李 欣，馬米花

（閩南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,福建漳州363000）

隨著機(jī)械臂在日常生活中的廣泛應(yīng)用，它作為一種重要的動(dòng)力學(xué)機(jī)械系統(tǒng)，根據(jù)需要建立控制程序，漸漸代替人類去完成更多高危險(xiǎn)，超負(fù)載的任務(wù)作業(yè)，在工業(yè)生產(chǎn)和制造業(yè)中扮演著越來越重要的角色[1].在這些實(shí)際應(yīng)用中，如何設(shè)計(jì)控制器，使機(jī)械臂系統(tǒng)能更加安全高效地工作，這一直是一個(gè)重要且有趣的研究方向.并且現(xiàn)在已有大量研究成果[2-4].但值得關(guān)注的是，在實(shí)際的操作中，機(jī)械臂末端執(zhí)行器位置的準(zhǔn)確運(yùn)作需要在任務(wù)空間中[5]，我們也將同步控制的思想應(yīng)用到這一方向上.

本文主要針對(duì)存在參數(shù)不確定性的網(wǎng)絡(luò)機(jī)械臂系統(tǒng)，在機(jī)械臂系統(tǒng)的任務(wù)空間中設(shè)計(jì)一種間歇控制器使得機(jī)械臂末端執(zhí)行器能夠跟蹤到固定的目標(biāo)位置.該控制器的設(shè)置與現(xiàn)有的大多數(shù)機(jī)械臂控制成果不同，不用連續(xù)接收期望軌道信息而且考慮任務(wù)空間來取代關(guān)節(jié)空間.最后，應(yīng)用例子仿真結(jié)果進(jìn)一步驗(yàn)證了提出的間歇控制策略可以實(shí)現(xiàn)機(jī)械臂網(wǎng)絡(luò)在任務(wù)空間對(duì)期望軌道的追蹤.

1 機(jī)械臂系統(tǒng)模型及同步框架

考慮由N個(gè)不同智能體組成的網(wǎng)絡(luò)，其中每個(gè)智能體的動(dòng)力學(xué)行為用拉格朗日方程來描述：

性質(zhì)1(反對(duì)稱性)矩陣是反對(duì)稱的，即對(duì)任意的

性質(zhì)2(有界性)存在正常數(shù)，成立不等式和

性質(zhì)3(參數(shù)線性化)對(duì)于任意的可微向量qi,x,y∈Rn，有其中θi∈R m是拉格朗日系統(tǒng)的物理參數(shù)集，Φi∈R n×m為動(dòng)力學(xué)回歸方程.

給定一個(gè)期望位置xd∈R n是固定點(diǎn)，設(shè)計(jì)耦合強(qiáng)度c(t)和控制器ui(t)(i= 1,2,…,N- 1,N)使得拉格朗日網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的跟蹤誤差? 歷時(shí)一定時(shí)間之后趨于零,從而實(shí)現(xiàn)拉格朗日系統(tǒng)在自適應(yīng)間歇控制下的同步問題.引入?yún)⒖甲兞咳缦拢?/p>

其中λ＞0.基于式(1) ，考慮如下受控機(jī)械臂網(wǎng)絡(luò)：

其中ui(t)是待設(shè)計(jì)的自適應(yīng)間歇控制器，c(t)＞0 表示任務(wù)空間上末端執(zhí)行器位置的網(wǎng)絡(luò)耦合強(qiáng)度，bij是鄰接矩陣表示第i個(gè)智能體和第j個(gè)智能體之間在任務(wù)空間上的位置和速度信息交換，其網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)用圖GB=(V,ε,B)表示.圖的拉普拉斯矩陣記為L(zhǎng)B=[lij]∈R N×N.式(4)可寫為：

2 自適應(yīng)間歇控制

設(shè)計(jì)討論式(5)的自適應(yīng)間歇牽制方案.不失一般性，我們選擇前l(fā)個(gè)節(jié)點(diǎn)（否則可以重新排列節(jié)點(diǎn)順序）施加控制，從而將自適應(yīng)間歇控制器ui(t)設(shè)計(jì)為：

