李志鑫, 王 晶, 張 猛

基于機(jī)器學(xué)習(xí)的內(nèi)孤立波波要素關(guān)系研究

李志鑫, 王 晶, 張 猛

(中國(guó)海洋大學(xué) 物理與光電工程學(xué)院, 山東 青島 266100)

內(nèi)孤立波在海洋中的傳播會(huì)攜帶能量和動(dòng)量, 不同振幅的內(nèi)孤立波對(duì)海洋中的能量交換及海上工程等影響也不同, 因此, 研究?jī)?nèi)孤立波振幅與半波寬度、水深、分層條件、密度等水文特征參量之間的關(guān)系顯得尤為重要。以往在研究中建立內(nèi)孤立波振幅與它們之間的關(guān)系時(shí), 會(huì)受到不同理論有效適用范圍的限制。本文借助實(shí)驗(yàn)室的水槽方法, 設(shè)計(jì)了不同的水深、分層及密度條件下的內(nèi)孤立波系列綜合實(shí)驗(yàn), 發(fā)現(xiàn)內(nèi)孤立波的振幅與半波寬度、水深、分層條件以及水體密度等參量之間并非簡(jiǎn)單線性關(guān)系。因此, 利用機(jī)器學(xué)習(xí)的方法建立內(nèi)孤立波振幅與上述參量之間的非線性關(guān)系, 建立了支持向量機(jī)(SVM)和隨機(jī)森林(RF)兩種機(jī)器學(xué)習(xí)模型。將1 266組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)建立樣本庫, 其中包含訓(xùn)練集970組, 測(cè)試集296組, 對(duì)模型進(jìn)行參數(shù)調(diào)優(yōu), 最終通過測(cè)試集驗(yàn)證, SVM模型的平均相對(duì)誤差為17.3%, RF模型的平均相對(duì)誤差為15.5%。該方法適用于多種不同的水文條件, 有效解決先前理論存在的適用性問題。

內(nèi)孤立波; 振幅; 水槽實(shí)驗(yàn); 支持向量機(jī); 隨機(jī)森林

在過去幾十年里現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)和遙感觀測(cè)的結(jié)果表明, 內(nèi)孤立波是海洋中的一種普遍現(xiàn)象[1], 通常由潮汐流過島嶼、海底山脊或大陸架造成密度躍層的重力塌陷產(chǎn)生[2]。內(nèi)孤立波在海洋中可以傳播數(shù)百公里并且結(jié)構(gòu)不會(huì)發(fā)生明顯變化, 它們的傳播伴隨著海洋中巨大的能量傳輸[3], 對(duì)洋流測(cè)量、海上工程、海洋航行等產(chǎn)生重要影響[4-5]。因此, 正確理解內(nèi)孤立波的物理特性至關(guān)重要。

