田 綴

（西安電子科技大學(xué)，陜西西安710071）

引 言

無論是生產(chǎn)中還是生活中，振動都是一種常見的現(xiàn)象。隨著機械設(shè)備運行速度的提高，相關(guān)的振動問題越來越受到人們的關(guān)注。振動不僅容易引起結(jié)構(gòu)的疲勞損傷，加速機器老化，影響設(shè)備壽命，而且還會降低儀器儀表的測量精度。除此之外，針對敏感設(shè)備面臨的日益苛刻的振動環(huán)境適應(yīng)性要求，開展減振設(shè)計方法和應(yīng)用研究成為無法規(guī)避、必須解決的關(guān)鍵技術(shù)之一[1]。

國內(nèi)外學(xué)者對機載電子設(shè)備的減振設(shè)計方法進行了大量的研究。長期以來，結(jié)構(gòu)振動控制的發(fā)展很多都局限于線性振動控制的研究。通常，對機載設(shè)備進行減振一般有如下幾種方法：1）從優(yōu)化設(shè)備結(jié)構(gòu)形式上進行減振設(shè)計[2–3]；2）通過安裝阻尼器、涂覆阻尼材料等措施增加系統(tǒng)阻尼來減小系統(tǒng)振動響應(yīng)[4]；3）安裝吸振器將電子設(shè)備的振動響應(yīng)轉(zhuǎn)移到吸振器的振子上[5]。其中安裝吸振器的方式具有實施簡單、減振效果明顯的優(yōu)點，受到大量設(shè)計師的青睞，特別是在機載電子設(shè)備領(lǐng)域應(yīng)用最為廣泛。

然而，隨著科學(xué)技術(shù)的不斷進步，僅用線性理論分析非線性系統(tǒng)的動力學(xué)行為還顯得很不夠，在某些特定情況下，非光滑和不連續(xù)因素對機械工程問題的影響越來越引起人們的關(guān)注，考慮系統(tǒng)中非線性因素對系統(tǒng)動力學(xué)行為的影響已成為非線性動力學(xué)研究的熱點之一[6]，應(yīng)用非線性吸振器進行振動能量的衰減和吸收也開始引起學(xué)者們的興趣[7–8]。非線性吸振器具有多種吸振原理，如非線性能量阱、自參數(shù)共振等。自參數(shù)吸振器（Auto-parametric Vibration Absorber,AVA）是較為常見的一種非線性吸振器。在工程應(yīng)用中，為了減小主系統(tǒng)的振動，通常給主系統(tǒng)增加一個擺或類似擺作用的輔助機構(gòu)[9]，而把原先的振動系統(tǒng)轉(zhuǎn)變?yōu)樽詤?shù)振動系統(tǒng)。由于自參數(shù)共振產(chǎn)生內(nèi)作用而使擺開始擺動，吸收主系統(tǒng)的部分能量，從而減弱主系統(tǒng)的振動。自參數(shù)動力吸振器就是利用該原理制成。

眾所周知，線性動力吸振器（Tuned Mass Damper,TMD）是機械結(jié)構(gòu)中常用的線性動力吸振器，在工程中得到了廣泛的應(yīng)用，對其加入主動控制策略從而引入了主動TMD、半主動TMD和混合TMD的概念，可以實現(xiàn)對結(jié)構(gòu)振動更好的減振效果以及魯棒性。而自參數(shù)吸振器是一種典型的非線性吸振器，尤其適用于機械結(jié)構(gòu)的非線性振動控制，其減振效果已經(jīng)被很多學(xué)者證實[10]。除此之外，為了擴大自參數(shù)單擺的有效帶寬，文獻[11]還研究了一系列固有頻率略有不同的單擺。然而，如果采取被動控制的方式抑制結(jié)構(gòu)振動，吸振器一旦設(shè)計制作完成，將不能適應(yīng)系統(tǒng)、環(huán)境等不斷改變的要求，其性能將發(fā)生改變[12–13]。這些因素均會使得被動裝置結(jié)構(gòu)振動控制的魯棒性不盡如人意，而半主動控制可以解決這一問題，尤其適用于中等振幅和大振幅。本文以單擺自參數(shù)吸振器為研究對象，詳細研究了其解的形式以及半平凡解的穩(wěn)定性，通過對單擺擺長的主動控制，提出了時變擺長的概念，對半主動單擺自參數(shù)吸振器進行研究設(shè)計。最后利用數(shù)值仿真的方法驗證了半主動自參數(shù)吸振器較好的減振效果。

