亚洲免费av电影一区二区三区,日韩爱爱视频,51精品视频一区二区三区,91视频爱爱,日韩欧美在线播放视频,中文字幕少妇AV,亚洲电影中文字幕,久久久久亚洲av成人网址,久久综合视频网站,国产在线不卡免费播放

        ?

        一類混合型Cucker-Smale模型的有限時(shí)間集群

        2021-06-30 00:08:58吳俊滔王曉劉易成
        應(yīng)用數(shù)學(xué) 2021年3期
        關(guān)鍵詞:分布圖范數(shù)單調(diào)

        吳俊滔,王曉,劉易成

        (國防科技大學(xué)數(shù)學(xué)系,湖南長沙410073)

        1.引言

        為了刻畫自然界中生物群體的集群行為和社會(huì)科學(xué)中語言的形成等問題,基于牛頓力學(xué)原理,2007年Cucker和Smale提出并研究了如下N個(gè)智能體構(gòu)成的Cucker-Smale模型[1-2](下面簡記為CS模型)的集群行為:

        其中xi,vi∈Rd,d為空間維數(shù),α代表智能體間整體的相互作用強(qiáng)度,(xi,vi)代表第i個(gè)智能體的位移和速度,i=1,2,···,N,交流函數(shù)aij(r)=ψ(r)/N,ψ(r)=(1+r2)-β,r≥0,β≥0.

        由于CS模型的普適性,引起各領(lǐng)域眾多學(xué)者的研究興趣.2009年,基于顯式Lyapunov方法,HA等人[3]改進(jìn)了系統(tǒng)(1.1)實(shí)現(xiàn)集群行為的條件,并首次給出條件時(shí)間漸近集群和無條件時(shí)間漸近集群(以下簡稱條件集群和無條件集群)的相關(guān)概念.

        基于有限時(shí)間穩(wěn)定性的現(xiàn)實(shí)意義,HAN[4]考慮一個(gè)新的非Lipschitz連續(xù)系統(tǒng)模型,證明了在一定條件下,系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)形成集群.一方面,HAN[4]要求系統(tǒng)的交流函數(shù)是某個(gè)單調(diào)遞減且有正下界的連續(xù)函數(shù),但在經(jīng)典的CS模型(1.1)中,并未要求交流函數(shù)有正的下界,且交流函數(shù)的有界性就意味著相對(duì)位置的有界性,這也恰恰是證明系統(tǒng)形成集群的關(guān)鍵.另一方面,在促進(jìn)系統(tǒng)形成集群的過程中,是非Lipschitz項(xiàng)起決定作用還是Lipschitz項(xiàng)起決定作用,都是非常值得研究的問題.

        受Cucker[1-2]和HAN[4]工作的啟發(fā),本文研究一類帶有非Lipschitz連續(xù)項(xiàng)和Llipschitz連續(xù)項(xiàng)混合的CS模型,其描述如下:

        初始條件為:

        其中l(wèi)1,l2為非負(fù)數(shù),且不能同時(shí)為0,x=(x1,x2,...,xN)T∈RN×d,v=(v1,v2,...,vN)T∈RN×d,sign(vj(t)-vi(t))θ=(sign(vj1-vi1)|vj1-vi1|θ,···,sign(vjd-vid)|vjd-vid|θ),sign:R→{-1,0,1}為符號(hào)函數(shù),0<θ<1,d為空間維數(shù),aij(x)=φ(‖xi-xj‖),bij(x)=ψ(‖xi-xj‖),φ(·),ψ(·)為[0,+∞)上單調(diào)遞減的非負(fù)連續(xù)函數(shù).記vi(t))θ和則易知V1是非Lipschitz連續(xù)的,V2是Lipschitz連續(xù)的.

        注1當(dāng)l1>0,l2=0時(shí),即為Han[4]中的模型,當(dāng)l1=0,l2>0時(shí),即為經(jīng)典的CS模型[1-2].

        本文通過構(gòu)造Lyapunov函數(shù)和建立耗散微分不等式,在去掉文[4]交流函數(shù)有正的下界的要求后,證明了系統(tǒng)(1.2)能夠形成有限時(shí)間集群,同時(shí)也獲得了系統(tǒng)(1.2)有限時(shí)間集群行為的發(fā)生主要由非Lipschitz連續(xù)項(xiàng)決定和Lipschitz連續(xù)項(xiàng)影響系統(tǒng)有限時(shí)間集群時(shí)間大小的相關(guān)結(jié)果.

