婁聯(lián)堂，何慧玲

(中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，武漢 430074)

圖像分割是圖像處理的重要環(huán)節(jié)，目的是要將目標(biāo)區(qū)域與背景分離. 在圖像分割中，當(dāng)圖像目標(biāo)與背景像素的灰度分布十分明顯時(shí)，可以采用適用于整個(gè)圖像的單個(gè)閾值. OTSU算法[1]是圖像分割中閾值選取的常用算法，該算法對(duì)雙峰直方圖圖像有較好的效果，當(dāng)原圖像直方圖為單峰分布或接近單峰分布時(shí)，OTSU算法的分割效果并不理想，此時(shí)可先對(duì)圖像作灰度變換，如直方圖均衡化[2]等，然后確定分割閾值. 但是，對(duì)于灰度分布極不均勻的圖像，如X射線焊縫圖像，此方法沒(méi)有較好的分割效果. SUN等人提出了一種基于直方圖規(guī)定化的動(dòng)態(tài)灰度變換算法，人為地修正直方圖的形狀，改變圖像灰度分布[3]. 此方法雖然可使原圖像直方圖變?yōu)殡p峰直方圖，但實(shí)際操作過(guò)程中這種特定的直方圖較難確定，從而影響分割結(jié)果. 文獻(xiàn)[4-6]研究了分段灰度變換算法，該方法對(duì)路面混凝土裂縫分割效果好，但對(duì)焊縫裂紋的分割效果不理想. 此外，圖像分割也可采用機(jī)器學(xué)習(xí)方法[7]，其準(zhǔn)確率可以達(dá)到90%，然而此方法依賴大量的樣本學(xué)習(xí)，耗時(shí)較長(zhǎng).

本文提出一種基于圖像灰度變換的OTSU閾值優(yōu)化算法. 通過(guò)引入灰度變換函數(shù)，在圖像灰度變換與圖像分割之間尋求一個(gè)最佳策略，找到在最大類間方差的意義下適用于X射線圖像裂紋缺陷分割的變換函數(shù)及優(yōu)化閾值，給出相關(guān)理論結(jié)論及實(shí)驗(yàn)結(jié)果. 在此之前，先對(duì)OTSU算法進(jìn)行簡(jiǎn)單介紹.

1 一般灰度變換下的圖像分割

1.1 傳統(tǒng)OTSU算法

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

最佳閾值為：

(10)

當(dāng)目標(biāo)區(qū)域大于全圖像的30%時(shí)，傳統(tǒng)OTSU算法的分割效果接近最優(yōu)值.當(dāng)目標(biāo)的相對(duì)區(qū)域減少時(shí)，OTSU算法的效果迅速降低[8].由于X射線焊縫圖像中，裂紋只有幾個(gè)像素，所占面積小，且裂紋與焊縫像素灰度分布不均勻，對(duì)比度低、邊緣模糊，因此利用傳統(tǒng)的OTSU算法不易獲得理想的結(jié)果，但可以利用OTSU算法對(duì)X射線圖像進(jìn)行二值化，提取感興趣區(qū)域[9]，即焊縫區(qū)域，選取如圖1的兩幅X射線裂紋缺陷圖像進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，利用OTSU算法將其二值化，結(jié)果如圖2所示.根據(jù)像素分布情況及裂紋缺陷可能存在的位置特征，得到圖像感興趣區(qū)域(其中對(duì)于原始圖像(b)感興趣區(qū)域?yàn)閳D2(b)中交叉的橫向和縱向兩部分，由于實(shí)驗(yàn)過(guò)程中未在橫向部分檢測(cè)出缺陷，故省略此部分的討論)，以提高檢測(cè)效率，縮短計(jì)算時(shí)間，如圖3所示.

