王國玉，張 琪，趙銀林

(大連理工大學(xué) 海岸和近海工程國家重點實驗室，遼寧 大連 116024)

人們對于沿岸流的研究有悠久的歷史，總結(jié)起來有以下三種研究方法：現(xiàn)場觀測、物理模型試驗和數(shù)值模擬。由于波浪具有瞬變性，現(xiàn)場觀測資金投入大且開展困難，當前最主要的研究方法為物理模型試驗和數(shù)值模擬。物理模型試驗工作主要包括Visser[1]進行的1/10、1/20兩種坡度地形的規(guī)則波沿岸流試驗；Reniers等[2]進行的高斯型沙壩規(guī)則波和不規(guī)則波沿岸流試驗；Hamilton和Ebersole[3]進行的1/30坡度地形下規(guī)則被和不規(guī)則波的沿岸流試驗；沈良朵等[4]所作的1/40、1/100兩種坡度地形的規(guī)則波和不規(guī)則波的沿岸流試驗。數(shù)學(xué)模型可分為如下兩類：一類是基于Boussinesq方程所建立的沿岸流方程，如李紹武等[5]將基于完全非線性Boussinesq方程的波浪破碎模型應(yīng)用于沿岸流計算中；房克照等[6]基于高階Boussinesq水波方程，建立了波生沿岸流的時域數(shù)值模型，并分析了不同波浪入射條件對沿岸流的影響。此類模型在求解過程中需要設(shè)置造波、消波以及反射等邊界，且計算相對費時。另一類是基于輻射應(yīng)力得出的近岸波生流模型，如汪求順等[7]通過SWAN模型模擬了近岸島嶼附近的波浪場，從而為沿岸流模型提供波浪條件參數(shù)；張明亮等[8]在模擬濕地海域波浪和沿岸流的運動特性時，波浪模型為潮流模型提供輻射應(yīng)力、波高和周期等參數(shù)；孫濤等[9]通過求解高階近似化緩坡方程，獲得波浪場信息，通過輻射應(yīng)力建立沿岸流模型?；趯δＰ驮O(shè)置和求解速度的考慮，將采用第二類數(shù)學(xué)模型分析沿岸流。雖然Longuet-Higgins[10]基于輻射應(yīng)力給出流速公式，但該公式需要將波浪由深水推算至淺水。因此為了便于工程參考與應(yīng)用，將給出由深水波浪要素及岸坡坡度表達的不規(guī)則波浪作用下的沿岸流流速分布規(guī)律描述。

1 模型簡介與驗證

1.1 模型簡介

MIKE 21 PMS是對橢圓型緩坡方程的拋物線近似。在求解范圍較大的波浪場時，橢圓型緩坡方程的計算工作量較大，而拋物化近似可有效地避免這一問題。一般的，橢圓型緩坡方程可以表示為：

(1)

式中：C和Cg分別為相速度和群速度；φ為平均自由面的速度勢；k為波數(shù)；W為耗散項，其數(shù)值為Ediss/E，Ediss是平均能量耗散率；ω為波浪的圓頻率。而拋物化近似的前提是假設(shè)一個主要的波浪傳播方向，如x方向，并忽略該方向上的散射和衍射以減少計算量。該模型可計算得到整個模擬區(qū)域內(nèi)波高及波浪輻射應(yīng)力的變化情況，而輻射應(yīng)力的結(jié)果作為波生流的輸入條件，從而進行沿岸流的模擬。設(shè)置波生流的基本方程在連續(xù)性方程和動量守恒方程的基礎(chǔ)上進行如下假設(shè)：沿岸(y軸)方向流動均勻、穩(wěn)態(tài)條件和輻射應(yīng)力沿岸分布均勻。

于是x方向上的動量守恒方程可以表示為：

(2)

y方向上的動量守恒方程可以表示為：

(3)