弱非線性的Korteweg–de Vries(KdV)方程[6]是描述內(nèi)孤立波傳播的最簡(jiǎn)單的模型, 由于其簡(jiǎn)單的形式而被廣泛使用, 但其僅適用于小振幅內(nèi)孤立波。Koop等[7]對(duì)兩層流體系統(tǒng)中有限振幅內(nèi)孤立波的實(shí)驗(yàn)進(jìn)行研究, 表明淺水中KdV理論與實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致, 當(dāng)水深條件改變, 理論會(huì)和實(shí)驗(yàn)結(jié)果發(fā)生偏差, Grue等人[8]在實(shí)驗(yàn)中固定水體分層比, 通過改變振幅進(jìn)行實(shí)驗(yàn), 發(fā)現(xiàn)KdV理論適用的有效振幅范圍很小, 之后的大部分實(shí)驗(yàn)表明KdV理論僅適用于小振幅內(nèi)孤立波的情況, 當(dāng)振幅與流體厚度之比超過0.1時(shí), KdV理論不再適用[9-10]。eKdV理論作為KdV理論的一個(gè)擴(kuò)展, 可以更好地描述中等振幅的內(nèi)孤立波[11], 對(duì)于相對(duì)較小的振幅, eKdV與KdV之間的解存在顯著差異[1], 對(duì)于大振幅內(nèi)孤立波, eKdV理論在上下兩層流體厚度差異較小時(shí)較為準(zhǔn)確。為描述更大振幅的內(nèi)孤立波, Miyata[12]與Choi等[13]對(duì)弱非線性兩層eKdV模型進(jìn)行了擴(kuò)展, 給出了完全非線性的內(nèi)孤立波的解析解, 即Miyata–Choi–Camassa(MCC)理論, 研究表明, 對(duì)于大振幅的內(nèi)孤立波, MCC理論的解與實(shí)驗(yàn)室結(jié)果一致[14], 不同于eKdV的是, MCC理論在兩層流體厚度差異明顯時(shí)較為準(zhǔn)確。Du等人[15]通過實(shí)驗(yàn)得出特征頻率(相速度/內(nèi)孤立波特征波長(zhǎng))與內(nèi)孤立波振幅之間的關(guān)系是選擇以上哪種理論的最佳標(biāo)準(zhǔn), 而特征頻率又與上下層水體的厚度及密度有關(guān)。適用于不同條件下的其他理論也大多是在KdV理論的基礎(chǔ)上進(jìn)行擴(kuò)展而得到的, 由此可見, 內(nèi)孤立波振幅與上下層水體的厚度、密度及內(nèi)孤立波的波形之間存在復(fù)雜的關(guān)系。

綜上所述, 在建立內(nèi)孤立波振幅與其他參量之間的關(guān)系時(shí), 要充分考慮各種理論的適用條件, 由于每種理論只能很好地在各自的有效范圍內(nèi)對(duì)內(nèi)孤立波進(jìn)行描述, 超出有效范圍則會(huì)產(chǎn)生系統(tǒng)偏差, 因此, 通過各種理論給出的解析解來描述內(nèi)孤立波振幅與半波寬度及水深、密度等水文參量之間的關(guān)系時(shí), 其準(zhǔn)確性會(huì)受到不同條件的限制。為解決該問題, 本文通過在實(shí)驗(yàn)室水槽中設(shè)計(jì)不同的實(shí)驗(yàn), 對(duì)內(nèi)孤立波的振幅、半波寬度、分層和密度差等進(jìn)行提取并生成數(shù)據(jù)庫, 利用兩種大數(shù)據(jù)模型有效地建立內(nèi)孤立波振幅與其他參量之間的關(guān)系, 并且該方法可適用于多種水文條件。

1 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

在水槽實(shí)驗(yàn)中, 內(nèi)孤立波通常利用分層流體的重力塌陷產(chǎn)生[17], 生成原理如圖1所示, 在水槽中垂直插入擋板至密度躍層下方并確保擋板與水槽底部留有部分空間, 擋板左側(cè)形成一個(gè)造波區(qū), 向造波區(qū)內(nèi)緩慢注入一定量的淡水, 下層鹽水會(huì)通過擋板下方流向右側(cè)以保持流體靜力平衡, 隨上層淡水注入, 造波區(qū)一側(cè)的密度躍層下降, 與另一側(cè)形成高度差, 可通過設(shè)置不同的塌陷高度, 生成不同振幅的內(nèi)孤立波。實(shí)驗(yàn)時(shí)快速平穩(wěn)地抽離擋板, 兩側(cè)流體由于存在重力勢(shì)能差發(fā)生重力塌陷, 從而產(chǎn)生垂直剪切運(yùn)動(dòng), 兩層水體迅速混合產(chǎn)生順時(shí)針方向的擾動(dòng), 生成第一模態(tài)下降型的內(nèi)孤立波向右傳播, 同時(shí)利用計(jì)算機(jī)控制CCD進(jìn)行拍攝。