        2.預(yù)備知識(shí)

        為了獲得本文的主要結(jié)果,下面首先給出系統(tǒng)可以形成集群和有限時(shí)間集群的定義以及幾個(gè)輔助性引理.

        定義2.1[3]設(shè)為系統(tǒng)(1.1)在給定初值條件下的解,dX(t)和dV(t)分別表示在t時(shí)刻系統(tǒng)中個(gè)體之間位移和速度大小之差的最大值,即

        稱該系統(tǒng)可以形成集群,若系統(tǒng)的所有解滿足

        稱該系統(tǒng)可以有限時(shí)間形成集群,若存在正數(shù)T>0,使得當(dāng)t≥T時(shí),有

        引理2.1[7]設(shè)a1,a2,···,an>0,給定正數(shù)r,p,當(dāng)r<p時(shí),有

        引理2.2[7]設(shè)a1,a2,···,an>0,當(dāng)0<p≤1時(shí),有

        引理2.3[6]設(shè)k>0,0<p<1為常數(shù),V(t)為一個(gè)正連續(xù)函數(shù)滿足則對(duì)任意給定t0,當(dāng)t0≤t<t1時(shí)有V1-p(t)≤V1-p(t0)-k(1-p)(t-t0),當(dāng)t≥t1時(shí)有V(t)=0,其中.

        引理2.4[5]設(shè)ψ(x)為單調(diào)遞減的正連續(xù)函數(shù),非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)dX(t),dV(t)滿足

        則有

        受文[3]能量方法的啟發(fā),給出如下引理,也是改進(jìn)文[4]中的主要結(jié)果的重要引理.

        引理2.5設(shè)φ(x)為單調(diào)遞減的正連續(xù)函數(shù),0<θ<1,非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)dX(t),dV(t)滿足

        則有

        其中d*由如下式子給出

        證基于HA和LIU[3]提出的耗散微分不等式以及Lyapunov方法,考慮如下能量函數(shù)

        因此Ψ(dX,dV)(t)關(guān)于時(shí)間t單調(diào)遞減,故對(duì)任意的t>0,都有Ψ(dX,dV)(t)≤Ψ(dX,dV)(t0)(t0≥0為初始時(shí)刻),即

        由假設(shè)(2.5)可知,存在d*>0(獨(dú)立于t),使得下式成立,

        結(jié)合(2.9)可得

        這就意味著

        由φ(x)的單調(diào)性可得

        其中d*由如下式子給出

        引理2.6設(shè)φ(r),ψ(r)為單調(diào)遞減的正連續(xù)函數(shù),非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)X(t),V(t)滿足

        其中α,β為正常數(shù),0<θ<1.對(duì)任意給定t0,若不等式

        成立,則V(t)滿足

        其中t1滿足這里的d*由如下式子給出

        證如果對(duì)(2.13)中第二個(gè)式子進(jìn)行如下兩種估計(jì).

        第一種方式保留上式右邊V(t)項(xiàng),則有

        由引理2.4證明可知當(dāng)

        成立時(shí),存在l*,使得對(duì)任意的t>t0,有X(t)≤l*.

        第二種方式保留上式右邊V θ(t)項(xiàng),則有

        成立,由引理2.5證明可知當(dāng)

        成立時(shí),存在s*,使得對(duì)任意的t>t0,有X(t)≤s*.

        綜上,當(dāng)滿足條件(2.15)或者條件(2.16)時(shí),對(duì)任意的t>0,都存在d*,使得X(t)≤d*成立.令φ*:=根據(jù)φ(r),ψ(r)的單調(diào)遞減性可得φ(X(t))≥φ*,ψ(X(t))≥ψ*,因此X(t),V(t)滿足如下不等式組

        上式兩邊從t0到t積分可得

        由于V1-θ(t)≥0,且(2.17)式右邊單調(diào)遞減,因此當(dāng)t0增加到t1時(shí),有V(t1)=0,解得

        再根據(jù)V(t)的連續(xù)性可知,當(dāng)t≥t1時(shí),恒有V(t)=0(此時(shí)V(t)滿足(2.17)式).

        3.主要結(jié)果

        本節(jié)主要研究由(1.2)刻畫的多粒子群的動(dòng)力學(xué)行為,并探討其形成有限時(shí)間集群的充分條件.

