馮今昭，高 鵬，劉 暢

(遼寧石油化工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 撫順 113001)

1 引言

在齒輪嚙合的一系列研究中，行星輪系的研究占有很大比重。行星輪系的主要分析方法為有限元法與集中質(zhì)量法兩種，前者在于建立實(shí)體模型后使用有限元軟件進(jìn)行分析；后者則需要預(yù)先計(jì)算出剛度參數(shù)、質(zhì)量參數(shù)、阻尼參數(shù)等，本課題研究的內(nèi)容主要服務(wù)于其中剛度參數(shù)計(jì)算。目前利用集中質(zhì)量法分析的對(duì)象多數(shù)都是完整齒輪，它們剛度計(jì)算可以用《GB/T 3480-1997》國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)、石川法、Weber能量法以及一些原有方法上延伸出的簡(jiǎn)便算法進(jìn)行計(jì)算[1]，如文獻(xiàn)[2]基于有限元法對(duì)漸開(kāi)線直齒內(nèi)齒輪的輪齒剛度進(jìn)行了簡(jiǎn)化計(jì)算；文獻(xiàn)[3]以相似理論為基礎(chǔ)，提出了輪齒剛度計(jì)算的簡(jiǎn)化公式等。

而對(duì)于具有裂紋、磨損等典型缺陷的齒輪研究依然是以有限元法為主，集中質(zhì)量法方面應(yīng)用較少的原因之一就是裂紋輪齒的剛度計(jì)算問(wèn)題?，F(xiàn)有的裂紋齒輪剛度計(jì)算主要通過(guò)齒型簡(jiǎn)化等效來(lái)實(shí)現(xiàn)，例如文獻(xiàn)[4]采用傳統(tǒng)的懸臂梁簡(jiǎn)化，將裂紋處等效成矩形的凹陷以計(jì)算輪齒剛度，文獻(xiàn)[5]對(duì)整個(gè)行星輪系進(jìn)行簡(jiǎn)化后利用能量法對(duì)嚙合剛度進(jìn)行了計(jì)算，此外基于將輪齒簡(jiǎn)化為梯形與矩形相拼接的石川法也可以用來(lái)計(jì)算裂紋輪齒剛度。與缺陷齒輪研究相配合，也有不少在各種條件下進(jìn)行的仿真分析[6]。但是以上輪齒簡(jiǎn)化的方法都會(huì)帶來(lái)一定程度上的誤差，而Weber能量法計(jì)算的特點(diǎn)，可以避免將輪齒簡(jiǎn)化，直接對(duì)裂紋齒輪剛度求解，因此本文利用該種方法計(jì)算輪齒嚙合剛度，并且為了擴(kuò)大本方法的適用范圍，選用一體齒輪軸作為研究對(duì)象，同時(shí)考慮齒輪軸變形與齒根裂紋對(duì)嚙合剛度的影響。

2 軸的有限元分析

在很多研究中往往將軸上的齒輪部分視作集中質(zhì)量圓盤，作為Jeffcott轉(zhuǎn)子模型進(jìn)行分析，但在減速器等處齒輪厚度與軸的長(zhǎng)度的比值往往較大，上述方法會(huì)產(chǎn)生較大誤差，因此本文將一體齒輪軸作為研究對(duì)象，將齒輪軸分成軸與齒兩部分，如圖1所示。去掉輪齒后的部分視作變直徑軸，對(duì)其進(jìn)行有限元分析，求出轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中軸上各點(diǎn)的位移與軸的變形情況，將其結(jié)果與輪齒的Weber能量法分析相結(jié)合，計(jì)算得到齒輪軸在齒根裂紋情況下的齒面剛度。

圖1 齒輪軸分解示意圖Fig.1 Schematic Diagram of Gear Shaft Decomposition

首先如圖2所示將齒輪軸劃分為6段，7個(gè)節(jié)點(diǎn)，由于轉(zhuǎn)軸為空間桿件系統(tǒng)，每個(gè)軸單元的運(yùn)動(dòng)方程為：

其中，

圖2 齒輪軸節(jié)點(diǎn)劃分Fig.2 Gear Shaft Node Division

Fe用下式來(lái)表示某一時(shí)刻每個(gè)節(jié)點(diǎn)的受力情況：

式中：ke—空間單元的剛度矩陣；N—作用于i、j兩節(jié)點(diǎn)的軸向力；Q—y、z方向的剪力；Mx—扭矩；MY與MZ—繞兩軸的彎矩；I—對(duì)y與z軸的主慣性距；Φy與Φz(mì)—對(duì)y與z軸方向的剪切影響系數(shù)；Jk—對(duì)x軸的扭轉(zhuǎn)慣性矩；Ay，Az—梁截面沿y和z軸方向的有效抗剪面積。

