吳俊滔,王曉,劉易成
(國防科技大學(xué)數(shù)學(xué)系,湖南長沙410073)
為了刻畫自然界中生物群體的集群行為和社會科學(xué)中語言的形成等問題,基于牛頓力學(xué)原理,2007年Cucker和Smale提出并研究了如下N個智能體構(gòu)成的Cucker-Smale模型[1-2](下面簡記為CS模型)的集群行為:
其中xi,vi∈Rd,d為空間維數(shù),α代表智能體間整體的相互作用強度,(xi,vi)代表第i個智能體的位移和速度,i=1,2,···,N,交流函數(shù)aij(r)=ψ(r)/N,ψ(r)=(1+r2)-β,r≥0,β≥0.
由于CS模型的普適性,引起各領(lǐng)域眾多學(xué)者的研究興趣.2009年,基于顯式Lyapunov方法,HA等人[3]改進了系統(tǒng)(1.1)實現(xiàn)集群行為的條件,并首次給出條件時間漸近集群和無條件時間漸近集群(以下簡稱條件集群和無條件集群)的相關(guān)概念.
基于有限時間穩(wěn)定性的現(xiàn)實意義,HAN[4]考慮一個新的非Lipschitz連續(xù)系統(tǒng)模型,證明了在一定條件下,系統(tǒng)在有限時間內(nèi)形成集群.一方面,HAN[4]要求系統(tǒng)的交流函數(shù)是某個單調(diào)遞減且有正下界的連續(xù)函數(shù),但在經(jīng)典的CS模型(1.1)中,并未要求交流函數(shù)有正的下界,且交流函數(shù)的有界性就意味著相對位置的有界性,這也恰恰是證明系統(tǒng)形成集群的關(guān)鍵.另一方面,在促進系統(tǒng)形成集群的過程中,是非Lipschitz項起決定作用還是Lipschitz項起決定作用,都是非常值得研究的問題.
受Cucker[1-2]和HAN[4]工作的啟發(fā),本文研究一類帶有非Lipschitz連續(xù)項和Llipschitz連續(xù)項混合的CS模型,其描述如下:
初始條件為:
其中l(wèi)1,l2為非負數(shù),且不能同時為0,x=(x1,x2,...,xN)T∈RN×d,v=(v1,v2,...,vN)T∈RN×d,sign(vj(t)-vi(t))θ=(sign(vj1-vi1)|vj1-vi1|θ,···,sign(vjd-vid)|vjd-vid|θ),sign:R→{-1,0,1}為符號函數(shù),0<θ<1,d為空間維數(shù),aij(x)=φ(‖xi-xj‖),bij(x)=ψ(‖xi-xj‖),φ(·),ψ(·)為[0,+∞)上單調(diào)遞減的非負連續(xù)函數(shù).記vi(t))θ和則易知V1是非Lipschitz連續(xù)的,V2是Lipschitz連續(xù)的.
注1當l1>0,l2=0時,即為Han[4]中的模型,當l1=0,l2>0時,即為經(jīng)典的CS模型[1-2].
本文通過構(gòu)造Lyapunov函數(shù)和建立耗散微分不等式,在去掉文[4]交流函數(shù)有正的下界的要求后,證明了系統(tǒng)(1.2)能夠形成有限時間集群,同時也獲得了系統(tǒng)(1.2)有限時間集群行為的發(fā)生主要由非Lipschitz連續(xù)項決定和Lipschitz連續(xù)項影響系統(tǒng)有限時間集群時間大小的相關(guān)結(jié)果.
為了獲得本文的主要結(jié)果,下面首先給出系統(tǒng)可以形成集群和有限時間集群的定義以及幾個輔助性引理.
定義2.1[3]設(shè)為系統(tǒng)(1.1)在給定初值條件下的解,dX(t)和dV(t)分別表示在t時刻系統(tǒng)中個體之間位移和速度大小之差的最大值,即
稱該系統(tǒng)可以形成集群,若系統(tǒng)的所有解滿足
稱該系統(tǒng)可以有限時間形成集群,若存在正數(shù)T>0,使得當t≥T時,有
引理2.1[7]設(shè)a1,a2,···,an>0,給定正數(shù)r,p,當r<p時,有
引理2.2[7]設(shè)a1,a2,···,an>0,當0<p≤1時,有
引理2.3[6]設(shè)k>0,0<p<1為常數(shù),V(t)為一個正連續(xù)函數(shù)滿足則對任意給定t0,當t0≤t<t1時有V1-p(t)≤V1-p(t0)-k(1-p)(t-t0),當t≥t1時有V(t)=0,其中.
