王 航， 鄭雪山， 周 挺， 張國興， 侯雨雷， 曾達幸

(1.浙江萬里學院 信息與智能工程學院， 寧波315100; 2.燕山大學 機械工程學院， 秦皇島 066004; 3.東莞理工學院 機械工程學院， 東莞 523000)

0 引 言

復雜多變環(huán)境對機械系統(tǒng)運行品質(zhì)提出了越來越高的要求[1]。間隙的存在使得高端裝備動力學模型呈現(xiàn)出高度非線性，非線性系統(tǒng)的參數(shù)發(fā)生變化會導致混沌現(xiàn)象。含有混沌運動的系統(tǒng)是一類具有初值敏感性和遍歷性，看似無法預測，但是不收斂和不回歸的非周期系統(tǒng)[2]。

伴隨混沌現(xiàn)象與混沌理論的發(fā)展，混沌特性分析已成為熱點研究問題[3-4]。Gogu等應用混沌特性對間隙問題進行研究，研究了其動力學模型[5-6]。此后，研究人員圍繞這類機構(gòu)性能分析、非線性特性、系統(tǒng)數(shù)學模型的建立以及機構(gòu)驗證等方面作了大量深入探究。鐘順等建立充液飛行器多頻動作狀態(tài)時燃料液體的晃動規(guī)律，獲得系統(tǒng)多組參數(shù)時次諧分岔和異宿分岔的數(shù)值特性，明確了混沌運動現(xiàn)象產(chǎn)生的機理[7]。梁山等研究了具有非線性的2自由度1/4汽車懸架模型在路面不平度激勵下發(fā)生的混沌振動，仿真和實驗研究結(jié)果揭示了系統(tǒng)發(fā)生混沌振動的可能性[8]。馬洪濤等研究了在一定的扭矩作用下，隨著轉(zhuǎn)速的增大，行星換向機構(gòu)最終由周期運動狀態(tài)突變?yōu)榛煦邕\動狀態(tài)[9]。文獻[10]針對雙級行星齒輪傳動系統(tǒng)，依據(jù)相空間軌跡以及分岔圖的方法探究系統(tǒng)的混沌運動規(guī)律，研究結(jié)果說明系統(tǒng)正常工作模型應符合周期運動規(guī)律。茍向鋒探究了齒側(cè)的間隙值改變對振動系統(tǒng)性能的影響，發(fā)現(xiàn)多組激勵頻率時系統(tǒng)能產(chǎn)生Hofp分岔現(xiàn)象[11]。孫濤等建立發(fā)動機對轉(zhuǎn)雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學模型，研究了外轉(zhuǎn)子發(fā)生突加不平衡故障后引起的轉(zhuǎn)子動靜碰摩對于對轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)子響應的影響，分析了對轉(zhuǎn)雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的分岔與混沌現(xiàn)象[12]。

曲柄滑塊機構(gòu)可將旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)變成平移運動，在傳統(tǒng)機械、航空航天和機器人等領(lǐng)域都使用曲柄滑塊機構(gòu)，研究含間隙機構(gòu)動力學問題具有普遍意義。本文以曲柄滑塊機構(gòu)為研究對象，考慮多組運動副間隙，構(gòu)建了含多組間隙機構(gòu)的動力學特性方程，分析發(fā)生間隙條件下機構(gòu)動態(tài)變化特性，研究間隙的數(shù)目、大小和位置對機構(gòu)存在的混沌特性的作用規(guī)律，并辨識了機構(gòu)的混沌現(xiàn)象。