1.2 模型驗證

數(shù)學(xué)模型的驗證基于沈良朵[4]開展的沿岸流物理模型試驗數(shù)據(jù)。試驗在55.0 m×34.0 m×1.0 m(長×寬×高)的水池中進行，試驗參數(shù)如表1所示。試驗地形坡度1/100時，水深0.18 m；岸坡坡度1/40時，水深0.45 m。岸坡模型與造波機成30°。試驗中的不規(guī)則波浪采用Jonswap譜進行模擬。

表1 試驗條件Tab. 1 Experimental conditions

由于MIKE21 PMS模塊適用于模擬大范圍區(qū)域，這里將上述物理模型按長度比尺1∶100考慮，模擬其對應(yīng)的原型海岸沿岸流情況。計算區(qū)域長10 km，寬3 km。結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格尺度為50 m×10 m，計算域共劃分6萬個網(wǎng)格。波浪摩擦系數(shù)cfw取為0.002；Thornton和Guza[11]的沿岸流數(shù)值模擬表明，渦流黏度對于不規(guī)則波浪作用下的沿岸流并無顯著影響，模擬過程中渦流黏度系數(shù)取值為0.02。圖1、圖2為將數(shù)值模擬結(jié)果與物理模型試驗結(jié)果的比較。數(shù)值計算所得的波高和流速沿程分布結(jié)果與試驗數(shù)據(jù)吻合良好，并且破波點和最大流速出現(xiàn)的位置與試驗結(jié)果基本一致。

圖1 波高與流速分布比較(i=1/100, Hs=5.30 cm, T=1.5 s)Fig. 1 Comparison of wave height and velocity distribution (i=1/100, Hs=5.30 cm, T=1.5 s)

圖2 波高與流速分布比較(i=1/40, Hs=9.81 cm, T=1.5 s)Fig. 2 Comparison of wave height and velocity distribution (i=1/40, Hs=9.81 cm, T=1.5 s)

2 沿岸流流速分析方法

2.1 沿岸流流速無量綱化方法

為了便于工程應(yīng)用，對沿岸流的數(shù)值模擬結(jié)果，采用如下的無量綱化[12]處理方法:

(4)

(5)

其中，V是無量綱流速，v是實際流速，H為有效波高，α為波浪入射角，X為無量綱距離，x為離開靜水岸線的距離，L為譜峰值周期所對應(yīng)的波長。

同時，這里選取H/L、H/h、sinα三個無量綱化參數(shù)作為流速的影響參數(shù)可用來代表入射波浪條件和地形條件。

2.2 沿岸流流速剖面函數(shù)擬合方法

經(jīng)上述無量綱化處理后，流速V與離岸距離X之間可建立函數(shù)關(guān)系。

V=F(X)

(6)

其中，F(xiàn)選取高斯分布函數(shù)，其函數(shù)圖像和函數(shù)表達式分別如圖3和式(7)所示。

圖3 Gauss分布函數(shù)Fig. 3 Gauss distribution function

(7)

沿岸流速的最大值A(chǔ)與深水波浪要素和地形坡度皆有關(guān)，可設(shè)：

A=F3(H/h,H/L,sinα,i)

(8)

其中，F(xiàn)3為待定的擬合函數(shù)，h為深水區(qū)域平底處的水深，i為地形坡度。圖4為岸坡坡度1/100時不同H/h條件下數(shù)值計算得到的無量綱沿岸流速最大值Vmax隨H/L和α的變化情況。

圖4 無量綱沿岸流速最大值Vmax (i=1/100)Fig. 4 Dimensionless maximum current velocity Vmax (i=1/100)

圖4中數(shù)據(jù)表明無量綱沿岸流速的最大值在每個波向下會存在一個峰值，以該峰值為分界點(M，N)，左右分別采用線性擬合，即可得到無量綱流速最大值A(chǔ)的表達式：

(9)

式中：假定K1(i)僅與坡度i有關(guān)，K2(i，H/h)、M(i，H/h)和N(i，H/h)均不隨波浪入射角度改變而變化。求解K1、K2、M、N后即可確定流速最大值A(chǔ)。