引理2.4[5]設(shè)ψ(x)為單調(diào)遞減的正連續(xù)函數(shù),非負可導(dǎo)函數(shù)dX(t),dV(t)滿足
若
則有
受文[3]能量方法的啟發(fā),給出如下引理,也是改進文[4]中的主要結(jié)果的重要引理.
引理2.5設(shè)φ(x)為單調(diào)遞減的正連續(xù)函數(shù),0<θ<1,非負可導(dǎo)函數(shù)dX(t),dV(t)滿足
若
則有
其中d*由如下式子給出
證基于HA和LIU[3]提出的耗散微分不等式以及Lyapunov方法,考慮如下能量函數(shù)
則
因此Ψ(dX,dV)(t)關(guān)于時間t單調(diào)遞減,故對任意的t>0,都有Ψ(dX,dV)(t)≤Ψ(dX,dV)(t0)(t0≥0為初始時刻),即
由假設(shè)(2.5)可知,存在d*>0(獨立于t),使得下式成立,
結(jié)合(2.9)可得
這就意味著
由φ(x)的單調(diào)性可得
其中d*由如下式子給出
引理2.6設(shè)φ(r),ψ(r)為單調(diào)遞減的正連續(xù)函數(shù),非負可導(dǎo)函數(shù)X(t),V(t)滿足
其中α,β為正常數(shù),0<θ<1.對任意給定t0,若不等式
成立,則V(t)滿足
其中t1滿足這里的d*由如下式子給出
證如果對(2.13)中第二個式子進行如下兩種估計.
第一種方式保留上式右邊V(t)項,則有
由引理2.4證明可知當
成立時,存在l*,使得對任意的t>t0,有X(t)≤l*.
第二種方式保留上式右邊V θ(t)項,則有
成立,由引理2.5證明可知當
成立時,存在s*,使得對任意的t>t0,有X(t)≤s*.
綜上,當滿足條件(2.15)或者條件(2.16)時,對任意的t>0,都存在d*,使得X(t)≤d*成立.令φ*:=根據(jù)φ(r),ψ(r)的單調(diào)遞減性可得φ(X(t))≥φ*,ψ(X(t))≥ψ*,因此X(t),V(t)滿足如下不等式組
即
上式兩邊從t0到t積分可得
即
由于V1-θ(t)≥0,且(2.17)式右邊單調(diào)遞減,因此當t0增加到t1時,有V(t1)=0,解得
再根據(jù)V(t)的連續(xù)性可知,當t≥t1時,恒有V(t)=0(此時V(t)滿足(2.17)式).
本節(jié)主要研究由(1.2)刻畫的多粒子群的動力學(xué)行為,并探討其形成有限時間集群的充分條件.
為了獲得本文的主要結(jié)果,下面對系統(tǒng)(1.2)中的位移和速度進行中心化.由aij(x),bij(x)的對稱性可得
令
初始條件為:
且滿足
初始條件為:
并滿足
設(shè)x=(x1,x2,...,xN)T∈RN×d,v=(v1,v2,...,vN)T∈RN×d為系統(tǒng)(3.2)的解,令
則有
同理可證
為了研究系統(tǒng)(1.2)的集群性,則只需研究系統(tǒng)(3.2)的集群性,由X(t),V(t)的定義可知,即證X(t),V(t)滿足條件(2.2)或者(2.3).
下面通過給出系統(tǒng)(3.2)有限時間集群的充分條件,從而得到系統(tǒng)(1.3)有限時間集群的充分條件.
定理3.1考慮系統(tǒng)(1.2)-(1.3),設(shè)為系統(tǒng)(3.2)在給定初始條件(3.3)下的解,則有
1)若l1=0,l2>0,ψ(r)為[0,+∞)上單調(diào)遞減的連續(xù)正函數(shù),且滿足
則系統(tǒng)(1.2)條件漸近集群.