1 含間隙曲柄滑塊機構(gòu)動力學建模

1.1 轉(zhuǎn)動副間隙描述

運動副構(gòu)成元素間的運動狀態(tài)可分為自由運動、接觸運動和撞擊，如圖1所示。接觸運動狀態(tài)時，軸與軸套不發(fā)生分離，在慣性力和摩擦力一起作用時，伴隨軸套和軸的分離轉(zhuǎn)變?yōu)樽杂蛇\動狀態(tài)。自由狀態(tài)下，軸在軸套所限制的區(qū)域內(nèi)作自由運動，運動副元素間沒有力作用。自由運動情形完結(jié)后，構(gòu)成運動副的元素產(chǎn)生撞擊而進入撞擊狀態(tài)。撞擊狀態(tài)完成后，軸的運動狀態(tài)往往難以辨別，與撞擊之前的恢復力參數(shù)、速率以及撞擊完結(jié)后速率等方面有關(guān)聯(lián)。

圖1 含間隙轉(zhuǎn)動副的運動狀態(tài)

(1)

式中單位矢量n表示成：

n=e/e

(2)

(3)

將式(3)兩邊進行求導運算，可獲得撞擊點的速度為：

(4)

依據(jù)投影規(guī)律能夠獲取撞擊點對于本身所在平面的切向速率vt與法向速率vn,可表示為：

(5)

撞擊環(huán)節(jié)運動副構(gòu)成元素的極大嵌入深度數(shù)值為：

δ=e-c

(6)

式中c表示間隙尺寸的數(shù)值，數(shù)值為：

c=Rj-Ri

(7)

式(7)的物理意義表示運動副構(gòu)成元素半徑之間的差值。當δ值不小于0時，運動副構(gòu)成元素處在相互接觸環(huán)節(jié)；當δ不大于0時，運動副構(gòu)成元素處于自由狀態(tài)；當δ等于0時，運動副構(gòu)成元素之間產(chǎn)生撞擊。

1.2 間隙鉸鏈接觸力模型

L-N模型既涉及撞擊時產(chǎn)生的能量耗散，又考慮撞擊體的材料性質(zhì)、局部彈性形變和撞擊速度等信息，普遍應用于具有間隙機構(gòu)的研究中[14]。此模型將運動副構(gòu)成元素間撞擊環(huán)節(jié)的能量耗散、構(gòu)成運動副元素的材料性質(zhì)、構(gòu)成運動副元素的彈性形變、撞擊發(fā)生前各組構(gòu)成元素速率等因素整合起來。其接觸力模型的計算方程為:

(8)

剛度系數(shù)K的方程為：

(9)

(10)

(11)

式中：R1和R2為運動副構(gòu)成元素的半徑；δ1和δ2為運動副構(gòu)成元素的等效彈性模量；υ1和υ2為泊松比；E1和E2為楊氏模量。

阻尼系數(shù)D的表達式為：

D=μδn

(12)

式中μ為滯后系數(shù)，計算公式為：

(13)

0≤ec≤1

(14)

在運動副構(gòu)成元素完全彈性撞擊情形下，ec取值為0；運動副構(gòu)成元素在完全非彈性撞擊情形下，ec取值為1。

由式(12)和式(13)可得：

(15)

因此，式(8)可表示為：

(16)

運動副構(gòu)成元素之間是否發(fā)生撞擊可以根據(jù)嵌入值δ的大小來分析，條件為：

(17)

當構(gòu)成運動副元素互相存有接觸情形時，處于碰撞范圍出現(xiàn)撞擊力作用。這組力的數(shù)值依據(jù)L-N模型求解，可表示為：

(18)

1.3 含間隙曲柄滑塊機構(gòu)動力學建模

(19)

進而有：

(20)

圖3 含多間隙的曲柄滑塊機構(gòu)示意圖

圖4 含多間隙的曲柄滑塊機構(gòu)矢量圖

根據(jù)圖4計算各構(gòu)件質(zhì)心的坐標位置，以矩陣形式表示為：

(21)

對式(20)兩邊求導，可得：

(22)

由于間隙值

變化很小，忽略上式高階項，展開余項為：

(23)

對式(21)兩邊求導，可得各構(gòu)件質(zhì)心線速度：

(24)

對式(23)兩邊求導，可得連桿角加速度：

(25)

對式(24)兩邊求導，可得各構(gòu)件質(zhì)心加速度：

(26)