圖1 原始圖像Fig.1 Original image

圖2 利用OTSU方法二值化處理后的結(jié)果Fig.2 The result of binarization by OTSU method

圖3 感興趣區(qū)域Fig.3 Region of interest

1.2 一般灰度變換下OTSU算法的極值問(wèn)題

在圖3所示的X射線焊縫圖像中，目標(biāo)與背景不是雙峰分布，利用OTSU算法分割效果不理想，為此先對(duì)圖像作灰度變換，變換函數(shù)f(i)滿足以下條件:

(1) 保證輸出灰度范圍與輸入灰度范圍相同，即f(i)是{0,1,…，L-1}到{0,1,…，L-1}的一個(gè)映射；

(2) 保持灰度級(jí)的次序，防止灰度反變換時(shí)產(chǎn)生人為缺陷，即f(i)單調(diào)遞增(或單調(diào)遞減，本文只考慮單調(diào)遞增的情況)；

(3)f(0)=0,f(L-1)=L-1.

可得以下命題：

證明基于OTSU算法，可得到灰度變換后圖像相應(yīng)的累積概率，用P0(T,f)及P1(T,f)分別表示為：

(11)

P1(minf-1(T+1)-1),

(12)

其中maxf-1(T)=max{i|f(i)=T};minf-1(T)=min{i|f(i)=T}.由灰度變換函數(shù)f(i)的性質(zhì)知：

maxf-1(T)=minf-1(T+1)-1;

P1(T,f)=1-P0(T,f)=1-P0(maxf-1(T)).

類似地可以得到灰度變換后兩類相應(yīng)的平均灰度μ0(T,f)、μ1(T,f)及方差σ0(T,f)、σ1(T,f)等，其中類間方差表示如下：

(13)

最佳閾值為：

(14)

此時(shí)最佳閾值T*與灰度變換函數(shù)有關(guān).

(15)

則μ(T,f)=

(16)

(μ0(T,f)-μ1(T,f))2P0(T,f)(1-P0(T,f)),

(17)

命題1得證.

在命題1中只對(duì)變換函數(shù)給出了基本的限制條件，得出的結(jié)論是平凡的，因此為了得到理想的分割效果，需針對(duì)具體圖像增加額外的限制條件.

2 分段灰度變換下的OTSU閾值優(yōu)化

為了分割X射線圖像中的裂紋缺陷，防止出現(xiàn)命題1中的極端情況，添加如下限制條件：

(4)f(x)≥x或f(x)≤x，

可得以下命題：

證明不妨假設(shè)f(x)≥x，記T2=maxf-1(T)，

(μ0(T,f)-μ1(T,f))2P0(T,f)(1-P0(T,f))=

P0(T,f)(1-P0(T,f))≤

P0(T,f)(1-P0(T,f))=

((L-1)-μ0(T2))2P0(T2)(1-P0(T2)).

(18)

命題2相當(dāng)于對(duì)圖像部分灰度進(jìn)行拉伸，適用于圖像整體偏暗的情況.同理，可求出f(x)≤x時(shí)，相當(dāng)于對(duì)圖像部分灰度進(jìn)行壓縮，適用于圖像整體偏亮的情況.

由上可知，OTSU閾值與灰度變換函數(shù)有關(guān)，如果選擇的灰度變換函數(shù)不同，即使是同一圖像也會(huì)得到不同的結(jié)果.因此，選擇灰度變換函數(shù)應(yīng)該根據(jù)圖像的性質(zhì)和處理的目的來(lái)決定.

為了增強(qiáng)圖像的局部特性，準(zhǔn)確地提取裂紋缺陷，本文采用分段灰度變換，將整個(gè)圖像灰度分為目標(biāo)段、過(guò)渡段和背景段三個(gè)部分，對(duì)各部分進(jìn)行不同的處理——拉伸目標(biāo)段、保持過(guò)渡段、抑制背景段.尋求在最大類間方差的意義下適用于X射線圖像裂紋缺陷分割的變換函數(shù)及優(yōu)化閾值，達(dá)到增強(qiáng)圖像分割效果的目的.本文將灰度值高于閾值的像素作為背景，低于閾值的像素作為目標(biāo).