1 單擺自參數(shù)吸振器

考慮一個帶有粘性阻尼擺的自參數(shù)動力吸振器的自參數(shù)耦合動力系統(tǒng)（圖1）。其中，t為時間；m1,c1,k1為線性主結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、阻尼和剛度系數(shù)；m2,c2為擺的質(zhì)量和阻尼系數(shù)；l為其擺長；x為主結(jié)構(gòu)在外力Fcos(ωt)作用下的垂直振動響應(yīng)；ω為激勵頻率；θ為非線性耦合項ml¨xsinθ對單擺自參數(shù)吸振器進行參數(shù)激勵而產(chǎn)生的擺幅。

圖1 帶有單擺自參數(shù)吸振器的主結(jié)構(gòu)

根據(jù)Hamilton原理，該耦合系統(tǒng)的控制方程為：

利用表1定義的符號，式（1）的控制方程可以轉(zhuǎn)換為無量綱形式：

表1 文中的無量綱符號定義

1.1 半平凡解與非平凡解

本文討論由外力引起的自參數(shù)耦合系統(tǒng)的諧波運動。通常情況下，有兩種解。一種是半平凡解，即單擺不擺動，主結(jié)構(gòu)受外力激勵而進行諧波振動。即：

主系統(tǒng)的響應(yīng)幅值A(chǔ)0可表示為：

另一種是非平凡解。單擺AVA平衡位置由于2:1的內(nèi)共振而變得不穩(wěn)定，從而引起單擺的擺動，進而導(dǎo)致主結(jié)構(gòu)的振動減小。這時，施加在主結(jié)構(gòu)上的力不僅包括外激勵，還包括由于單擺AVA的振動而產(chǎn)生的反作用力。假設(shè)耦合系統(tǒng)的非平凡解為：

式中：?1,?2分別為響應(yīng)y,θ的相位差；B0為響應(yīng)θ的幅值。將式（5）代入式（2），主系統(tǒng)的響應(yīng)幅值A(chǔ)0可表示為[9]：

由式（6）可以看出，當αβ=1/2（ω2/ω=1/2）時，A0可以得到最小的響應(yīng)。此外，和線性TMD相似，單擺AVA的減振效果主要取決于自身參數(shù)的合理設(shè)計。本文主要利用變剛度的方法使主結(jié)構(gòu)在耦合系統(tǒng)自參數(shù)共振區(qū)域[ωa,ωb]的響應(yīng)A0最小，即在定義為[ωa,ωb]的自參數(shù)共振區(qū)域中一直有ω2/ω≈1/2。因此，為了減小主結(jié)構(gòu)的振動響應(yīng)，應(yīng)首先得到式（2）中耦合系統(tǒng)的非平凡解。

1.2 半平凡解穩(wěn)定邊界

自參數(shù)耦合系統(tǒng)半平凡解和非平凡解之間的穩(wěn)定邊界的尋找最終歸結(jié)于經(jīng)典的Mathieu方程的穩(wěn)定性邊界研究。假設(shè)ε為無窮小量，Mathieu方程是最簡單的具有參數(shù)不穩(wěn)定性的方程，其中有無窮多個頻率是不穩(wěn)定的，而最不穩(wěn)定的是第一次諧波頻率：

圖2給出了不同阻尼比下非線性耦合系統(tǒng)第一次諧波頻率的穩(wěn)定邊界。不穩(wěn)定區(qū)域為非半平凡解的頻率區(qū)域?？梢钥吹剑弘S著阻尼比的增大，不穩(wěn)定區(qū)域有縮小的趨勢。也就是說，對于較小的阻尼比，半平凡解更容易變得不穩(wěn)定，單擺吸振器也更容易被激勵，從而吸收主結(jié)構(gòu)的振動能量。