通過具有間隙平面多剛體系統(tǒng)動力學分析，軸處于軸承中像異的運動情形具有分階段函數(shù)的屬性，能夠?qū)⑤S和軸承的運動屬性一并展現(xiàn)在運動方程之中。當軸與軸承處在相互分離情形時，軸處于自由運動的情形；當軸承與軸處于接觸情形時，軸受到軸承的約束力作用而處于約束運動中。因此，具有間隙的多剛體體系的運動情形，伴隨軸與軸承接觸狀態(tài)的變化。假定具有間隙平面多剛體體系有m組運動副與n組零部件，開始構(gòu)建多組構(gòu)件運動學的表達式，便于依據(jù)拉格朗日乘子法,列寫包含運動約束的運動規(guī)律。

平面多剛體體系里各個構(gòu)件的質(zhì)心位置表示成(x，y)T,構(gòu)件的方位角表示成(φ，ω)，則第i個構(gòu)件的廣義坐標為：

qi=[x,y,φ,ω]T

(27)

系統(tǒng)n個構(gòu)件的廣義坐標為：

q=[q1,q2,…,qn]T

(28)

第i個構(gòu)件的運動約束方程矢量為：

Φi=[x,y,f,ω,t]T

(29)

系統(tǒng)的約束方程為：

Φ(q,t)=[Φ1,Φ2,…,Φn]

(30)

在間隙內(nèi)部引入等效接觸力后，系統(tǒng)包含拉格朗日乘子的動力學公式表示為：

(31)

當間隙內(nèi)部發(fā)生撞擊時，引入單位階躍函數(shù)s(δ)，其表達式為：

(32)

撞擊力大小為：

F=s(δ)(Fn+Ft)

(33)

在間隙內(nèi)部引入等效接觸力后，系統(tǒng)方程最終形式為：

(34)

2 間隙參數(shù)變化對機構(gòu)動力學影響仿真

選定機構(gòu)各個構(gòu)件材料為45鋼，其相關(guān)參數(shù)如表1所示。在動力學仿真中，設定滑塊和連桿之間的轉(zhuǎn)動副C處存在間隙，選取求解兩組周期作為輸出項，分別求取間隙半徑為0.3、0.5和1.5 mm時的動力學響應結(jié)果。仿真參數(shù)如表2所示，角速度ω=20π rad·s-1。

表1 曲柄滑塊機構(gòu)各構(gòu)件幾何參數(shù)和質(zhì)量特性

對含C處間隙曲柄滑塊機構(gòu)進行動力學仿真，運動副構(gòu)成元素的相和軸心運動軌跡如圖5所示，考慮1.5 mm間隙情形時的數(shù)據(jù)，位移和速度龐加萊截面圖如圖6所示。

(a) 間隙0.3 mm X軸相軌跡

(d) 間隙0.5 mm Y方向相軌跡

(g) 間隙0.3 mm軸心軌跡圖

表2 含C處間隙曲柄滑塊機構(gòu)動力學仿真參數(shù)

由圖5(a)和圖5(c)可以看出，間隙尺寸為0.3和0.5 mm時，間隙之間X軸的相軌跡曲線變化偏小，整體形態(tài)總體不會發(fā)生改變；圖5(b)和圖5(d)顯示，間隙尺寸為0.3和0.5 mm時，間隙內(nèi)部Y軸的相軌跡改變較為顯著，伴隨間隙值升高，Y軸的混亂情形更加顯著。

由圖5(g)和圖5(h)可以看出，間隙尺寸為0.3與0.5 mm時，軸心軌跡基本一樣且均產(chǎn)生撞擊聚集；由圖5(a)、圖5(c)和圖5(e)可以看出，間隙尺寸為某一值時，間隙內(nèi)部X軸相軌跡將發(fā)生突變，其中圖5(e)相軌跡中顯現(xiàn)兩組相接近的“吸引子”的聚集區(qū)域；由圖5(b)、圖5(d)和圖5(f)可以看出，間隙值到達特定時間隙內(nèi)部Y軸的相軌跡同時也會產(chǎn)生突變，其中圖5(e)相軌跡中Y軸的混亂程度更加明顯，整體結(jié)構(gòu)更加發(fā)散。