房克照等[5]通過對5種入射角的波浪分別進行模擬，認為沿岸流速最大值的位置與波浪入射角度無關(guān)?？稍O(shè)：

xc=F1(H/h,H/L,i)

(10)

其中，F(xiàn)1為待定的擬合函數(shù)。

圖5給出了坡度分別為1/100和1/40時無量綱沿岸流速最大值出現(xiàn)位置xc隨H/L，H/h變化的數(shù)值計算結(jié)果。

圖5 無量綱沿岸流速最大值位置xc統(tǒng)計Fig. 5 Position of dimensionless maximum current velocity xc

圖5中數(shù)據(jù)表明xc與H/h呈線性關(guān)系，可設(shè)：

xc=A1(H/L,i)+A2(H/L,i)·H/h

(11)

于是，求解A1，A2后即可確定流速最大值出現(xiàn)位置xc。

同樣，沿岸流流速分布范圍與波浪入射角無關(guān)，可設(shè)：

ωv=F2(H/h,H/L,i)

(12)

式中：F2為待定的擬合函數(shù)。

圖6給出了坡度分別為1/100和1/40時，采用高斯分布函數(shù)擬合從而得到流速分布曲線中分布寬度ωv的值。

圖6 沿岸流速分布寬度ωv統(tǒng)計Fig. 6 The value of ωv corresponding to the distribution curve of alongshore current velocity

類似的，ωv與H/h也呈線性關(guān)系，可設(shè)：

ωv=D1(H/L,i)+D2(H/L,i)·H/h

(13)

求解D1，D2后即可確定流速分布寬度ωv。

3 沿岸流流速分布函數(shù)

3.1 流速最大值A(chǔ)

對于流速最大值A(chǔ)的表達式，即式(9)，可采用Levenberg-Marquardt算法對數(shù)據(jù)點擬合得到以上4個待定函數(shù)的表達式：

(14)

K2=-15+500i-13 000i2+75 000i3+(23-200i)H/h

(15)

M=0.1H/h-0.03e-30i+0.02

(16)

(17)

無量綱化流速最大值A(chǔ)的擬合曲線與數(shù)值模擬結(jié)果的對比見圖7。圖中顯示了在波浪入射角為10°時，不同岸坡坡度和不同H/h條件下沿岸流流速的最大值隨著H/L的變化關(guān)系。隨著坡度增加，無量綱沿岸流流速的最大值由0.65增大至3.00。

圖7 流速最大值A(chǔ)的擬合曲線與數(shù)值模擬的數(shù)據(jù)點對比Fig. 7 Comparison between the fitting curve of the maximum velocity A and the data point of numerical simulation

3.2 最大流速出現(xiàn)位置xc

對于最大流速出現(xiàn)位置xc的表達式，即式(11)，可采用類似的算法分別對參數(shù)A1，A2與H/L進行二次函數(shù)擬合，設(shè)：

A1=B1(i)+B2(i)·H/L+B3(i)·(H/L)2

(18)

A2=C1(i)+C2(i)·H/L+C3(i)·(H/L)2

(19)

Bn和Cn(n=1,2,3)與坡度i進行擬合后可得到6個關(guān)于坡度i的函數(shù)：

(20)

(21)

圖8給出了應(yīng)用擬合公式計算出的xc與數(shù)值模擬數(shù)據(jù)對比。

圖8 流速最大值出現(xiàn)位置xc的擬合結(jié)果與數(shù)值模擬對比Fig. 8 Comparison of xc between fitting formula and numerical simulation

3.3 流速分布寬度ωv

同樣，對于流速分布寬度ωv的表達式，即式(13)，將D1，D2與H/L進行二次函數(shù)擬合，可設(shè)：

D1=E1(i)+E2(i)·H/L+E3(i)·(H/L)2

(22)

D2=F1(i)+F2(i)·H/L+F3(i)·(H/L)2

(23)

En和Fn(n=1,2,3)與坡度i進行擬合可得到6個關(guān)于坡度i的函數(shù)：

(24)