圖2 自參數(shù)系統(tǒng)半平凡解的穩(wěn)定邊界

隨著自參數(shù)激勵幅值A(chǔ)0的增大，次諧波頻率附近的不穩(wěn)定區(qū)域呈不對稱趨勢。在不穩(wěn)定區(qū)域的非對稱區(qū)域，文獻[14]發(fā)現(xiàn)存在兩個非平凡解的Hopf分岔，唯一的非平凡解將失去穩(wěn)定性。因此，為了避免非平凡解的進一步不穩(wěn)定，進而發(fā)生混沌現(xiàn)象，本文研究在小幅激勵下的半主動自參數(shù)吸振器的減振性能。

2 半主動單擺自參數(shù)吸振器

半主動單擺自參數(shù)吸振器的實現(xiàn)主要是通過向單擺增加控制，進而根據(jù)外界激勵頻率來主動控制單擺的固有頻率，使主結(jié)構(gòu)在自參數(shù)共振區(qū)域響應(yīng)最低點處相應(yīng)的αβ始終等于或接近1/2。

2.1 半主動自參數(shù)單擺數(shù)值建模

為了用相應(yīng)的精確αβ來跟蹤最低點，用不同的頻率比β計算了一系列的幅值響應(yīng)曲線，然后確定每個幅值響應(yīng)曲線對應(yīng)的最低點（對應(yīng)的α）。圖3顯示了在每個最低點選擇的α和β的值，并給出了α與β的線性擬合曲線?？梢钥闯觯谛〖罘认屡c解αβ=1/2的擬合曲線吻合較好。

使用圖3自參數(shù)共振區(qū)中的精確值進行計算，圖4是主結(jié)構(gòu)和分別帶有被動和半主動單擺自參數(shù)吸振器的主結(jié)構(gòu)的頻響曲線?？梢钥闯觯号c被動自參數(shù)吸振器相比，半主動方法改善了單擺自參數(shù)吸振器的阻尼效果，增大了耦合系統(tǒng)的自參數(shù)共振區(qū)域（有效帶寬）。圖5是單擺的相應(yīng)頻響曲線，表明了主結(jié)構(gòu)和被動、半主動自參數(shù)吸振器的自參數(shù)共振區(qū)域[ωa,ωb]。值得一提的是：在自參數(shù)共振區(qū)域[ωa,ωb]內(nèi)，單擺的頻率隨激勵頻率而變化；而在該區(qū)域之外，擺的頻率是固定的，頻率比β設(shè)定為0.5。

圖3 在幅值響應(yīng)最低點的α和β的關(guān)系圖

圖4 主結(jié)構(gòu)和主結(jié)構(gòu)帶有被動、半主動單擺AVA的頻響曲線（精確值見圖3 ）

圖5 被動和半主動單擺AVA的頻響曲線

圖6和圖7將利用自參數(shù)共振區(qū)域中的精確值和擬合值計算得到的半主動自參數(shù)吸振器的減振效果進行了比較?？梢钥闯觯涸隈詈舷到y(tǒng)自參數(shù)共振區(qū)域[ωa,ωb]，依據(jù)ω2/ω=1/2，半主動單擺自參數(shù)吸振器在工程中可以線性實現(xiàn)。

圖6 主結(jié)構(gòu)和主結(jié)構(gòu)帶有半主動單擺AVA的頻響曲線

圖7 半主動單擺AVA的頻響曲線（精確值和擬合值見圖3 ）

2.2 時變擺長設(shè)計

眾所周知，單擺的固有頻率可以很簡單地根據(jù)其長度來調(diào)整。因此，在一定的掃頻速度下，本文設(shè)計了一個單擺長度隨掃頻激勵頻率ω變化的半主動自參數(shù)吸振器。單擺長度可以根據(jù)每個頻響曲線的最低點αβ的值來調(diào)整，其變化規(guī)律如下：

