陳學偉，秦進，周穎靚

(中南大學 交通運輸工程學院，湖南 長沙 410075)

近年來，我國各類自然災害頻發(fā)，對社會和經(jīng)濟發(fā)展造成了嚴重破壞。由于災害具有突發(fā)性，在目前條件下還很難對其進行控制和預防，因此如何保障災后救援和疏散等活動[1]，成為當前災害應急管理研究中的熱點問題之一。交通網(wǎng)絡是災后救援中發(fā)揮著巨大的作用[2]。但是其基礎設施在受災區(qū)域內(nèi)也會受到損毀。從減災和防災角度出發(fā)，有必要在災前對交通基礎設施進行養(yǎng)護和加固，以提高其抗毀能力和保證災后的服務能力。近年來，專家學者就交通網(wǎng)絡的應急預防護問題開展了廣泛的探討。CHU 等[3]提出兩階段隨機模型，最大限度提高公路網(wǎng)絡的連通可靠性。LIU等[4]研究多條公路橋梁運輸系統(tǒng)的魯棒性和彈性，確保在未來的地震損失降至最小。YAN等[5]在預算有限的條件下，加強對中國鐵路系統(tǒng)的投資，來最小化地震災害造成的系統(tǒng)服務損失。YüCEL等[6]提出災前投資決策來加強網(wǎng)絡的路段結(jié)構(gòu)，通過降低路段受損概率來提高災后網(wǎng)絡可達性。在國內(nèi)外相關(guān)研究中，都是將路段加固狀態(tài)定義為0?1 變量，即僅考慮加固和不加固2 種狀態(tài)。但是在實際工作中，根據(jù)相關(guān)工程作業(yè)標準，路段的養(yǎng)護是可以按照不同等級進行不同程度的加固[7]，相應的其在災害中的受損情況也并不一致。本文結(jié)合實際工程標準，研究不確定環(huán)境下的交通網(wǎng)絡應急預防護優(yōu)化決策方案。

1 問題分析

為了有效應對自然災害給交通網(wǎng)絡所帶來的不確定風險，需要考慮在災害發(fā)生前，選擇對交通網(wǎng)絡進行養(yǎng)護加固等預防護方案，以應對各種災害情景，此即不確定環(huán)境下交通網(wǎng)絡應急預防護優(yōu)化問題。災前養(yǎng)護和災后維修通常需要大量的經(jīng)濟成本。極度嚴重的災害通常發(fā)生的概率極低，將交通網(wǎng)絡的所有路段養(yǎng)護加固到可以承受此類災害的程度，會導致無法承受的支出。加之養(yǎng)護預算有限，如何合理分配有限的預算從而使交通網(wǎng)絡的預防護效果最大化是該領(lǐng)域的關(guān)鍵問題。

為提高交通網(wǎng)絡在災害中的抗毀能力，更有效地保證其災后的運輸服務質(zhì)量，考慮在災前對路段等關(guān)鍵基礎設施進行養(yǎng)護加固等預防護方案。交通網(wǎng)絡應急預防護優(yōu)化決策方案的關(guān)鍵目標是確定有限預算下交通網(wǎng)絡各路段的養(yǎng)護等級。根據(jù)《公路養(yǎng)護技術(shù)規(guī)范》[8]對養(yǎng)護工程的規(guī)定，本文將養(yǎng)護等級分為0～4 共5 級，分別對應不養(yǎng)護、小修、中修、大修和改建5級養(yǎng)護工程。同時考慮了預算成本、網(wǎng)絡連通性、旅行時間、通行能力等因素，從數(shù)學角度最小化災前養(yǎng)護加固成本和災后修復費用期望成本。通過優(yōu)化分析確定最優(yōu)養(yǎng)護方案，可以保證以最小的成本費用取得最大的防護效果，對災后的救援、疏散及恢復有重大的意義。

2 模型構(gòu)建

2.1 問題假設

為方便模型建立，可作如下合理假設：

1)假設災害情景的發(fā)生概率是已知的；2)假設不受災害影響的路段集合是已知的，該集合中的路段不需要進行養(yǎng)護加固。受災害影響的路段集合則需要考慮在災前進行養(yǎng)護加固；3)假設在受災害影響的路段集合中，未養(yǎng)護的路段在災害下毀壞，不能通行；已養(yǎng)護的路段在災害下受損，路段連通但通行能力下降；4)假設災害發(fā)生后交通網(wǎng)絡的出行需求較災前發(fā)生變化；5)假設災后的人員疏散和救援工作是有序組織和開展的。

