吳俊滔，王曉，劉易成

(國防科技大學(xué)數(shù)學(xué)系，湖南長沙410073)

1.引言

為了刻畫自然界中生物群體的集群行為和社會科學(xué)中語言的形成等問題，基于牛頓力學(xué)原理，2007年Cucker和Smale提出并研究了如下N個智能體構(gòu)成的Cucker-Smale模型[1－2](下面簡記為CS模型)的集群行為:

其中xi，vi∈Rd，d為空間維數(shù)，α代表智能體間整體的相互作用強度，(xi，vi)代表第i個智能體的位移和速度，i=1，2，···，N，交流函數(shù)aij(r)=ψ(r)/N，ψ(r)=(1+r2)－β，r≥0，β≥0.

由于CS模型的普適性，引起各領(lǐng)域眾多學(xué)者的研究興趣.2009年，基于顯式Lyapunov方法，HA等人[3]改進了系統(tǒng)(1.1)實現(xiàn)集群行為的條件，并首次給出條件時間漸近集群和無條件時間漸近集群(以下簡稱條件集群和無條件集群)的相關(guān)概念.

基于有限時間穩(wěn)定性的現(xiàn)實意義，HAN[4]考慮一個新的非Lipschitz連續(xù)系統(tǒng)模型，證明了在一定條件下，系統(tǒng)在有限時間內(nèi)形成集群.一方面，HAN[4]要求系統(tǒng)的交流函數(shù)是某個單調(diào)遞減且有正下界的連續(xù)函數(shù)，但在經(jīng)典的CS模型(1.1)中，并未要求交流函數(shù)有正的下界，且交流函數(shù)的有界性就意味著相對位置的有界性，這也恰恰是證明系統(tǒng)形成集群的關(guān)鍵.另一方面，在促進系統(tǒng)形成集群的過程中，是非Lipschitz項起決定作用還是Lipschitz項起決定作用，都是非常值得研究的問題.

受Cucker[1－2]和HAN[4]工作的啟發(fā)，本文研究一類帶有非Lipschitz連續(xù)項和Llipschitz連續(xù)項混合的CS模型，其描述如下:

初始條件為:

其中l(wèi)1，l2為非負數(shù)，且不能同時為0，x=(x1，x2，...，xN)T∈RN×d，v=(v1，v2，...，vN)T∈RN×d，sign(vj(t)-vi(t))θ=(sign(vj1-vi1)|vj1-vi1|θ，···，sign(vjd-vid)|vjd-vid|θ)，sign:R→{-1，0，1}為符號函數(shù)，0＜θ＜1，d為空間維數(shù)，aij(x)=φ(‖xi-xj‖)，bij(x)=ψ(‖xi-xj‖)，φ(·)，ψ(·)為[0，+∞)上單調(diào)遞減的非負連續(xù)函數(shù).記vi(t))θ和則易知V1是非Lipschitz連續(xù)的，V2是Lipschitz連續(xù)的.

注1當l1＞0，l2=0時，即為Han[4]中的模型，當l1=0，l2＞0時，即為經(jīng)典的CS模型[1－2].

本文通過構(gòu)造Lyapunov函數(shù)和建立耗散微分不等式，在去掉文[4]交流函數(shù)有正的下界的要求后，證明了系統(tǒng)(1.2)能夠形成有限時間集群，同時也獲得了系統(tǒng)(1.2)有限時間集群行為的發(fā)生主要由非Lipschitz連續(xù)項決定和Lipschitz連續(xù)項影響系統(tǒng)有限時間集群時間大小的相關(guān)結(jié)果.

2.預(yù)備知識

為了獲得本文的主要結(jié)果，下面首先給出系統(tǒng)可以形成集群和有限時間集群的定義以及幾個輔助性引理.

定義2.1[3]設(shè)為系統(tǒng)(1.1)在給定初值條件下的解，dX(t)和dV(t)分別表示在t時刻系統(tǒng)中個體之間位移和速度大小之差的最大值，即

稱該系統(tǒng)可以形成集群，若系統(tǒng)的所有解滿足

稱該系統(tǒng)可以有限時間形成集群，若存在正數(shù)T＞0，使得當t≥T時，有

引理2.1[7]設(shè)a1，a2，···，an＞0，給定正數(shù)r，p，當r＜p時，有

引理2.2[7]設(shè)a1，a2，···，an＞0，當0＜p≤1時，有

引理2.3[6]設(shè)k＞0，0＜p＜1為常數(shù)，V(t)為一個正連續(xù)函數(shù)滿足則對任意給定t0，當t0≤t＜t1時有V1－p(t)≤V1－p(t0)-k(1-p)(t-t0)，當t≥t1時有V(t)=0，其中.