圖1 實(shí)驗(yàn)儀器示意圖

2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

利用CCD拍攝內(nèi)孤立波的傳播過程, 如圖2所示, 從圖中提取內(nèi)孤立波的振幅和半波寬度, 在KdV方程的推導(dǎo)中, 非線性系數(shù)作為一個(gè)尺度參數(shù), 意味著波振幅與總水深的比值/其大小代表了振幅的大小[18]。為研究?jī)?nèi)孤立波振幅與半波寬度及水深、分層條件和密度之間的關(guān)系, 設(shè)置了若干組對(duì)照實(shí)驗(yàn), 改變水深、密度差和分層等初始實(shí)驗(yàn)條件, 由于我們需要分析內(nèi)孤立波振幅與半波寬度之間的關(guān)系, 因此將半波寬度與總水深的比值/作為半波寬度的尺度。通過觀察振幅與總水深的比值/和半波寬度與總水深的比值/之間關(guān)系的變化來反映振幅與其他水文特征參量之間的關(guān)系。

圖2 內(nèi)孤立波垂向剖面的時(shí)間序列圖

2.1 不同分層條件下內(nèi)孤立波振幅與半波寬度的關(guān)系

圖3 不同分層條件下內(nèi)孤立波振幅與半波寬度散點(diǎn)圖

2.2 不同密度條件下內(nèi)孤立波振幅與半波寬度的關(guān)系

圖4 不同密度條件下內(nèi)孤立波振幅與半波寬度散點(diǎn)圖

2.3 不同水深條件下內(nèi)孤立波振幅與半波寬度的關(guān)系

2.4 全條件下內(nèi)孤立波振幅與半波寬度的關(guān)系

對(duì)所有實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析, 在全條件下, 振幅與半波寬度之間的關(guān)系如圖6所示, 結(jié)合以上3組對(duì)照實(shí)驗(yàn), 可以發(fā)現(xiàn), 振幅與半波寬度之間的線性相關(guān)性很低, 改變某種水文條件,a 兩者關(guān)系會(huì)發(fā)生變化, 說明振幅與半波寬度之間存在的是一種復(fù)雜的非線性關(guān)系。針對(duì)不同初始條件下產(chǎn)生的內(nèi)孤立波, 傳統(tǒng)的非線性理論給出了各自的穩(wěn)態(tài)解, 一旦超出適用的范圍, 會(huì)與實(shí)際波形產(chǎn)生偏差, 對(duì)于各種水文條件都包含的情況, 可以利用機(jī)器學(xué)習(xí)的方法建立內(nèi)孤立波振幅與半波寬度及水文特征參量之間的非線性關(guān)系。

圖5 不同水深下內(nèi)孤立波振幅與半波寬度散點(diǎn)圖

圖6 內(nèi)孤立波振幅與半波寬度散點(diǎn)圖

3 模型建立

目前, 機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域的研究取得巨大進(jìn)展, Warren Mcculloch和Walter Pitts在1943年提出了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)模型[19], 為機(jī)器學(xué)習(xí)的發(fā)展奠定了重要基礎(chǔ)。機(jī)器學(xué)習(xí)是從給定訓(xùn)練樣本中尋找輸入與輸出之間的最優(yōu)關(guān)系, 使其能夠?qū)o法觀測(cè)的輸出做出盡可能準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)[20], 20世紀(jì)90年代以來, 多種基于統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)規(guī)律的淺層機(jī)器學(xué)習(xí)模型的出現(xiàn), 使機(jī)器學(xué)習(xí)的研究取得很大的進(jìn)展[21]。