2.2 變量定義

G(N,A)：交通網(wǎng)絡；N：交通網(wǎng)絡中的節(jié)點集合；A：交通網(wǎng)絡中的路段集合，A=A1∪A2；A1：不受災害影響的路段集合；A2：受災害影響的路段集合；W：交通網(wǎng)絡中所有OD對集合；Ω：所有可能災害情景的集合；ω：交通網(wǎng)絡可能面臨的災害情景，ω∈Ω；Pω：災害情景ω發(fā)生的概率，xa：路段a上的流量，a∈A；ca：路段a上的通行能力，a∈A；：路段a的自由流阻抗，a∈A；ta(xa,ca)：路 段a的交通阻抗，a∈A；qij：OD對[i,j]間的交通需求量，[i,j]∈N；Kij：OD對[i,j]間的有效路徑集，[i,j]∈N；：OD對[i,j]間的路徑k(k∈Kij)的流量，[i,j]∈N；σa：路段a的單位長度養(yǎng)護成本，a∈A；τa：路段a的單位長度修復成本，a∈A；la：路段a的長度，a∈A；ε：交通網(wǎng)絡應急預防護的預算上限；T0：災害發(fā)生前的交通網(wǎng)絡總阻抗；Aω：災害情景ω下的有效路徑集，ω∈Ω；Tω：災害情景ω下的交通網(wǎng)絡總阻抗，其中ω∈Ω。

決策變量和狀態(tài)變量定義如下。

ωa：災害ω發(fā)生時路段a未受到影響，則為1，反之為0。

ya：路段a預防護決策變量，即對路段a的養(yǎng)護等級。

n：0?4的5類養(yǎng)護等級，分別對應不養(yǎng)護、小修、中修、大修和改建5級養(yǎng)護工程。

ya：若a∈A2，則ya等于n，若a∈A1，則ya等于0。

θa(ω)：路段a在災害情景ω下?lián)p壞的概率。其中，?a(ω)表示已經(jīng)改建(ya=4)的路段a在災害情景ω下?lián)p壞的概率，ξa(ω)表示未經(jīng)養(yǎng)護(ya=0)的路段a在災害情景ω下?lián)p壞的概率。

λ：以ya為自變量的分段函數(shù)。

表1 λ關(guān)于ya的分段函數(shù)Table 1 λ piecewise function with respect toya

根據(jù)路段a在災害情景ω下的風險狀態(tài)ωa和其預養(yǎng)護決策ya，確定災后路段a的連通狀態(tài)π(ωa,ya)：

π(ωa,ya)：路段a在災后仍保持連通，則為1(?a∈A1或?a∈A2,ya≠0)；反之，則為0，處于非連通狀態(tài)(?a∈A2)。

β：經(jīng)過5級養(yǎng)護工程后的路段a(?a∈A2)在災害情景ω下的受損程度，可根據(jù)先驗經(jīng)驗得出[9]。

C(ωa,ya)：根據(jù)路段a在災害情景ω下的風險狀態(tài)ωa和其預防護決策變量ya，可以確定路段a的災后通行能力[10]。當災害情景ω發(fā)生時，若路段a不受災害影響(?a∈A1)，其災后通行能力仍為ca。若路段a受災害影響(?a∈A2)，此時路段a的受損程度為β，其災后通行能力降為ca?(1-β)。

2.3 優(yōu)化模型

針對研究問題，建立交通網(wǎng)絡應急預防護雙層規(guī)劃模型，其中上層模型為交通網(wǎng)絡應急預防護決策模型，下層模型由各災害情景下具有不同網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)的交通均衡配流模型構(gòu)成。優(yōu)化決策將總成本最小化作為優(yōu)化目標。

由此，交通網(wǎng)絡應急預防護雙層規(guī)劃模型可以描述如下。

上層交通網(wǎng)絡應急預防護決策模型：

式(2)總成本包含災前養(yǎng)護加固成本和災后修復期望費用。式(3)確保至少存在一條路徑k中的所有路段a的災后連通狀態(tài)π(ωa,ya)=1。式(4)確保任意OD對[i,j]的應急旅行時間與正常旅行時間的比值不超過時間可靠性系數(shù)γt。式(5)路段a的流量不超過該路段的災后通行能力。式(6)滿足養(yǎng)護預算約束。式(7)為養(yǎng)護等級。