        為了獲得本文的主要結(jié)果,下面對(duì)系統(tǒng)(1.2)中的位移和速度進(jìn)行中心化.由aij(x),bij(x)的對(duì)稱性可得

        初始條件為:

        且滿足

        初始條件為:

        并滿足

        設(shè)x=(x1,x2,...,xN)T∈RN×d,v=(v1,v2,...,vN)T∈RN×d為系統(tǒng)(3.2)的解,令

        則有

        同理可證

        為了研究系統(tǒng)(1.2)的集群性,則只需研究系統(tǒng)(3.2)的集群性,由X(t),V(t)的定義可知,即證X(t),V(t)滿足條件(2.2)或者(2.3).

        下面通過給出系統(tǒng)(3.2)有限時(shí)間集群的充分條件,從而得到系統(tǒng)(1.3)有限時(shí)間集群的充分條件.

        定理3.1考慮系統(tǒng)(1.2)-(1.3),設(shè)為系統(tǒng)(3.2)在給定初始條件(3.3)下的解,則有

        1)若l1=0,l2>0,ψ(r)為[0,+∞)上單調(diào)遞減的連續(xù)正函數(shù),且滿足

        則系統(tǒng)(1.2)條件漸近集群.

        特別地,若

        則系統(tǒng)(1.2)無條件漸近集群;

        2)若l2=0,l1>0,φ(r)為[0,+∞)上單調(diào)遞減的連續(xù)正函數(shù),且滿足

        則系統(tǒng)(1.2)有限時(shí)間集群.有限時(shí)間集群時(shí)間為

        特別地,若

        則系統(tǒng)(1.2)無條件有限時(shí)間集群;

        3)若l1>0,l2>0,ψ(r),φ(r)為[0,+∞)上單調(diào)遞減的連續(xù)正函數(shù),且滿足

        則系統(tǒng)(1.2)有條件有限時(shí)間集群.有限時(shí)間集群時(shí)間為

        特別地,若

        系統(tǒng)(1.2)無條件有限時(shí)間集群.

        這里及本文中出現(xiàn)X(t)和V(t)如(3.5)式所示.

        證對(duì)V2(t)求導(dǎo)可知

        同理

        由(3.12),(3.13),(3.14)可得

        由引理2.2可知

        故有

        由引理2.3可知

        根據(jù)(3.15)和(3.16)可得

        由假設(shè)φ(·),ψ(·)為單調(diào)遞減的連續(xù)非負(fù)函數(shù),則有

        因此有

        1)當(dāng)l1=0,l2>0時(shí),即為文[2]中經(jīng)典Cucker-Smale模型,則滿足如下微分不等式組

        時(shí),則有

        故系統(tǒng)(3.2)形成集群,從而系統(tǒng)(1.2)形成集群.

        2)當(dāng)l2=0,l1>0時(shí),即為文[4]中模型,則滿足如下微分不等式組

        則有

        其中d*由如下式子給出

        由引理2.3可知當(dāng)t≥t1時(shí),V(t)=0,其中t1滿足

        注意到當(dāng)t≥t1時(shí),V(t)=0,由(3.17)可知V(t)≤V(0),因此

        故系統(tǒng)(3.2)有限時(shí)間集群,從而系統(tǒng)(1.2)有限時(shí)間集群.

        3)當(dāng)l1>0,l2>0時(shí),有

        如果對(duì)(3.20)中第二個(gè)式子進(jìn)行如下兩種估計(jì),第一種方式保留上式右邊V(t)項(xiàng),有

        成立,即化成第一種情況,則系統(tǒng)形成集群.

        第二種方式保留上式右邊V θ(t)項(xiàng),有

        成立,即化成第二種情況,則系統(tǒng)有限時(shí)間集群.

        綜上兩種估計(jì),系統(tǒng)將有限時(shí)間集群.從上述證明可以看出,V(t)項(xiàng)對(duì)系統(tǒng)有限時(shí)間集群沒有影響,下面我們討論Lipschitz連續(xù)項(xiàng)對(duì)系統(tǒng)形成有限集群的時(shí)間大小的影響.

        由引理2.6可知,若

        則當(dāng)t≥t1時(shí),有V(t)=0,這里

        注意到當(dāng)t≥t1時(shí),V(t)=0,由(3.17)可知V(t)≤V(0),因此有

        故系統(tǒng)(3.2)有限時(shí)間集群,從而系統(tǒng)(1.2)有限時(shí)間集群.