(1)f(i)是{0,1,…,a}到{0,1,…,a}的一個(gè)映射,f(i)≥i；

(2)g(i)是{b+1,…，L-1}到{b+1,…，L-1}的一個(gè)映射,g(i)≤i；

(3)f(i)、g(i)單調(diào)遞增；

可得以下命題：

(19)

記T2=maxF-1(T)，同理有：

(1)當(dāng)0

(1-P0(T2))，

(20)

(2)當(dāng)a≤T2≤b時(shí)，

(1-P0(T2))，

(21)

(3)當(dāng)b

P0(T2)(1-P0(T2)).

(22)

命題3得證.

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

裂紋圖像感興趣區(qū)域一般是長(zhǎng)條形狀(見(jiàn)圖3)，由于裂紋缺陷較細(xì)，為防止圖像過(guò)大或過(guò)小造成實(shí)驗(yàn)的不準(zhǔn)確性，需選擇合適大小的窗口對(duì)圖像進(jìn)行二值化處理，文中通過(guò)遍歷長(zhǎng)條形狀感興趣區(qū)域來(lái)確定二值化處理的窗口. 通常情況下，裂紋長(zhǎng)和寬在一定范圍內(nèi)，記裂紋的包圍矩形最短邊長(zhǎng)為l(文中實(shí)驗(yàn)l=3)，通過(guò)以下方式確定分割窗口：長(zhǎng)條形狀感興趣區(qū)域?yàn)闄M向(縱向)時(shí)，窗口寬度(高度)為原始感興趣區(qū)域的寬度(高度)，且不超過(guò)1000個(gè)像素，高度(寬度)為原始感興趣區(qū)域的高度(寬度)的1/2，并每隔l個(gè)像素點(diǎn)從圖像的左上角開(kāi)始以縱向(橫向)掃描的方式遍歷，分別對(duì)這些窗口對(duì)應(yīng)的圖像進(jìn)行二值化處理，由此實(shí)現(xiàn)裂紋圖像的分割.圖4給出了傳統(tǒng)OTSU算法與本文算法的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，結(jié)果表明，本文基于圖像灰度變換的OTSU閾值優(yōu)化算法成功地分割出了裂紋缺陷.

(a)圖3(a)經(jīng)傳統(tǒng)OTSU算法處理后的二值化圖像 (b) 圖3(a)經(jīng)OTSU閾值優(yōu)化算法處理后的二值化圖像

其中對(duì)圖3(a)、圖3(b)作的灰度變換分別為：

表1給出了傳統(tǒng)OTSU算法與本文基于圖像灰度變換的OTSU閾值優(yōu)化算法對(duì)應(yīng)的閾值及最大類間方差. 結(jié)果表明，OTSU閾值優(yōu)化算法得到的圖像類間方差較大，且兩組圖像優(yōu)化閾值均小于傳統(tǒng)OTSU算法下的分割閾值，這是由于裂紋灰度值比焊縫灰度值大，而傳統(tǒng)OTSU算法將裂紋錯(cuò)分為焊縫，導(dǎo)致閾值偏大.

表1 兩種算法下的相關(guān)數(shù)據(jù)對(duì)比Tab.1 Comparison of related data under two algorithms

4 結(jié)語(yǔ)

本文針對(duì)X射線圖像裂紋缺陷分割問(wèn)題，通過(guò)引入灰度變換函數(shù)，并對(duì)變換函數(shù)適當(dāng)?shù)丶右詶l件限制的情形下，得到了OTSU閾值優(yōu)化問(wèn)題的理論解. 命題1和命題2的結(jié)果表明:存在一種灰度變換函數(shù)，使類間方差達(dá)到最大. 命題3的結(jié)果及實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表明：存在一種分段灰度變換函數(shù)，使OTSU算法類間方差達(dá)到最大，并能較好地分割裂紋缺陷.