)剛才尺規(guī)作圖的操作過(guò)程，你能說(shuō)明OM平分∠AOB的道理嗎？

教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)操作過(guò)程提取作圖滿(mǎn)足的條件，然后說(shuō)明OM平分∠AOB的道理。

上述教學(xué)設(shè)計(jì)中，問(wèn)題1讓學(xué)生明晰“我已有什么”，即現(xiàn)有的作圖工具及其功能;問(wèn)題2通過(guò)“效果圖”，讓學(xué)生明晰“我要做什么”，并引導(dǎo)學(xué)生逆向分析得到“施工圖”，即知道“我怎么做到”;問(wèn)題3引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷作圖的過(guò)程;問(wèn)題4引導(dǎo)學(xué)生由操作過(guò)程反思理解作圖的道理。

問(wèn)題3、問(wèn)題4就是我們常說(shuō)的不僅讓學(xué)生“知其然”，還能“知其所以然”;問(wèn)題1、問(wèn)題2則進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生不僅經(jīng)歷作法的形成過(guò)程，自己發(fā)現(xiàn)作法，而且從“知其然”“知其所以然”上升至知“何由以知其所以然”。這樣的設(shè)計(jì)，充分發(fā)揮了尺規(guī)作圖的教學(xué)價(jià)值。

此外，尺規(guī)作圖教學(xué)還要盡量避免這種情況：作法是學(xué)生發(fā)現(xiàn)的，卻是在教師各種缺乏思維含量的提示和鋪墊下“發(fā)現(xiàn)”的。這樣的“發(fā)現(xiàn)”不是真發(fā)現(xiàn)。

例如，“尺規(guī)作圖——作一個(gè)角的平分線(xiàn)”的教學(xué)中，有的教師為了讓學(xué)生自己“發(fā)現(xiàn)”尺規(guī)作角平分線(xiàn)的方法，給出了如下的問(wèn)題：

工人師傅常常利用角尺平分一個(gè)角。如圖7，在∠AOB的兩邊OA、OB上分別任取OC=OD，移動(dòng)角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與點(diǎn)C、D重合，則過(guò)角尺頂點(diǎn)M的射線(xiàn)OM就是∠AOB的平分線(xiàn)。請(qǐng)你說(shuō)明這樣來(lái)畫(huà)角平分線(xiàn)的道理。從木工師傅的畫(huà)法中，你能找到用直尺和圓規(guī)作角平分線(xiàn)的方法嗎？

通過(guò)對(duì)這個(gè)前置問(wèn)題的思考，學(xué)生容易得到尺規(guī)作角平分線(xiàn)的方法，但是，這樣的發(fā)現(xiàn)是“假發(fā)現(xiàn)”。因?yàn)閱?wèn)題給出的畫(huà)法與尺規(guī)作法太接近，導(dǎo)致從前者到后者的過(guò)程缺少思維含量。而且，前置的問(wèn)題就如同“天上掉下的餡餅”，學(xué)生以后遇到新的作圖問(wèn)題時(shí)是想不到的。

*本文系江蘇省揚(yáng)州市教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2016年度立項(xiàng)重點(diǎn)課題“‘重塑本色追求本質(zhì)數(shù)學(xué)教學(xué)主張的理論與實(shí)踐研究”（編號(hào)：G/16/Z/006）的階段性研究成果。

參考文獻(xiàn)：

[1] 張奠宙，趙小平.“與時(shí)俱進(jìn)”話(huà)“雙基”[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，2001（5）.

[2] 石樹(shù)偉.借助技術(shù)操作體驗(yàn)：數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的新嘗試——以“正多邊形與圓”的教學(xué)為例[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2018（12）.