◎ 黃 欣

一、兩個(gè)版本教材相關(guān)知識(shí)呈現(xiàn)及整合

1.魯教版八年級(jí)數(shù)學(xué)(2014 年版)上冊(cè)39 頁(yè)(節(jié)選):

方程兩邊都乘x-2，得

1-x=-1-2(x-2)

解這個(gè)方程，得

x=2.

你認(rèn)為x=2 是原方程的根嗎?

x=2 不是原方程的根，因?yàn)樗沟迷质椒匠讨蟹质降姆帜傅闹禐榱恪Ｏ襁@樣，在方程變形中如果產(chǎn)生了不適合原方程的根，那么我們稱(chēng)它為原方程的增根.”

2.人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)(2013 年版)上冊(cè)150 頁(yè)(節(jié)選):

“我們?cè)賮?lái)討論一個(gè)分式方程

去分母，得整式方程x+5=10

解得x=5

將x=5 代入原分式方程檢驗(yàn)，這時(shí)分母x-5 和x2-25 的值都為零，相應(yīng)的分式無(wú)意義。因此，x=5 是整式方程x+5=10的解，但因使原方程中的分式無(wú)意義，而不是原分式方程的解.實(shí)際上，這個(gè)分式方程無(wú)解.”

3.整合兩個(gè)版本教材，定義增根概念.

增根的定義:一般地，解分式方程時(shí)，去分母后所得的整式方程的解有可能使原分式方程中分母為零，我們把這種情形下的未知數(shù)的值叫作分式方程的增根。簡(jiǎn)言之，增根就是去分母后整式方程的解但又使原分式方程分母為零的未知數(shù)的值.分式方程增根和無(wú)解兩個(gè)概念既有聯(lián)系更有區(qū)別，如因增根導(dǎo)致了原方程無(wú)解，以致很多同學(xué)就想當(dāng)然地認(rèn)為方程無(wú)解就是因?yàn)樵龈?，這就讓學(xué)生產(chǎn)生了認(rèn)知沖突。

二、課堂教學(xué)實(shí)施片段

1.引入新知，激起求知欲

師:同學(xué)們都會(huì)解分式方程了，知道解分式方程的一般步驟。有些好學(xué)的同學(xué)問(wèn)過(guò)老師一個(gè)問(wèn)題:什么叫分式方程的增根，今天我們揭開(kāi)它的面紗。(PPT 出示魯教版八年級(jí)數(shù)學(xué)(2014 年版)上冊(cè)39 頁(yè))的“議一議”)。

生:方程無(wú)解，有增根，增根是x=5.

師:為什么說(shuō)方程有增根，增根是x=5 呢?

生:根據(jù)老師講增根的定義知道，整式方程的解x=5 代入到分母，使得分母為零，所以是分式方程的增根，所以原分式方程無(wú)解。

師:那分式方程無(wú)解和增根是一個(gè)意思嗎?

設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)解方程讓學(xué)生復(fù)習(xí)解分式方程的步驟，并初步熟悉增根的概念，也為后面進(jìn)一步的問(wèn)題——增根與無(wú)解的關(guān)系探究做好鋪墊。最后一問(wèn)，學(xué)生“眾猜紛紜”，順勢(shì)提出問(wèn)題1.

2.問(wèn)題探究，激起深思考

問(wèn)題1:分式方程無(wú)解就一定有增根嗎?

小組代表分享解方程過(guò)程:

解:去分母得整式方程

(x-2)2+4x+4=4-4x2化簡(jiǎn)得x2=-4＜0

因?yàn)槿魏我粋€(gè)數(shù)的平方是大于等于零的，所以這個(gè)整式方程無(wú)解，所以原分式方程也就無(wú)解。

師:非常棒，完全正確。這個(gè)分式方程無(wú)解，有增根嗎?

生:分式方程化為的整式方程都沒(méi)有解，原方程當(dāng)然就沒(méi)有增根啦。

師:給你點(diǎn)贊! 看來(lái)分式方程無(wú)解可能是整式方程無(wú)解導(dǎo)致的，這時(shí)原分式方程沒(méi)有增根卻是無(wú)解的。

歸納總結(jié):去分母后整式方程的無(wú)解也可以導(dǎo)致原分式方程的無(wú)解，因此“無(wú)解的分式方程不一定有增根”。

設(shè)計(jì)意圖:這是對(duì)無(wú)解與增根的初步探討，讓學(xué)生明白無(wú)解的源頭并非只是增根。有利于學(xué)生的批判意識(shí)和發(fā)散性高階思維的培養(yǎng)。

師:由以上探究我們知道了分式方程無(wú)解也可能由整式方程無(wú)解導(dǎo)致的。結(jié)合以上兩道題，我們明白了無(wú)解不一定有增根，接下來(lái)我們探討下面問(wèn)題。

問(wèn)題2:有增根的分式方程一定無(wú)解嗎?