由圖6(a)和圖6(b)可以看出，間隙之間X軸與Y軸上的龐加萊截面均展現(xiàn)散點形態(tài)，X軸上的點出現(xiàn)顯著的聚集形態(tài)，Y軸上的點愈加的分散，進一步證實了間隙內(nèi)部Y軸的混亂程度比X軸的混亂程度顯著。由圖5(e)和圖5(f)可以看出，由于圖5(e)相軌跡中出現(xiàn)兩個類似“吸引子”的集中區(qū)域，相軌跡約束能力顯著。三組間隙情形時Y軸相內(nèi)部一直沒有發(fā)生“吸引子”的聚集區(qū)域，伴隨間隙值加大，X軸的相軌跡發(fā)生分岔形態(tài)后,最終致使相軌跡發(fā)生突變形態(tài)。

(a) X方向龐加萊截面

在Adams模型中，B、C處添加代表軸和軸套的兩個半徑不同的球體，取0.3 mm的半徑差體現(xiàn)間隙，分析多間隙機構(gòu)動力學行為，仿真分析的結(jié)果如圖7所示。由圖7(a)和圖7(b)對比可知，B、C間隙內(nèi)部在X方向能發(fā)生兩個“吸引子”，B處“吸引子”比C處“吸引子”的吸引作用顯著，B間隙X方向內(nèi)部相軌跡規(guī)則更強，C間隙X方向內(nèi)部散亂程度愈加凸顯。由圖7(c)和圖7(d)對比可知，B、C間隙之間在Y方向出現(xiàn)的“吸引子”數(shù)目相異；由圖7(c)可以看出，B間隙Y方向出現(xiàn)距離相較接近的三組“吸引子”，對相的束縛能力更顯著，據(jù)此B間隙的Y方向上相軌跡較為規(guī)律；由圖7(d)可以看出，C間隙Y方向出現(xiàn)一個“吸引子”，且這組“吸引子”對相的束縛性能相比B間隙處更小，與B間隙作比較，C間隙Y方向的相軌跡更加發(fā)散。

由圖7(e)和圖7(f)對比可知，C間隙之間的軸心間軌跡規(guī)律性比B間隙之間的軸心間軌跡更弱，B間隙兩者間的軸心撞擊點集中在軸心的兩側(cè)，而B間隙兩者間的軸心撞擊點大多數(shù)散布在軸心四周。B間隙內(nèi)部撞擊更加聚集，C間隙內(nèi)部的撞擊分散程度更高。由圖7(g)可以看出，C處的撞擊力對比B處的撞擊力更高，表明C處的混亂程度高與其內(nèi)部的撞擊力大小存在重要關(guān)聯(lián)?？梢钥闯?，多組間隙情形時，間隙之間展現(xiàn)劇烈的非線性形態(tài)。間隙值為0.3 mm時，B處的混亂狀態(tài)較C處減小更多，C處的撞擊力比B處更強，表明遠離驅(qū)動副的鉸鏈之間混亂程度更加顯著。

(a) B間隙X軸相軌跡

(d) C間隙Y軸相軌跡

(e) B間隙軸心軌跡圖

(f) C間隙軸心軌跡圖

(g) B以及C間隙的撞擊力

(h) 滑塊的速度曲線

(i) 滑塊的加速度曲線

(j) 滑塊移動曲線

在Adams模型中，依次解算B與C處間隙半徑等于0.2、0.3及0.5 mm情形時的動力學影響結(jié)果?；瑝K的輸出響應如圖8所示。由圖8(a)、圖8(b)與圖7(j)對比可知，間隙分別位于B、C處和同時位于B、C處時，滑塊位移變化不大。說明間隙的位置與數(shù)目對滑塊的位移輸出影響不大。由圖8(c)、圖8(d)與圖7(h)對比可知，含C處間隙滑塊速度曲線出現(xiàn)的波動比含B處間隙強烈；含多間隙滑塊速度曲線出現(xiàn)波動比含單間隙強烈。說明間隙的位置與數(shù)目對滑塊的速度輸出有較大影響。由圖8(e)、圖8(f)與圖7(i)對比可知，含C處間隙滑塊加速度曲線出現(xiàn)的波動比含B處間隙強烈；含多間隙滑塊加速度曲線出現(xiàn)波動比含單間隙強烈。說明間隙的位置與數(shù)目對滑塊的加速度輸出有較大影響。