(25)

圖9給出的擬合計算得出的流速分布寬度ωv與數(shù)值模擬結(jié)果的對比表明，上述擬合公式可以近似表達出不同波浪入射條件和地形坡度下ωv的變化規(guī)律。

圖9 流速分布寬度擬合結(jié)果與數(shù)值模擬對比Fig. 9 Comparison of ωv between fitting formula and numerical simulation

4 無量綱化沿岸流流速分布函數(shù)應(yīng)用

4.1 流速分布函數(shù)驗證

對應(yīng)表1中另外4種波況，應(yīng)用上述擬合公式可計算出沿岸流速分布公式的相應(yīng)參數(shù)，進一步確定沿岸流的分布函數(shù)。圖10為公式計算、數(shù)值模擬及物理模型試驗得到的沿岸流速分布對比。圖中數(shù)據(jù)表明擬合所得的沿岸流流速分布規(guī)律與物理模型實測數(shù)據(jù)較為吻合。

圖10 擬合結(jié)果、數(shù)值模擬和模型試驗的沿岸流流速分布對比Fig. 10 Comparison of current velocity distribution between formula calculation, numerical simulation and experiment

4.2 流速分布規(guī)律分析

上述分析表明無量綱沿岸流速分布與相對波高H/h、波陡H/L、岸坡坡度i以及入射波浪角度α相關(guān)。圖11給出了不同相對波高H/h、波陡H/L、岸坡坡度i以及入射波浪角度α等參數(shù)條件下沿岸流流速分布規(guī)律的比較。

圖11 無量綱流速分布規(guī)律對比Fig. 11 Comparison of dimensionless velocity distribution along with x/L

無量綱沿岸流流速的最大值受入射波浪的相對波高、岸坡坡度以及波浪入射角度影響顯著，而受入射波浪波陡的影響相對較小。隨著相對波高和岸坡坡度的增加，沿岸流流速最大值明顯增大；而隨著波浪入射角度的增大，無量綱化沿岸流流速最大值逐步減小。

無量綱沿岸流流速最大值的出現(xiàn)位置與入射波浪的相對波高、波陡以及岸坡坡度密切相關(guān)，但幾乎不受波浪入射角度的影響。隨著相對波高和岸坡坡度的增大，沿岸流流速最大值的出現(xiàn)位置逐步向靜水岸線方向移動，而隨著波陡的增大，逐步遠離岸線。

流速分布寬度受入射波浪的相對波高、波陡以及岸坡坡度的影響顯著，但不受波浪入射角度的影響。隨著相對波高和岸坡坡度的增大，沿岸流的分布寬度明顯變窄，沿岸流表現(xiàn)為向岸線方向集中；而隨著波陡的增大，分布寬度逐步變廣，即沿岸流的影響范圍向著離開岸線的方向拓展。

5 結(jié) 語

對不同坡度地形下的波生沿岸流進行了數(shù)值模擬，并采用高斯分布函數(shù)對無量綱化的沿岸流流速剖面分布進行擬合，獲得了無量綱沿岸流速最大值A(chǔ)與其出現(xiàn)位置xc以及流速剖面分布寬度ωv隨著入射波浪條件和地形坡度的變化關(guān)系。

1)無量綱沿岸流的流速最大值與入射波浪條件和岸坡坡度密切相關(guān)。流速的最大值隨著相對波高和岸坡坡度的增加顯著增大，但隨著波浪入射角度的增大而逐步減小。

2)沿岸流流速最大值所出現(xiàn)的位置與波浪的入射角度無關(guān)，但受入射波浪的相對波高、波陡和岸坡坡度的影響較大。相對波高和岸坡坡度變大，沿岸流流速的最大值所出現(xiàn)的位置均向著靠近岸線的方向移動。

3)沿岸流流速分布的剖面寬度與波浪的入射角度無關(guān)，在岸坡地形較陡時，沿岸流流速剖面分布較窄，且相對波高的增加會使得沿岸流的分布向岸線方向集中。