一般情況下空間單元具有6個(gè)自由度，但對(duì)兩端剛性支承的轉(zhuǎn)軸進(jìn)行分析時(shí)，軸向力和y、z軸的彎矩為0，因此將上式做如下簡(jiǎn)化：

同理，對(duì)于空間軸單元的質(zhì)量矩陣也做如上簡(jiǎn)化，其結(jié)果為：

3 嚙合齒輪的剛度計(jì)算

計(jì)算單對(duì)輪齒嚙合的時(shí)變剛度，具體做法是將輪齒視作非均勻懸臂梁，如圖3所示。沿參與嚙合的齒廓將輪齒分為一系列矩形微元i，在嚙合齒廓上任意點(diǎn)j處承受載荷Wj，在Wj作用下各微元均發(fā)生一定形變。齒體各微元形變的累加變形qbj、應(yīng)力接觸面處局部變形qcj、齒根處基體的變形qfj三者相加作為j點(diǎn)處沿Wj方向的形變qj；假設(shè)一對(duì)嚙合齒輪接觸面的總變形分別為qj1與qj2，則嚙合點(diǎn)j處的嚙合剛度KJ=Wj/(qj1+qj2)。

3.1 齒根裂紋情況下的齒體形變

首先，裂紋引起的不規(guī)則輪齒，如圖4所示。假設(shè)裂紋發(fā)生在齒根圓與基圓之間的G點(diǎn)，裂紋深度g與x′軸方向成θ°角，載荷作用于j點(diǎn)。此時(shí)由于齒根已經(jīng)開(kāi)裂，G點(diǎn)至j點(diǎn)間的齒面不受張力影響，將裂紋尖端與j點(diǎn)連線，與G點(diǎn)一同構(gòu)成的陰影區(qū)域處于不受外加載荷影響的狀態(tài)。則可將輪齒視作陰影部分缺失的不規(guī)則輪齒，計(jì)算其嚙合剛度。

圖4 裂紋引起的不規(guī)則輪齒Fig.4 Irregular Gear Teeth Caused by Cracks

對(duì)于圖3中完整輪齒的剛度，文獻(xiàn)[7]在前人公式的基礎(chǔ)上對(duì)用Weber能量法求解的過(guò)程進(jìn)行了詳細(xì)推導(dǎo)，設(shè)qbij為單個(gè)微元在Wj影響下的變形量，則有：

式中：Ee—根據(jù)齒寬確定的有效彈性模量；βj—Wj與y′軸夾角；Sij—i與j在x′軸方向上的距離；Yj—j點(diǎn)處半個(gè)齒厚值；Li，Ai—微元的寬度與橫截面積；ν—泊松比。

而對(duì)不完整輪齒進(jìn)行微元?jiǎng)澐钟?jì)算時(shí)，上式中Ii與Ai會(huì)發(fā)生變化，為求得變化后的參數(shù)，需要作出裂紋產(chǎn)生的直線方程與齒廓方程，如圖5所示。

圖5 缺陷輪齒微元?jiǎng)澐諪ig.5 Microelement Division of Defective Gear Tooth

3.1.1 直線方程

假設(shè)裂紋起點(diǎn)在齒根圓與基圓之間，rf、rb分別為齒根圓與基圓半徑，s′為起點(diǎn)處齒厚，則t時(shí)刻裂紋尖端坐標(biāo)為：

式 中：s′=r′/r·s+2r′·( inv(α)-inv(α′))，cosα′=—分度圓與G點(diǎn)所在圓上的壓力角、齒厚、半徑。

設(shè)t時(shí)刻載荷作用點(diǎn)j的坐標(biāo)為(x1,y1)，則裂紋導(dǎo)致產(chǎn)生的直線L的方程為：

3.1.2 齒廓參數(shù)方程

漸開(kāi)線齒廓的參數(shù)方程為：

此方程是建立在圖6左的x-y坐標(biāo)系下，需要將坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到與上圖同樣的x′-y′坐標(biāo)系下進(jìn)行計(jì)算。

圖6 坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換Fig.6 Coordinate Transformation

利用圖6右所示某點(diǎn)在兩坐標(biāo)系上坐標(biāo)的聯(lián)系：

可得出旋轉(zhuǎn)后坐標(biāo)系下的漸開(kāi)線方程：

式中：β—x-y坐標(biāo)系到x′-y′坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)角，即單個(gè)輪齒對(duì)應(yīng)

圓心角的一半；γ=arctan(y/x)