引理2.4[5]設(shè)ψ(x)為單調(diào)遞減的正連續(xù)函數(shù)，非負可導(dǎo)函數(shù)dX(t)，dV(t)滿足

若

則有

受文[3]能量方法的啟發(fā)，給出如下引理，也是改進文[4]中的主要結(jié)果的重要引理.

引理2.5設(shè)φ(x)為單調(diào)遞減的正連續(xù)函數(shù)，0＜θ＜1，非負可導(dǎo)函數(shù)dX(t)，dV(t)滿足

若

則有

其中d*由如下式子給出

證基于HA和LIU[3]提出的耗散微分不等式以及Lyapunov方法，考慮如下能量函數(shù)

則

因此Ψ(dX，dV)(t)關(guān)于時間t單調(diào)遞減，故對任意的t＞0，都有Ψ(dX，dV)(t)≤Ψ(dX，dV)(t0)(t0≥0為初始時刻)，即

由假設(shè)(2.5)可知，存在d*＞0(獨立于t)，使得下式成立，

結(jié)合(2.9)可得

這就意味著

由φ(x)的單調(diào)性可得

其中d*由如下式子給出

引理2.6設(shè)φ(r)，ψ(r)為單調(diào)遞減的正連續(xù)函數(shù)，非負可導(dǎo)函數(shù)X(t)，V(t)滿足

其中α，β為正常數(shù)，0＜θ＜1.對任意給定t0，若不等式

成立，則V(t)滿足

其中t1滿足這里的d*由如下式子給出

證如果對(2.13)中第二個式子進行如下兩種估計.

第一種方式保留上式右邊V(t)項，則有

由引理2.4證明可知當

成立時，存在l*，使得對任意的t＞t0，有X(t)≤l*.

第二種方式保留上式右邊V θ(t)項，則有

成立，由引理2.5證明可知當

成立時，存在s*，使得對任意的t＞t0，有X(t)≤s*.

綜上，當滿足條件(2.15)或者條件(2.16)時，對任意的t＞0，都存在d*，使得X(t)≤d*成立.令φ*:=根據(jù)φ(r)，ψ(r)的單調(diào)遞減性可得φ(X(t))≥φ*，ψ(X(t))≥ψ*，因此X(t)，V(t)滿足如下不等式組

即

上式兩邊從t0到t積分可得

即

由于V1－θ(t)≥0，且(2.17)式右邊單調(diào)遞減，因此當t0增加到t1時，有V(t1)=0，解得

再根據(jù)V(t)的連續(xù)性可知，當t≥t1時，恒有V(t)=0(此時V(t)滿足(2.17)式).

3.主要結(jié)果

本節(jié)主要研究由(1.2)刻畫的多粒子群的動力學(xué)行為，并探討其形成有限時間集群的充分條件.

為了獲得本文的主要結(jié)果，下面對系統(tǒng)(1.2)中的位移和速度進行中心化.由aij(x)，bij(x)的對稱性可得

令

初始條件為:

且滿足

初始條件為:

并滿足

設(shè)x=(x1，x2，...，xN)T∈RN×d，v=(v1，v2，...，vN)T∈RN×d為系統(tǒng)(3.2)的解，令

則有

同理可證

為了研究系統(tǒng)(1.2)的集群性，則只需研究系統(tǒng)(3.2)的集群性，由X(t)，V(t)的定義可知，即證X(t)，V(t)滿足條件(2.2)或者(2.3).

下面通過給出系統(tǒng)(3.2)有限時間集群的充分條件，從而得到系統(tǒng)(1.3)有限時間集群的充分條件.

定理3.1考慮系統(tǒng)(1.2)-(1.3)，設(shè)為系統(tǒng)(3.2)在給定初始條件(3.3)下的解，則有

1)若l1=0，l2＞0，ψ(r)為[0，+∞)上單調(diào)遞減的連續(xù)正函數(shù)，且滿足

則系統(tǒng)(1.2)條件漸近集群.