特別地,若
則系統(tǒng)(1.2)無條件漸近集群;
2)若l2=0,l1>0,φ(r)為[0,+∞)上單調(diào)遞減的連續(xù)正函數(shù),且滿足
則系統(tǒng)(1.2)有限時間集群.有限時間集群時間為
特別地,若
則系統(tǒng)(1.2)無條件有限時間集群;
3)若l1>0,l2>0,ψ(r),φ(r)為[0,+∞)上單調(diào)遞減的連續(xù)正函數(shù),且滿足
則系統(tǒng)(1.2)有條件有限時間集群.有限時間集群時間為
特別地,若
系統(tǒng)(1.2)無條件有限時間集群.
這里及本文中出現(xiàn)X(t)和V(t)如(3.5)式所示.
證對V2(t)求導(dǎo)可知
而
同理
由(3.12),(3.13),(3.14)可得
由引理2.2可知
故有
由引理2.3可知
根據(jù)(3.15)和(3.16)可得
而
即
由假設(shè)φ(·),ψ(·)為單調(diào)遞減的連續(xù)非負函數(shù),則有
因此有
即
又
1)當l1=0,l2>0時,即為文[2]中經(jīng)典Cucker-Smale模型,則滿足如下微分不等式組
時,則有
故系統(tǒng)(3.2)形成集群,從而系統(tǒng)(1.2)形成集群.
2)當l2=0,l1>0時,即為文[4]中模型,則滿足如下微分不等式組
則有
其中d*由如下式子給出
由引理2.3可知當t≥t1時,V(t)=0,其中t1滿足
注意到當t≥t1時,V(t)=0,由(3.17)可知V(t)≤V(0),因此
故系統(tǒng)(3.2)有限時間集群,從而系統(tǒng)(1.2)有限時間集群.
3)當l1>0,l2>0時,有
如果對(3.20)中第二個式子進行如下兩種估計,第一種方式保留上式右邊V(t)項,有
成立,即化成第一種情況,則系統(tǒng)形成集群.
第二種方式保留上式右邊V θ(t)項,有
成立,即化成第二種情況,則系統(tǒng)有限時間集群.
綜上兩種估計,系統(tǒng)將有限時間集群.從上述證明可以看出,V(t)項對系統(tǒng)有限時間集群沒有影響,下面我們討論Lipschitz連續(xù)項對系統(tǒng)形成有限集群的時間大小的影響.
由引理2.6可知,若
則當t≥t1時,有V(t)=0,這里
注意到當t≥t1時,V(t)=0,由(3.17)可知V(t)≤V(0),因此有
故系統(tǒng)(3.2)有限時間集群,從而系統(tǒng)(1.2)有限時間集群.
注3.1在文[4]中,假設(shè)交流函數(shù)φ(·)有一個正的下界,在本文中我們運用Lyapunov函數(shù)方法改進文[4]中的結(jié)果,當φ(·)為單調(diào)遞減的正連續(xù)函數(shù)時(不需要交流函數(shù)有正的下界),系統(tǒng)將實現(xiàn)有限時間集群.
注3.2由上述第三種情況可知無論ψ(r)取何種函數(shù)時,不會影響系統(tǒng)實現(xiàn)有限時間集群,但會影響系統(tǒng)有限時間集群的時間大小,下面我們討論這種影響,并給出時間大小的比較,在后面的仿真中可以驗證其正確性.
為了給出Lipschitz連續(xù)項對系統(tǒng)有限時間集群時間的影響,則需要比較上述第二種和第三種情況有限時間集群時間的大小,即只需比較如下大小
這里的d*由第二種情況給出.由于
令
注3.3本文所討論的模型與文[4]中模型比較:增加經(jīng)典CS模型Lipschitz連續(xù)項,可以縮短系統(tǒng)實現(xiàn)有限時間集群的時間.經(jīng)典的CS模型項不影響系統(tǒng)的有限時間集群,但影響著系統(tǒng)實現(xiàn)有限時間集群的時間大小.
注3.4對于系統(tǒng)(1.2),取影響函數(shù)為φ(r)=ψ(r)=H,β>0,當l1=0,l2>0,即為文[1-2]中經(jīng)典Cucker-Smale模型,系統(tǒng)漸進集群;當l1>0,l2=0,即為文[4]中模型,系統(tǒng)有限時間集群.