        注3.1在文[4]中,假設(shè)交流函數(shù)φ(·)有一個(gè)正的下界,在本文中我們運(yùn)用Lyapunov函數(shù)方法改進(jìn)文[4]中的結(jié)果,當(dāng)φ(·)為單調(diào)遞減的正連續(xù)函數(shù)時(shí)(不需要交流函數(shù)有正的下界),系統(tǒng)將實(shí)現(xiàn)有限時(shí)間集群.

        注3.2由上述第三種情況可知無論ψ(r)取何種函數(shù)時(shí),不會(huì)影響系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)有限時(shí)間集群,但會(huì)影響系統(tǒng)有限時(shí)間集群的時(shí)間大小,下面我們討論這種影響,并給出時(shí)間大小的比較,在后面的仿真中可以驗(yàn)證其正確性.

        為了給出Lipschitz連續(xù)項(xiàng)對(duì)系統(tǒng)有限時(shí)間集群時(shí)間的影響,則需要比較上述第二種和第三種情況有限時(shí)間集群時(shí)間的大小,即只需比較如下大小

        這里的d*由第二種情況給出.由于

        注3.3本文所討論的模型與文[4]中模型比較:增加經(jīng)典CS模型Lipschitz連續(xù)項(xiàng),可以縮短系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)有限時(shí)間集群的時(shí)間.經(jīng)典的CS模型項(xiàng)不影響系統(tǒng)的有限時(shí)間集群,但影響著系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)有限時(shí)間集群的時(shí)間大小.

        注3.4對(duì)于系統(tǒng)(1.2),取影響函數(shù)為φ(r)=ψ(r)=H,β>0,當(dāng)l1=0,l2>0,即為文[1-2]中經(jīng)典Cucker-Smale模型,系統(tǒng)漸進(jìn)集群;當(dāng)l1>0,l2=0,即為文[4]中模型,系統(tǒng)有限時(shí)間集群.

        4.數(shù)值仿真

        在本節(jié)中,使用Matlab對(duì)如下系統(tǒng)進(jìn)行了數(shù)值模擬.

        其中aij(x)=φ(‖xi-xj‖),bij(x)=ψ(‖xi-xj‖),φ(·),ψ(·)為單調(diào)遞減的非負(fù)連續(xù)函數(shù),l1,l2為非負(fù)數(shù),且不能同時(shí)為0.

        取粒子數(shù)N=40;空間維數(shù)d=2;系統(tǒng)中參數(shù)設(shè)置l1=l2=1,初值速度和位移分別為區(qū)間[-20,20]×[-30,20]和[-40,30]×[-40,10]上的隨機(jī)數(shù).下面分別對(duì)取不同的θ,影響函數(shù)φ(·),ψ(·)進(jìn)行數(shù)值模擬.

        取θ=影響函數(shù)為φ(r)=(1+r2)-β1,ψ(r)=(1+r2)-β2;在初始條件相同的情況下,取不同的β1,β2進(jìn)行仿真(如圖4.1、4.2、4.3).

        圖4.2 取β1=2,β2=當(dāng)0<β2≤時(shí),無論β1取何值,系統(tǒng)無條件漸近集群.左圖為第一個(gè)粒子與其余粒子速度差的歐氏范數(shù)在1s內(nèi)分布圖,各粒子間速度差將趨于一致.右圖為第一個(gè)粒子與其余粒子位移差的歐氏范數(shù)在1s內(nèi)分布圖,各粒子間位移差將保持有界.

        圖4.1 取系統(tǒng)無條件有限時(shí)間集群.左圖為第一個(gè)粒子與其余粒子速度差的歐氏范數(shù)在1s內(nèi)分布圖,各粒子間速度差在有限時(shí)間內(nèi)趨于一致.右圖為第一個(gè)粒子與其余粒子位移差的歐氏范數(shù)在1s內(nèi)分布圖,各粒子間位移差在有限時(shí)間內(nèi)將保持有界.

        注4.1由上述三種不同形式(如圖4.1,4.2,4.3)的仿真結(jié)果可以看出,β2對(duì)系統(tǒng)集群時(shí)間的影響更明顯一些(如圖4.1和圖4.3).

        圖4.3 取β1=,β2=2,當(dāng)0<β1≤時(shí),無論β2取何值,系統(tǒng)無條件有限時(shí)間集群.左圖為第一個(gè)粒子與其余粒子速度差的歐氏范數(shù)在3s內(nèi)分布圖,各粒子間速度差在有限時(shí)間內(nèi)趨于一致.右圖為第一個(gè)粒子與其余粒子位移差的歐氏范數(shù)在3s內(nèi)分布圖,各粒子間位移差在有限時(shí)間內(nèi)將保持有界.