特別地，若

則系統(tǒng)(1.2)無條件漸近集群;

2)若l2=0，l1＞0，φ(r)為[0，+∞)上單調(diào)遞減的連續(xù)正函數(shù)，且滿足

則系統(tǒng)(1.2)有限時間集群.有限時間集群時間為

特別地，若

則系統(tǒng)(1.2)無條件有限時間集群;

3)若l1＞0，l2＞0，ψ(r)，φ(r)為[0，+∞)上單調(diào)遞減的連續(xù)正函數(shù)，且滿足

則系統(tǒng)(1.2)有條件有限時間集群.有限時間集群時間為

特別地，若

系統(tǒng)(1.2)無條件有限時間集群.

這里及本文中出現(xiàn)X(t)和V(t)如(3.5)式所示.

證對V2(t)求導(dǎo)可知

而

同理

由(3.12)，(3.13)，(3.14)可得

由引理2.2可知

故有

由引理2.3可知

根據(jù)(3.15)和(3.16)可得

而

即

由假設(shè)φ(·)，ψ(·)為單調(diào)遞減的連續(xù)非負函數(shù)，則有

因此有

即

又

1)當l1=0，l2＞0時，即為文[2]中經(jīng)典Cucker-Smale模型，則滿足如下微分不等式組

時，則有

故系統(tǒng)(3.2)形成集群，從而系統(tǒng)(1.2)形成集群.

2)當l2=0，l1＞0時，即為文[4]中模型，則滿足如下微分不等式組

則有

其中d*由如下式子給出

由引理2.3可知當t≥t1時，V(t)=0，其中t1滿足

注意到當t≥t1時，V(t)=0，由(3.17)可知V(t)≤V(0)，因此

故系統(tǒng)(3.2)有限時間集群，從而系統(tǒng)(1.2)有限時間集群.

3)當l1＞0，l2＞0時，有

如果對(3.20)中第二個式子進行如下兩種估計，第一種方式保留上式右邊V(t)項，有

成立，即化成第一種情況，則系統(tǒng)形成集群.

第二種方式保留上式右邊V θ(t)項，有

成立，即化成第二種情況，則系統(tǒng)有限時間集群.

綜上兩種估計，系統(tǒng)將有限時間集群.從上述證明可以看出，V(t)項對系統(tǒng)有限時間集群沒有影響，下面我們討論Lipschitz連續(xù)項對系統(tǒng)形成有限集群的時間大小的影響.

由引理2.6可知，若

則當t≥t1時，有V(t)=0，這里

注意到當t≥t1時，V(t)=0，由(3.17)可知V(t)≤V(0)，因此有

故系統(tǒng)(3.2)有限時間集群，從而系統(tǒng)(1.2)有限時間集群.

注3.1在文[4]中，假設(shè)交流函數(shù)φ(·)有一個正的下界，在本文中我們運用Lyapunov函數(shù)方法改進文[4]中的結(jié)果，當φ(·)為單調(diào)遞減的正連續(xù)函數(shù)時(不需要交流函數(shù)有正的下界)，系統(tǒng)將實現(xiàn)有限時間集群.

注3.2由上述第三種情況可知無論ψ(r)取何種函數(shù)時，不會影響系統(tǒng)實現(xiàn)有限時間集群，但會影響系統(tǒng)有限時間集群的時間大小，下面我們討論這種影響，并給出時間大小的比較，在后面的仿真中可以驗證其正確性.

為了給出Lipschitz連續(xù)項對系統(tǒng)有限時間集群時間的影響，則需要比較上述第二種和第三種情況有限時間集群時間的大小，即只需比較如下大小

這里的d*由第二種情況給出.由于

令

注3.3本文所討論的模型與文[4]中模型比較:增加經(jīng)典CS模型Lipschitz連續(xù)項，可以縮短系統(tǒng)實現(xiàn)有限時間集群的時間.經(jīng)典的CS模型項不影響系統(tǒng)的有限時間集群，但影響著系統(tǒng)實現(xiàn)有限時間集群的時間大小.

注3.4對于系統(tǒng)(1.2)，取影響函數(shù)為φ(r)=ψ(r)=H，β＞0，當l1=0，l2＞0，即為文[1-2]中經(jīng)典Cucker-Smale模型，系統(tǒng)漸進集群;當l1＞0，l2=0，即為文[4]中模型，系統(tǒng)有限時間集群.