圖8是式（8）中的掃頻激勵頻率與單擺長度之間的關(guān)系圖。擺長隨激勵頻率的增加呈拋物線型變化。可以看出：基于分段線性化方法，可以在自參數(shù)共振區(qū)域[ωa,ωb]進行線性化處理，因此可以得到一個便于工程應(yīng)用的時變擺長的半主動自參數(shù)吸振器。

圖8 擺長與激勵頻率的變化規(guī)律

然而，在工程應(yīng)用中，實現(xiàn)時變長度是一個有待解決的問題。一方面，可以使用帶有記憶元件的智能材料來實現(xiàn)。例如，形狀記憶合金允許從溫度變化引起的相變中恢復(fù)高達5%的應(yīng)變[15]。擺的時變長度應(yīng)通過在線識別信號進行動態(tài)補償[16]。另一方面，如果將由永磁體組成的剛度調(diào)節(jié)裝置連接到單擺上，可以根據(jù)所產(chǎn)生的磁力直接調(diào)節(jié)單擺的固有頻率[17]。

3 數(shù)值仿真

利用Simulink對圖1的自參數(shù)耦合系統(tǒng)進行仿真分析，其主結(jié)構(gòu)有量綱參數(shù)為：ξ0=1%，?=4.8 Hz，m1=5 kg。在工程應(yīng)用中，為了不改變主結(jié)構(gòu)的動力學(xué)行為，被動TMD的質(zhì)量通常為主結(jié)構(gòu)的1%～3%。對于自參數(shù)吸振器的被動裝置也同樣如此。假設(shè)單擺自參數(shù)吸振器的質(zhì)量為主結(jié)構(gòu)的3%，激勵振幅為0.35 N，為了便于得到自參數(shù)吸振器的非平凡解，將其單擺阻尼比設(shè)定為0.1%，接近于零。給單擺施加主動控制后，單擺自參數(shù)吸振器的減振性能可通過其長度來調(diào)節(jié)。單擺擺長通過掃頻速度進行線性調(diào)節(jié)。

圖9是帶有被動和半主動單擺自參數(shù)吸振器的主結(jié)構(gòu)的頻響曲線?？梢钥闯觯涸诰€性掃頻激勵下，采用半主動方式提高了被動單擺自參數(shù)吸振器的減振性能。需要注意的是，當單擺自參數(shù)吸振器在自參數(shù)共振區(qū)域內(nèi)振動時，由于其非線性效應(yīng)，主結(jié)構(gòu)的頻響曲線會出現(xiàn)微小的振蕩現(xiàn)象。此外，在恒定掃描速度0.03 Hz?s下，在自動參數(shù)共振區(qū)域內(nèi)的單擺長度可從48 mm線性變化到39 mm。

圖9 帶有被動AVA和半主動AVA的主結(jié)構(gòu)的頻響曲線

4 結(jié)束語

本文提出了一種半主動自參數(shù)吸振器的數(shù)值設(shè)計方法；通過對帶有吸振器的線性主結(jié)構(gòu)的自參數(shù)耦合系統(tǒng)半平凡解穩(wěn)定性邊界的探討，找出了在自參數(shù)共振區(qū)域半主動單擺自參數(shù)吸振器頻率的線性變化規(guī)律；進而基于分段線性化方法，提出了便于工程應(yīng)用的時變擺長的設(shè)計方法。數(shù)值仿真結(jié)果表明：在相同質(zhì)量的條件下，半主動單擺自參數(shù)吸振器很好地改善了被動自參數(shù)吸振器的減振性能。受目前條件所限，不能對該半主動單擺自參數(shù)吸振器進行試驗驗證，僅用數(shù)值仿真的辦法對其有效性進行了驗證。關(guān)于半主動單擺自參數(shù)吸振器的實驗?zāi)Ｐ偷慕⒓捌錅p振效果的實驗驗證，將是后續(xù)工作中的研究重點。