3.1 機(jī)器學(xué)習(xí)模型

支持向量機(jī)(support vector machine)是Cortes和Vapnik在1995年首次提出的一種基于統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)理論的有監(jiān)督的機(jī)器學(xué)習(xí)方法[22], 廣泛用于處理統(tǒng)計(jì)分類和回歸分析問題, SVM具有很好的魯棒性和泛化能力, 能夠很好地建立數(shù)據(jù)之間的非線性關(guān)系。利用SVM處理回歸問題的基本思想如圖7a所示, 在處理回歸問題時(shí), 我們希望能夠找到最優(yōu)超平面, 使得所有樣本點(diǎn)與超平面之間的偏差最小, 即讓更多的數(shù)據(jù)落在邊界內(nèi), 當(dāng)數(shù)據(jù)足夠多時(shí), 就可以將超平面作為回歸結(jié)果, 為防止模型過擬合, 通常采用-不敏感損失函數(shù)(見圖7b)來界定超平面與邊界的間隔距離, 當(dāng)模型結(jié)果與真值之間差值的絕對(duì)值大于才計(jì)算損失[23]。在處理非線性回歸問題時(shí), 由于低維空間無法進(jìn)行處理, 需要將樣本空間的數(shù)據(jù)映射到高維特征空間(又稱希爾伯特空間)進(jìn)行處理。由于非線性SVM在升維過程中會(huì)使計(jì)算量增大, 延長(zhǎng)數(shù)據(jù)處理的時(shí)間, 且容易引發(fā)維度爆炸, 因此需要引入合適的核函數(shù)(x, x)使其在低維空間進(jìn)行計(jì)算, 將實(shí)際效果映射到高維空間中, 避免了在高維空間對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行直接計(jì)算。SVM中不同的核函數(shù)會(huì)構(gòu)造出不同的高維特征空間, 在處理此類問題時(shí), 通常采用徑向基核函數(shù)(RBF), SVM的模型結(jié)構(gòu)如圖8a所示。

圖7 SVM處理回歸問題原理圖

注:: 超平面與邊界的間隔距離

隨機(jī)森林(random forest, RF)是Breiman在2001年提出的一種基于分類樹的機(jī)器學(xué)習(xí)算法[24], 其基本原理是利用自助重抽樣方法從原始樣本中抽取多個(gè)樣本[25], 即多個(gè)決策樹分別從訓(xùn)練集中抽取一部分樣本, 不同決策樹學(xué)習(xí)的樣本是有差別的, 關(guān)注的特征也是不同的, 決策樹之間沒有關(guān)聯(lián), 體現(xiàn)了其樣本和屬性的雙重隨機(jī)性。這種方式也從一定程度上避免了過擬合, 每棵決策樹都會(huì)輸出一個(gè)結(jié)果,在處理回歸問題時(shí), 最終結(jié)果由每棵決策樹給出的均值綜合而來, 是一種集成學(xué)習(xí)算法, 具有精確度高、調(diào)節(jié)參數(shù)少、訓(xùn)練速度快的優(yōu)點(diǎn), 是一種很好的非線性建模工具, 模型結(jié)構(gòu)如圖8b所示。

圖8 SVM與RF模型結(jié)構(gòu)圖

注:1: 上層水深,2: 下層水深,3: 上層水深與總水深的比值,4: 上層水體密度,5: 下層水體密度,6: 內(nèi)孤立波半波寬度,(x, x): 核函數(shù),ay: 權(quán)重,: 輸出振幅值。

3.2 樣本庫

4 結(jié)果與分析

表1 輸入-輸出設(shè)置

圖 9 模型結(jié)果與測(cè)試集擬合圖

RF是一種基于多棵決策樹進(jìn)行優(yōu)化決策的算法,其參數(shù)調(diào)優(yōu)主要包括兩部分: 一是對(duì)RF框架的調(diào)優(yōu), 二是對(duì)RF決策樹的調(diào)優(yōu)。對(duì)于框架的調(diào)優(yōu)一般考慮調(diào)節(jié)決策樹的數(shù)量, 設(shè)置決策樹數(shù)量范圍為(0, 1 000],并以步長(zhǎng)為10進(jìn)行個(gè)數(shù)尋優(yōu)。關(guān)于RF決策樹調(diào)優(yōu)的重要參數(shù)是樹的最大深度和最大特征值, 當(dāng)樣本數(shù)量和特征較多時(shí), 可以對(duì)樹的最大深度進(jìn)行限制, 最大特征值可以提高每個(gè)子模型的擬合性能。本文設(shè)置樹的最大深度范圍為[1, 50], 步長(zhǎng)為1, 最大特征值范圍設(shè)為(0, 1), 步長(zhǎng)為0.1。尋優(yōu)之后, 樹的數(shù)量為211, 最大深度為7, 最大特征值為0.706, 尋優(yōu)后的RF模型測(cè)試結(jié)果的平均相對(duì)誤差為15.5%。如圖9b所示, 模型結(jié)果與測(cè)試集數(shù)據(jù)的吻合程度較好, 當(dāng)振幅較小時(shí), 模型擬合精度較高, 在振幅較大時(shí)也表現(xiàn)出優(yōu)于SVM的能力。