4.數(shù)值仿真

在本節(jié)中，使用Matlab對如下系統(tǒng)進行了數(shù)值模擬.

其中aij(x)=φ(‖xi-xj‖)，bij(x)=ψ(‖xi-xj‖)，φ(·)，ψ(·)為單調(diào)遞減的非負連續(xù)函數(shù)，l1，l2為非負數(shù)，且不能同時為0.

取粒子數(shù)N=40;空間維數(shù)d=2;系統(tǒng)中參數(shù)設(shè)置l1=l2=1，初值速度和位移分別為區(qū)間[-20，20]×[-30，20]和[-40，30]×[-40，10]上的隨機數(shù).下面分別對取不同的θ，影響函數(shù)φ(·)，ψ(·)進行數(shù)值模擬.

取θ=影響函數(shù)為φ(r)=(1+r2)－β1，ψ(r)=(1+r2)－β2;在初始條件相同的情況下，取不同的β1，β2進行仿真(如圖4.1、4.2、4.3).

圖4.2 取β1=2，β2=當0＜β2≤時，無論β1取何值，系統(tǒng)無條件漸近集群.左圖為第一個粒子與其余粒子速度差的歐氏范數(shù)在1s內(nèi)分布圖，各粒子間速度差將趨于一致.右圖為第一個粒子與其余粒子位移差的歐氏范數(shù)在1s內(nèi)分布圖，各粒子間位移差將保持有界.

圖4.1 取系統(tǒng)無條件有限時間集群.左圖為第一個粒子與其余粒子速度差的歐氏范數(shù)在1s內(nèi)分布圖，各粒子間速度差在有限時間內(nèi)趨于一致.右圖為第一個粒子與其余粒子位移差的歐氏范數(shù)在1s內(nèi)分布圖，各粒子間位移差在有限時間內(nèi)將保持有界.

注4.1由上述三種不同形式(如圖4.1，4.2，4.3)的仿真結(jié)果可以看出，β2對系統(tǒng)集群時間的影響更明顯一些(如圖4.1和圖4.3).

圖4.3 取β1=，β2=2，當0＜β1≤時，無論β2取何值，系統(tǒng)無條件有限時間集群.左圖為第一個粒子與其余粒子速度差的歐氏范數(shù)在3s內(nèi)分布圖，各粒子間速度差在有限時間內(nèi)趨于一致.右圖為第一個粒子與其余粒子位移差的歐氏范數(shù)在3s內(nèi)分布圖，各粒子間位移差在有限時間內(nèi)將保持有界.

上面對給定的θ，對不同的影響函數(shù)進行了數(shù)值仿真.由前面的第三種情況的證明可知，系統(tǒng)的Lipschitz連續(xù)項對系統(tǒng)的有限時間集群沒有影響，只對系統(tǒng)實現(xiàn)有限時間集群的時間產(chǎn)生影響.下面對給定的交流函數(shù)，對不同的θ進行仿真.

選取交流函數(shù)為φ(r)=(1+r2)－β1，ψ(r)=(1+r2)－β2;當取初值相同，β1，β2固定時，分別對θ=0.3，0.4，0.5，0.6，0.7進行仿真，比較不同的θ對系統(tǒng)集群的影響.

圖4.4 當時，在θ取不同參數(shù)下，左圖為各粒子最大速度差在0.5s內(nèi)分布圖，右圖為各粒子最大位移差在0.5s內(nèi)分布圖.

圖4.5 當β2=2時，在θ取不同參數(shù)下，左圖為各粒子最大速度差在6s內(nèi)分布圖，右圖為各粒子最大位移差在6s內(nèi)分布圖.

5.結(jié)束語

本文主要討論了一類帶有非Lipschitz連續(xù)項與Lipschitz連續(xù)項混合型的Cucker-Smale模型有限時間集群的問題.研究結(jié)果表明，由(1.2)刻畫的多粒子群，系統(tǒng)的集群性由非Lipschitz項決定，Lipschitz連續(xù)項不影響系統(tǒng)的有限時間集群，但影響系統(tǒng)有限時間集群的時間，在一定條件下，系統(tǒng)實現(xiàn)有限時間集群，當系統(tǒng)中取特定的參數(shù)時，包含了文[1-2，4]中的結(jié)果.