其中η是任意的正數(shù)為估計(jì)參數(shù)誤差量.將網(wǎng)絡(luò)耦合強(qiáng)度c(t)設(shè)計(jì)為c(t)=c，t2m≤t≤t2m+1；，其中c是待設(shè)計(jì)的正常數(shù).將式(6)代入統(tǒng)式(5).當(dāng)t∈[t2m,t2m+1]時(shí)，由式(5)得

綜合上述討論，可以得到網(wǎng)絡(luò)機(jī)械臂動(dòng)力系統(tǒng)：

3 任務(wù)空間同步分析

在給出重要結(jié)論之前引入如下推廣的Βarbalat引理.

引理1[2]假設(shè)且t0= 0是隨κ嚴(yán)格遞增的時(shí)間序列,函數(shù)滿足：

定理1考慮有限的任務(wù)空間，其中雅可比矩陣為滿秩，對(duì)于任務(wù)空間中給定期望的末端執(zhí)行器位置xd，選取控制增益ki＞0(1,2,…,l)，λ＞0 和η＞0，那么含參數(shù)不確定的網(wǎng)絡(luò)機(jī)械臂動(dòng)力系統(tǒng)式(11)通過式(6)和式(7)使得系統(tǒng)末端執(zhí)行器位置追蹤到期望的位置，即達(dá)到跟蹤同步，有當(dāng)t→∞時(shí)

證明引入Lyapunov函數(shù)如下

當(dāng)t∈[t2m,t2m+1]時(shí)，V(t)沿著式(11)的第一個(gè)方程式求導(dǎo)得

4 理論應(yīng)用和模擬結(jié)果

考慮4 個(gè)雙連桿機(jī)械臂的跟蹤同步，其中雙連桿機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)行為可由拉格朗日系統(tǒng)Mi(qi)q?i+Ci(qi,q?i)q?i+gi(qi)=τi來描述[2-4]，其中i= 1,2,3,4，qi=(qi1,qi2)T∈R2.兩個(gè)連桿的質(zhì)量記作mi1和mi2，慣量各記為Ii1、Ii2，長(zhǎng)度各記作li1、li2，連接點(diǎn)到桿質(zhì)心的長(zhǎng)度各記作lic1、lic2.

考慮由4 個(gè)雙連桿機(jī)械臂組成網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖1.這四個(gè)節(jié)點(diǎn)的度數(shù)差分別為2、0、1、-3. 在接下來的仿真中，假設(shè)第1 個(gè)和第3 個(gè)機(jī)械臂的物理參數(shù)為mi1= 2.0 kg，mi2= 1.8 kg，li1= 1.4 m，li2= 1.3 m，lic1= 0.75 m，lic2= 0.55 m，Ii1= mi1l2ic1/3，Ii2= mi2l2ic2/3，i= 1,3.而第2 個(gè)和第4 個(gè)機(jī)械臂的物理參數(shù)取為mi1= 1.8 kg，mi2= 1.98 kg，li1= 1.26 m，li2= 1.43 m，lic1= 0.71 m，lic2= 0.58 m，Ii1= 0.30 m，Ii2=0.22m，i=2,4.取非周期性間歇控制時(shí)間如下[0,0.6 ]?[1.15,1.8 ]?[2.2,2.8 ]?[3.35,4 ]?[4.4,5 ]?….期望的軌道目標(biāo)取為xd=(2,-3)T.隨后，我們考慮控制增益k1=10，k2=10，k3=10，k4=0，λ=10，η=6，耦合強(qiáng)度c= 6，取前3 個(gè)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行牽制控制.數(shù)值模擬結(jié)果如圖2，機(jī)械臂系統(tǒng)末端執(zhí)行器位置xi( )t可以追蹤到目標(biāo)位置xd.

圖1 4個(gè)雙連桿機(jī)械臂的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)鋱DFig.1 Network topology of four double link manipulators

圖2 跟蹤誤差‖xi( t )- xd ‖(i = 1,2,3,4)Fig.2 Tracking error‖xi( t )- xd ‖(i = 1,2,3,4)