假設(shè)在t時(shí)刻，微元i上下兩端的直線與齒廓的y軸坐標(biāo)分別為yi″和yi′，且yi″-yi′=hi，則有：

將受到裂紋影響后的各參數(shù)帶入(8)式中可得到裂紋輪齒的齒體形變。

3.2 齒根裂紋情況下的接觸面形變

文獻(xiàn)[8]對(duì)齒輪傳動(dòng)嚙合點(diǎn)處的接觸變形進(jìn)行探討，得出了適用范圍較廣且計(jì)算相對(duì)簡(jiǎn)便的局部接觸變形公式：

式中：Wj—嚙合點(diǎn)處法向載荷，E12e=2E1eE2e/(E1e+E2e)

3.3 齒根裂紋情況下的基體形變

根據(jù)文獻(xiàn)[9]的計(jì)算推導(dǎo)，可得出基體形變的計(jì)算公式：首先依據(jù)齒寬B與節(jié)點(diǎn)處齒厚Hp的比值來(lái)確定種類，B/Hp＞5為寬齒，B/Hp＜5為窄齒。窄齒與寬齒的基體形變依次為：

其中，Lf=xj-xM-yjtan(βj);Hf=2yM

3.4 剛度計(jì)算

將上述計(jì)算結(jié)果相加即可得出嚙合輪齒的總變形量：

即得出最終的輪齒變形量：q12=q12′+q12′′

4 實(shí)例計(jì)算

一對(duì)嚙合齒輪，傳遞功率4kW，n1=247r/min，m=4，z1=73，z2=25，b1=78，b2=84，小齒輪為45鋼調(diào)制處理，大齒輪為ZG310-570正火處理。裂紋產(chǎn)生于主動(dòng)輪齒根處，裂紋深度5mm，裂紋傾斜角10°，求單齒嚙合時(shí)的嚙合剛度。

首先利用靜力學(xué)求出各節(jié)點(diǎn)初始位移y0：

再利用Matlab進(jìn)行有限元編程，得出軸段各節(jié)點(diǎn)隨齒輪軸轉(zhuǎn)動(dòng)產(chǎn)生位移的情況。由于轉(zhuǎn)動(dòng)起始瞬間齒輪軸呈大幅無(wú)規(guī)則振動(dòng)，因此采用后面平穩(wěn)運(yùn)行時(shí)的數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，并將其結(jié)果用式進(jìn)行加工，以加入輪齒的總變形量。

由式(7)、式(15)、式(17)分別計(jì)算出輪齒各分部分形變，并與相加，得出輪齒的總變形量。一對(duì)嚙合齒面的變形量，如圖7所示。最后利用式(19)計(jì)算出輪齒的嚙合剛度，如圖8所示。裂紋齒輪剛度與去掉裂紋因素的完整齒輪剛度比較，如圖9所示。可以看出剛度變化趨勢(shì)大體一致，但是受裂紋影響整體剛度下降，并且剛度最大處有所偏移。

圖7 嚙合齒面形變Fig.7 Deformation Stiffness of Meshing Tooth Surface

圖8 裂紋輪齒的嚙合剛度Fig.8 Mesh Stiffness of Cracked Teeth

圖9 單齒嚙合時(shí)的剛度比較Fig.9 Stiffness Comparison of Single Tooth Meshing

5 結(jié)論

以weber能量法為基礎(chǔ)計(jì)算了齒根裂紋條件下的相關(guān)問(wèn)題，而由于部分傳動(dòng)機(jī)構(gòu)使用的是一體齒輪軸而不是軸鍵連接的齒輪，因此同時(shí)又將計(jì)算嚙合齒輪擴(kuò)展到計(jì)算嚙合齒輪軸，為這一部分機(jī)構(gòu)的剛度計(jì)算提供新的思路。剛度計(jì)算手段的增加，意味著可以更加充分的利用集中質(zhì)量法對(duì)齒輪問(wèn)題分析求解，避免了仿真模擬中網(wǎng)格劃分、接觸面設(shè)定困難，以及計(jì)算耗時(shí)等缺點(diǎn)。

綜上，所用方法裂紋因素加入到weber能量法的原公式中，省掉了齒型等效簡(jiǎn)化的過(guò)程，可以直接對(duì)輪齒進(jìn)行計(jì)算，沒(méi)有增加計(jì)算負(fù)擔(dān)，且計(jì)算結(jié)果無(wú)過(guò)大誤差。鑒于集中質(zhì)量法在機(jī)械部件的設(shè)計(jì)與研究中應(yīng)用的廣泛性，對(duì)它的適用范圍與算法的擴(kuò)充就顯得尤為重要。因此本文使用的裂紋齒輪剛度計(jì)算方法可作為一種新的剛度計(jì)算手段服務(wù)于裂紋齒輪的集中質(zhì)量法研究。