下層交通均衡配流模型：

上層模型的優(yōu)化目標是最小化交通網(wǎng)絡的災前養(yǎng)護加固成本和災后修復期望費用，同時考慮預算約束、網(wǎng)絡連通性約束、旅行時間可靠性約束、路段通行能力約束和決策變量的取值約束。災害情景集合為Ω，即交通網(wǎng)絡可能面臨|Ω|種災害情景，可能具有|Ω|種災后網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)。為滿足|Ω|個災后固定需求，下層交通均衡配流模型用來描述災區(qū)人員的避險路徑選擇行為。μω是災害情景ω下出行需求矩陣影響因子。系統(tǒng)將略去擁擠效應，路段上的阻抗不隨流量變化，司機將選擇一對節(jié)點之間的最小阻抗路徑。因此下層模型可以使用“全有全無”算法進行求解。該模型上下層的聯(lián)系在于上層模型中各路段的阻抗由下層模型求得。由此，上層的交通網(wǎng)絡應急預防護決策模型和下層的交通均衡配流模型共同構(gòu)成交通網(wǎng)絡應急預防護決策優(yōu)化雙層規(guī)劃模型。

3 算法求解

本問題屬于NP 難問題，難以用精確算法和商業(yè)軟件進行求解。本文研究基于Frank-Wolfe 的模擬退火算法(Simulated Annealing,SA)來設計本問題的求解方法。SA 算法具有使用靈活、描述方便、容易實現(xiàn)及計算效率高等特點，故選擇SA 算法對上層交通網(wǎng)絡應急預防護決策模型進行求解。選擇Frank?Wolfe 算法對下層交通均衡配流模型進行求解[11]。SA 算法的關(guān)鍵是鄰域構(gòu)造。本研究采用變換1條路段的養(yǎng)護等級的方法進行鄰域構(gòu)造，圖1和圖2描述了上述領(lǐng)域操作。

圖1 當前解YFig.1 Current solutionY

圖2 鄰域解Y1Fig.2 Neighborhood solutionY1

求解上層模型的SA算法[12]的詳細步驟如下。

Step 1：設置參數(shù)初始值。設置初始溫度t0，溫度下降比例為a，終止溫度tf，同一溫度下迭代限制次數(shù)L，初始迭代次數(shù)l=1。利用Frank?Wolfe 算法[19]對初始交通網(wǎng)絡進行平衡配流，得到各路段阻抗ta(xa,ca)。

Step 2：確定當前解和目標函數(shù)S0。生成初始解-Y；獲得災害情景下的交通網(wǎng)絡，數(shù)量為|Ω|，得到各路段連通狀態(tài)和通行能力。利用下層模型進行平衡配流，得到各路段阻抗ta(xa,C(ωa,ya))和流量xa；判斷的可行性。若滿足上層模型約束條件，令當前解并計算上層模型初始目標函數(shù)S0；否則，重復Step 2。

Step 3：構(gòu)造鄰域解根據(jù)給定的鄰域構(gòu)造方法，得到當前解的一個鄰域解確定預防護后各災害情景下的|Ω|個交通網(wǎng)絡，利用下層模型進行均衡配流，得到各災害情境下各路段的阻抗和流量；判斷的可行性。若滿足約束條件，轉(zhuǎn)Step 4；否則，重復Step 3。

Step 4：計算鄰域解的目標函數(shù)值S1。根據(jù)所得可行鄰域解，計算上層模型的目標函數(shù)S1。

Step 5：根據(jù)Metropolis 準則判斷是否接受鄰域解為當前解。計算ΔS1-S0。若ΔS0≤0，則接受鄰域解為當前解，令,S0=S1。若ΔS0 >0，較劣解的接受概率為p(?)=exp(-ΔS/ti)，從區(qū)間(0,1)隨機產(chǎn)生一個數(shù)值γ，若γ

Step 6：同一溫度進行迭代。令l=l+1。若l≥L，轉(zhuǎn)Step 7；否則返回Step 3。

Step 7：降溫。根據(jù)降溫規(guī)則，將當前溫度值調(diào)整為ti+1=a?ti。

Step 8：判斷收斂性。若當前溫度ti+1

4 算例分析

4.1 算例簡述

某災害風險地區(qū)的交通網(wǎng)絡如圖3所示，該網(wǎng)絡共有20 個節(jié)點，31 條路段，路段雙向均有交通流。路段編號和節(jié)點編號如圖，括號內(nèi)的數(shù)值分別表示該路段的長度、通行能力和自由流阻抗，格式為

圖3 算例交通網(wǎng)絡Fig.3 Example transportation network

交通網(wǎng)絡節(jié)點OD對間的出行需求是非對稱的，具體數(shù)值如表2所示。

表2 5級養(yǎng)護工程后災害下路段的受損情況Table 2 Damage situation of road section after disaster after the fifth-level maintenance project

表4～5 表示各災害情景下，災害發(fā)生的概率及路段的損壞情況，μω是災害情景ω下出行需求矩陣影響因子?！?”表示未養(yǎng)護路段在災害中未受損，反之則用“0”表示。