5 結(jié)論

本文利用機(jī)器學(xué)習(xí)的方法, 以SVM和RF模型建立內(nèi)孤立波振幅與上下層水深、密度、半波寬度之間的非線性關(guān)系, 解決了傳統(tǒng)的非線性理論在實(shí)驗(yàn)室中描述內(nèi)孤立波時(shí)存在的適用性問題, 為實(shí)驗(yàn)室中內(nèi)孤立波振幅研究提供了一種新思路。

為獲取足夠的數(shù)據(jù)進(jìn)行訓(xùn)練, 借助實(shí)驗(yàn)室的水槽方法, 設(shè)計(jì)了不同的水深、分層及密度條件下的內(nèi)孤立波系列綜合實(shí)驗(yàn), 獲取不同條件下內(nèi)孤立波的振幅。對(duì)CCD拍攝的照片以時(shí)間序列圖的形式輸出, 提取內(nèi)孤立波的振幅和半波寬度。設(shè)置對(duì)照實(shí)驗(yàn)分析實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù), 內(nèi)孤立波的振幅與半波寬度并非簡(jiǎn)單的線性關(guān)系, 其關(guān)系會(huì)隨水深、分層條件以及密度差的變化而發(fā)生改變, 說明兩者之間的非線性關(guān)系受初始實(shí)驗(yàn)條件的影響。

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Relationship between wave elements of internal solitary waves based on machine learning

LI Zhi-xin, WANG Jing, ZHANG Meng

(Physics and Optoelectronic Engineering, Ocean University of China, Qingdao 266100, China)

The internal solitary waves that propagate in the ocean carry enormous energy and momentum. Internal solitary waves of varying amplitudes have a different impact on energy exchange and offshore engineering in the ocean. Therefore, it is essential to study the relationship between the amplitude of internal solitary waves, half-wave width, and hydrological characteristic parameters such as depth, stratification, and density. Previously, the relationship between the amplitude of an internal solitary wave and these parameters was constrained by multiple theories. In this paper, a series of comprehensive experiments under different depth, stratification, and density were designed using flume in the laboratory. The relationship between the amplitude of internal solitary waves, half-wave width, depth, stratification, and density is found to be nonlinear. Thus, the machine learning method can be used to establish a nonlinear relationship between the above parameters. We developed a sample database of 1 266 sets, including 970 training sets and 296 test sets using two models, support vector machine (SVM) and random forest (RF). The parameters of the model have been optimized. Finally, the average relative error of the SVM model is 17.3%, whereas that of the RF model is 15.5%. The results show that the machine learning method is effective and feasible. This method can be applied to various hydrological conditions, which effectively solve applicability issues in the previous theory.

internal solitary wave; amplitude; flume experiment; support vector machine; random forest

Nov. 5, 2020

P733.1

A

1000-3096(2021)05-0113-08

10.11759/hykx20201105008

2020-11-05;

2021-02-03

國(guó)家重點(diǎn)研發(fā)項(xiàng)目(2017YFC1405600); 國(guó)家自然科學(xué)基金(61871353)

[National Key Research and Development Project, No. 2017YFC1405600; National Natural Science Foundation of China, No. 61871353]

李志鑫(1996—), 男, 山東青島人, 碩士研究生, 研究方向?yàn)楹Ｑ髢?nèi)波, E-mail: lizhixin_ouc@163.com; 王晶(1962—),通信作者, 教授, 主要從事光纖光學(xué)和海洋遙感研究, E-mail: wjing@ouc.edu.cn

(本文編輯: 楊 悅)