3 含間隙曲柄滑塊機構(gòu)混沌現(xiàn)象辨識

根據(jù)定量法(李雅普諾夫指數(shù))和定性法(龐加萊映射法)對間隙值為0.3mm的多間隙曲柄滑塊系統(tǒng)的混沌特性開展了研究。含間隙曲柄滑塊機構(gòu)的龐加萊截面如圖9所示?？梢钥闯觯瑱C構(gòu)龐加萊截面的各點相互不重復，各組點的散布圖表明該系統(tǒng)無周期性的解，表明系統(tǒng)處于混沌運動形態(tài)，證明兩組間隙Y方向分量的混亂程度愈發(fā)顯著。

(a) B處間隙滑塊位移圖形

(b) C處間隙滑塊位移圖形

(c) B處間隙滑塊速度圖形

(d) C處間隙滑塊速度圖形

(e) B處間隙滑塊加速度圖形

(f) C處間隙滑塊加速度圖形

(a) B間隙X軸龐加萊截面

(b) C間隙X軸龐加萊截面

(c) B間隙Y軸龐加萊截面

(d) C間隙Y軸龐加萊截面

圖10 B與C處Y軸分量的最大李雅普諾夫指數(shù)Fig.10 Maximum lyapunov exponent of Y axis components at B and C

選取間隙B與間隙C處的軸心沿Y向位移數(shù)據(jù)予以分析，B與C處Y軸分量的最大李雅普諾夫指數(shù)如圖10所示。橫坐標表示時間，縱坐標表示發(fā)散情況，選取曲線上升的穩(wěn)態(tài)環(huán)節(jié)，對穩(wěn)態(tài)環(huán)節(jié)的直線傾斜情況展開擬合操作，獲知曲線的擬合斜率為5.22和2.94,最大李雅普諾夫指數(shù)均大于0。

由最大李雅普諾夫指數(shù)分析法再次驗證了曲柄滑塊系統(tǒng)運動副之間發(fā)生的混沌現(xiàn)象；同時表明同一機械系統(tǒng)的運動副間隙大小相同、位置不同情況下，撞擊力、軸心軌跡和混沌運動的強度不同。仿真數(shù)據(jù)的龐加萊映射及系統(tǒng)的最大李雅普諾夫指數(shù)說明，機構(gòu)已經(jīng)處于混沌狀態(tài)，與含間隙曲柄滑塊機構(gòu)的動力學行為所表現(xiàn)出的非周期特性相吻合。

4 結(jié) 論

分析了多間隙情況下曲柄滑塊機構(gòu)運動副內(nèi)部的動力學行為，進一步證明間隙處的方位是致使機構(gòu)發(fā)生激烈非線性以及混沌運動的關(guān)鍵因素，以及當間隙值相同時，間隙的數(shù)目會決定系統(tǒng)的動力學穩(wěn)定性。曲柄滑塊系統(tǒng)隨間隙值增加滑塊速度和加速度波動量均增加；含C處間隙滑塊加速度曲線出現(xiàn)的波動比含B處間隙強烈；含多間隙滑塊加速度曲線出現(xiàn)波動比含單間隙強烈。針對曲柄滑塊機構(gòu)的研究表明，不論處于單個間隙式是多個間隙情形時，與驅(qū)動副較遠的運動副的非線性特性愈發(fā)顯著，這組運動副內(nèi)部更易發(fā)生撞擊區(qū)域聚集現(xiàn)象。