在本節(jié)中,使用Matlab對如下系統(tǒng)進行了數(shù)值模擬.
其中aij(x)=φ(‖xi-xj‖),bij(x)=ψ(‖xi-xj‖),φ(·),ψ(·)為單調(diào)遞減的非負連續(xù)函數(shù),l1,l2為非負數(shù),且不能同時為0.
取粒子數(shù)N=40;空間維數(shù)d=2;系統(tǒng)中參數(shù)設(shè)置l1=l2=1,初值速度和位移分別為區(qū)間[-20,20]×[-30,20]和[-40,30]×[-40,10]上的隨機數(shù).下面分別對取不同的θ,影響函數(shù)φ(·),ψ(·)進行數(shù)值模擬.
取θ=影響函數(shù)為φ(r)=(1+r2)-β1,ψ(r)=(1+r2)-β2;在初始條件相同的情況下,取不同的β1,β2進行仿真(如圖4.1、4.2、4.3).
圖4.2 取β1=2,β2=當0<β2≤時,無論β1取何值,系統(tǒng)無條件漸近集群.左圖為第一個粒子與其余粒子速度差的歐氏范數(shù)在1s內(nèi)分布圖,各粒子間速度差將趨于一致.右圖為第一個粒子與其余粒子位移差的歐氏范數(shù)在1s內(nèi)分布圖,各粒子間位移差將保持有界.
圖4.1 取系統(tǒng)無條件有限時間集群.左圖為第一個粒子與其余粒子速度差的歐氏范數(shù)在1s內(nèi)分布圖,各粒子間速度差在有限時間內(nèi)趨于一致.右圖為第一個粒子與其余粒子位移差的歐氏范數(shù)在1s內(nèi)分布圖,各粒子間位移差在有限時間內(nèi)將保持有界.
注4.1由上述三種不同形式(如圖4.1,4.2,4.3)的仿真結(jié)果可以看出,β2對系統(tǒng)集群時間的影響更明顯一些(如圖4.1和圖4.3).
圖4.3 取β1=,β2=2,當0<β1≤時,無論β2取何值,系統(tǒng)無條件有限時間集群.左圖為第一個粒子與其余粒子速度差的歐氏范數(shù)在3s內(nèi)分布圖,各粒子間速度差在有限時間內(nèi)趨于一致.右圖為第一個粒子與其余粒子位移差的歐氏范數(shù)在3s內(nèi)分布圖,各粒子間位移差在有限時間內(nèi)將保持有界.
上面對給定的θ,對不同的影響函數(shù)進行了數(shù)值仿真.由前面的第三種情況的證明可知,系統(tǒng)的Lipschitz連續(xù)項對系統(tǒng)的有限時間集群沒有影響,只對系統(tǒng)實現(xiàn)有限時間集群的時間產(chǎn)生影響.下面對給定的交流函數(shù),對不同的θ進行仿真.
選取交流函數(shù)為φ(r)=(1+r2)-β1,ψ(r)=(1+r2)-β2;當取初值相同,β1,β2固定時,分別對θ=0.3,0.4,0.5,0.6,0.7進行仿真,比較不同的θ對系統(tǒng)集群的影響.
圖4.4 當時,在θ取不同參數(shù)下,左圖為各粒子最大速度差在0.5s內(nèi)分布圖,右圖為各粒子最大位移差在0.5s內(nèi)分布圖.
圖4.5 當β2=2時,在θ取不同參數(shù)下,左圖為各粒子最大速度差在6s內(nèi)分布圖,右圖為各粒子最大位移差在6s內(nèi)分布圖.
本文主要討論了一類帶有非Lipschitz連續(xù)項與Lipschitz連續(xù)項混合型的Cucker-Smale模型有限時間集群的問題.研究結(jié)果表明,由(1.2)刻畫的多粒子群,系統(tǒng)的集群性由非Lipschitz項決定,Lipschitz連續(xù)項不影響系統(tǒng)的有限時間集群,但影響系統(tǒng)有限時間集群的時間,在一定條件下,系統(tǒng)實現(xiàn)有限時間集群,當系統(tǒng)中取特定的參數(shù)時,包含了文[1-2,4]中的結(jié)果.