表3 OD出行需求Table 3 OD travel requirements

表4 各災害發(fā)生概率及1～10號路段損壞情況Table 4 Probability of various disasters and damage of No.1～10 road sections

表5 各災害發(fā)生概率及11～20號路段損壞情況Table 5 Probability of various disasters and damage of No.11～20 road sections

4.2 算例結(jié)果及分析

網(wǎng)絡中路段阻抗的計算，采用通用的BRP 函數(shù)，其中k1,k2為常數(shù)，一般取k1=0.15,k2=4.0。設置交通網(wǎng)絡應急預防護的預算上限ε=5 500，時間可靠性系數(shù)γt取0.8。同時設置模擬退火算法的初始溫度t0=1 000，降溫系數(shù)a=0.9，同溫度迭代限制次數(shù)L=100，算法終止溫度tf=0.01，較劣解p的接受概率取0.65。本文設計基于模擬退火算法和Frank-Wolfe 算法的求解方法，運用MATLAB 軟件對模型進行計算。可以得到災前路段養(yǎng)護加固成本和災后修復費用的期望成本為S=4 819.73。算例結(jié)果如表8所示。

表6 各災害發(fā)生概率及21～31號路段損壞情況Table 6 Probability of various disasters and damage of No.21～31 road section

表7 單位長度路段不同養(yǎng)護等級養(yǎng)護加固費用和維修費用Table 7 Maintenance and reinforcement costs and maintenance costs of different levels per unit length of road section

表8 算例結(jié)果Table 8 Calculation results

求解的最優(yōu)應急預防護方案為：

分析該方案是否滿足資金約束條件限制。災前養(yǎng)護加固成本為3 002.6，小于路段養(yǎng)護加固預算上限5 500，故該方案滿足資金約束條件。

分析該方案是否滿足連通性約束條件限制。因OD對數(shù)較多，一一驗證不太現(xiàn)實，故選取其中3 對進行分析。如9 所示，OD對(2,10)，(13,17)和(19,20)間均存在至少一條連通路徑，故滿足連通性約束。

分析該方案是否滿足通行能力約束。以災害情景ω1為例，路段流量和路段通行能力的比值關(guān)系如圖4所示。圖例中，交通流起點的節(jié)點編號小于終點的節(jié)點編號，該路段稱為正向路段，反之稱為反向路段。當路段完全損毀，即不連通時，該路段無法通行，通行能力降為0，該路段的流量為0，滿足約束。如圖4 所示，路段流量和路段通行能力的比值均小于1，滿足通行能力約束。

圖4 災害情景ω1下各路段的x/cFig.4 Various road sectionsx/cunder the disaster scenario ω1

分析該方案是否滿足旅行時間可靠性約束。由假設可知，司機將選擇一對節(jié)點之間的最小阻抗路徑。選取OD對(17,13)和(19,20)進行分析，如表9所示。

表9 連通性約束Table 9 Connectivity constraints

當路段完全損毀，即不連通時，該路段無法通行，路段旅行時間為∞，但該路段一定不處于連接OD對的路徑上，故為0，滿足約束。OD對(17,13)和(19,20)間災后最小阻抗路徑的旅行時間與災前最小阻抗路徑的旅行時間的比值均小于0.8，滿足旅行時間可靠性約束。

表10 旅行時間可靠性約束Table 10 Travel time reliability constraints

5 結(jié)論

1) 針對交通網(wǎng)絡應急預防護問題，提出交通網(wǎng)絡預防護雙層規(guī)劃模型，設計基于Frank-Wolfe的模擬退火算法進行求解，以某受災區(qū)域為例進行分析，優(yōu)化結(jié)果良好，具有較好的運算效率和收斂性。提出的方法為決策者提供理論依據(jù)。算例分析表明，養(yǎng)護后的交通網(wǎng)絡在災害下的抗毀能力大為提高。同一災害情景下，災后網(wǎng)絡連通性、路段通行能力和旅行時間可靠性等指標與未經(jīng)養(yǎng)護的交通網(wǎng)絡相比，其性能更為突出。

2)當前既有研究僅將路段考慮加固和不加固2種狀態(tài)。但現(xiàn)實生活中，受到養(yǎng)護成本等一系列因素的限制，對交通網(wǎng)絡的每一路段進行最高程度的加固并不現(xiàn)實。本文提出將養(yǎng)護等級細分為0～4 共5 級，分別對應5 級養(yǎng)護工程，增加了模型的現(xiàn)實可行性，為養(yǎng)護優(yōu)化方案提供了更多的可能性。