        上面對(duì)給定的θ,對(duì)不同的影響函數(shù)進(jìn)行了數(shù)值仿真.由前面的第三種情況的證明可知,系統(tǒng)的Lipschitz連續(xù)項(xiàng)對(duì)系統(tǒng)的有限時(shí)間集群沒有影響,只對(duì)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)有限時(shí)間集群的時(shí)間產(chǎn)生影響.下面對(duì)給定的交流函數(shù),對(duì)不同的θ進(jìn)行仿真.

        選取交流函數(shù)為φ(r)=(1+r2)-β1,ψ(r)=(1+r2)-β2;當(dāng)取初值相同,β1,β2固定時(shí),分別對(duì)θ=0.3,0.4,0.5,0.6,0.7進(jìn)行仿真,比較不同的θ對(duì)系統(tǒng)集群的影響.

        圖4.4 當(dāng)時(shí),在θ取不同參數(shù)下,左圖為各粒子最大速度差在0.5s內(nèi)分布圖,右圖為各粒子最大位移差在0.5s內(nèi)分布圖.

        圖4.5 當(dāng)β2=2時(shí),在θ取不同參數(shù)下,左圖為各粒子最大速度差在6s內(nèi)分布圖,右圖為各粒子最大位移差在6s內(nèi)分布圖.

        5.結(jié)束語

        本文主要討論了一類帶有非Lipschitz連續(xù)項(xiàng)與Lipschitz連續(xù)項(xiàng)混合型的Cucker-Smale模型有限時(shí)間集群的問題.研究結(jié)果表明,由(1.2)刻畫的多粒子群,系統(tǒng)的集群性由非Lipschitz項(xiàng)決定,Lipschitz連續(xù)項(xiàng)不影響系統(tǒng)的有限時(shí)間集群,但影響系統(tǒng)有限時(shí)間集群的時(shí)間,在一定條件下,系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)有限時(shí)間集群,當(dāng)系統(tǒng)中取特定的參數(shù)時(shí),包含了文[1-2,4]中的結(jié)果.

        猜你喜歡
        分布圖范數(shù)單調(diào)
        數(shù)列的單調(diào)性
        數(shù)列的單調(diào)性
        貴州十大地質(zhì)公園分布圖
        對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用知多少
        基于加權(quán)核范數(shù)與范數(shù)的魯棒主成分分析
        中國癌癥分布圖
        左右江水沖石器采集分布圖
        寶藏(2017年6期)2017-07-20 10:01:01
        矩陣酉不變范數(shù)H?lder不等式及其應(yīng)用
        人生真相
        讀者(2016年3期)2016-01-13 18:51:00
        一類具有準(zhǔn)齊次核的Hilbert型奇異重積分算子的范數(shù)及應(yīng)用
        成年女人色毛片| 国产人妖伦理视频在线观看| 黄片视频免费在线播放观看 | 国产精品亚洲片夜色在线 | 国产精品国产三级国产专区50| 人与人性恔配视频免费| 理论片午午伦夜理片影院| av中文字幕少妇人妻| 亚洲成熟中老妇女视频 | 久久道精品一区二区三区| 日本午夜理论一区二区在线观看| 亚洲色欲久久久综合网东京热| 日日碰狠狠躁久久躁96avv| 欧美日韩一二三区高在线| 日本美女在线一区二区| 中文字幕乱码一区av久久不卡| 91麻豆精品激情在线观看最新| 日韩精品一级在线视频| 人人妻人人澡人人爽国产| 亚洲av日韩av高潮潮喷无码| 亚洲无AV码一区二区三区| 蜜桃av中文字幕在线观看| 国产精品亚洲а∨天堂2021| 国产精品亚洲综合久久婷婷| 亚洲美女av二区在线观看| 嫩草伊人久久精品少妇av| 久久人人妻人人做人人爽| 91热爆在线精品| 国产一区二区黄色网页| 国产裸体xxxx视频在线播放| 国产精品白浆一区二区免费看| 好看的中文字幕中文在线| 亚洲精品美女久久777777| 国产黄色片在线观看| 日韩人妻免费一区二区三区 | av无码av在线a∨天堂app| 人妻被公上司喝醉在线中文字幕| 亚洲精品乱码久久久久久中文字幕| 亚洲福利视频一区| 亚洲精品国产二区在线观看| 在线观看老湿视频福利|