先獨(dú)立完成，然后“兵教兵”，最后師生共同完成:

解:兩邊乘以最簡(jiǎn)公分母(x+1)(x+2)=x2+3x+2，得整式方程

(x+6)(x+2)-(2x2+11x+14)+(2x+1)(x+1)化簡(jiǎn)得

x2=1

解得x=±1，

師停頓后問(wèn):

x=±1 都是原分式方程的解嗎? 如何檢驗(yàn)?

小組代表:x=1 是原分式方程的解。應(yīng)為當(dāng)x=-1 時(shí)(x+1)(x+2)=0，故x=-1 是原方程的增根，所以不是原分式方程的解，但當(dāng)x=1 時(shí)(x+1)(x+2) ≠0，所以綜上x(chóng)=1是原分式方程的解。

師:從這道方程看出盡管整式方程的一個(gè)解x=-1 是分式方程的增根，但另一個(gè)解x=1 確實(shí)是分式方程的解，說(shuō)明分式方程有增根也可能有解，所以“分式方程有曾根不一定無(wú)解”。

同學(xué)們看完之后是否明晰了對(duì)增根及其與無(wú)解關(guān)系的理解呢，也可以自己舉出些例子來(lái)。

設(shè)計(jì)意圖:問(wèn)題2 是對(duì)問(wèn)題1 的反向拓展，僅僅借助問(wèn)題1 學(xué)生對(duì)分式方程的無(wú)解還很片面。將分式方程轉(zhuǎn)化來(lái)的整式方程進(jìn)行特別的研究，體現(xiàn)了對(duì)分式方程求解過(guò)程性深層分析。問(wèn)題1 和問(wèn)題2的所給的兩道方程去分母后轉(zhuǎn)化的整式方程的特點(diǎn)剛好相反，形成鮮明的對(duì)比，學(xué)生對(duì)分式方程的解答步驟的完整性要求理解更透徹，對(duì)無(wú)解和增根的關(guān)系更明確。明白增根、無(wú)解以及兩者之間的關(guān)系后，讓學(xué)生自己構(gòu)造方程，以培養(yǎng)學(xué)生開(kāi)放性和建構(gòu)思維。

3.逆向發(fā)問(wèn)，促高階思維發(fā)展

已知關(guān)于x的分式方程則a取何值時(shí)，

(1)分式方程有增根?

(2)分式方程無(wú)解?

設(shè)計(jì)意圖:給出一個(gè)含字母系數(shù)的分式方程，對(duì)增根和無(wú)解進(jìn)行對(duì)比逆向設(shè)問(wèn)，有利于在概念比較辨析中鞏固新知理解，至此，學(xué)生對(duì)分式方程的無(wú)解和增根的關(guān)系有了全面而深刻的認(rèn)識(shí)。同時(shí)滲透了分類(lèi)討論思想，發(fā)展學(xué)生高階思維能力。

三、教學(xué)反思與啟發(fā)

1.養(yǎng)成課程資源開(kāi)發(fā)與利用的意識(shí)。對(duì)于學(xué)生提出的疑惑問(wèn)題，而現(xiàn)版本上的課本沒(méi)有，老師要學(xué)會(huì)查閱資料，尤其是全國(guó)各個(gè)版本教材，我們都應(yīng)該取去涉獵研究，求同存異，結(jié)合學(xué)生的問(wèn)題資源，整合不同版本教材資源，為提高學(xué)生從事數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和教師從事教學(xué)活動(dòng)的質(zhì)量服務(wù)。

2.突破教材局限，設(shè)置層次性問(wèn)題，讓學(xué)生在解題過(guò)程中明晰概念從而應(yīng)用概念解題，發(fā)展學(xué)生高階思維。解分式方程這塊內(nèi)容各個(gè)版本教材敘述相對(duì)“淺嘗輒止”，但在實(shí)際教學(xué)中，如果老師干巴巴的“照本宣科”灌輸給學(xué)生解分式方程的一般步驟，學(xué)生就好比是流水線(xiàn)上生產(chǎn)工人，知道按“程序”操作，知其然不知其所以然，失去理解學(xué)習(xí)和高階思維發(fā)展的機(jī)會(huì)。于是我通過(guò)自己設(shè)計(jì)的層次性問(wèn)題，讓學(xué)生在解決具體問(wèn)題過(guò)程中，明晰概念，理解解分式方程的步驟和依據(jù)，清楚來(lái)龍去脈，促進(jìn)學(xué)生高階思維發(fā)展。