李沐陽(yáng),苑宇

(1.大連交通大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 大連 116028;2.大連交通大學(xué) 機(jī)車(chē)車(chē)輛工程學(xué)院，遼寧 大連 116028)*

機(jī)械設(shè)備的運(yùn)行狀態(tài)與滾動(dòng)軸承有著密不可分的關(guān)聯(lián)，為確保滾動(dòng)軸承處于正常狀態(tài)，需對(duì)其振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行采集與檢測(cè)，在軸承發(fā)生故障的初期及時(shí)發(fā)現(xiàn)并修復(fù)問(wèn)題.傳統(tǒng)的信號(hào)采集方法是依據(jù)香農(nóng)-奈奎斯特采樣定理對(duì)信號(hào)進(jìn)行均勻采樣，為保證采樣精度，理論上要求采樣頻率至少為信號(hào)最高頻率的2倍才能保證頻譜不發(fā)生混疊，而在實(shí)際應(yīng)用中往往會(huì)達(dá)到5～10倍，不僅對(duì)采樣設(shè)備要求高，還會(huì)產(chǎn)生大量的數(shù)據(jù)，且存在較大冗余，增大了數(shù)據(jù)傳輸及分析的難度.

壓縮感知(Compressive Sensing，CS)[1-2]理論亦稱(chēng)壓縮采樣理論，是一種新的信號(hào)采集與處理方法，由D.Donoho、E.Candes、J.Romberg、T.Tao等人于2006年正式提出.壓縮感知可在采集原始信號(hào)的同時(shí)對(duì)其進(jìn)行壓縮，采樣頻率與信號(hào)的結(jié)構(gòu)和所包含的信息有關(guān)，不再由信號(hào)帶寬決定，信號(hào)中的部分噪聲及冗余信息也得以剔除，能夠大幅減少采集的數(shù)據(jù)量，降低采集端的壓力.目前，壓縮感知技術(shù)已在影像壓縮[3]、人臉識(shí)別[4]、雷達(dá)成像[5]、通信[6]等領(lǐng)域取得了一定進(jìn)展.

本文將壓縮感知技術(shù)應(yīng)用于滾動(dòng)軸承故障檢測(cè)，在采集軸承振動(dòng)信號(hào)的同時(shí)對(duì)其進(jìn)行壓縮，再利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)非線性時(shí)間序列的預(yù)測(cè)能力對(duì)觀測(cè)值進(jìn)行二次壓縮，通過(guò)觀測(cè)值的前一部分預(yù)測(cè)全部觀測(cè)值，在數(shù)據(jù)量遠(yuǎn)小于傳統(tǒng)方法的情況下以較高精度重構(gòu)原始信號(hào)，通過(guò)信號(hào)頻譜準(zhǔn)確提取軸承的故障信息.

1 壓縮感知理論

1.1 基本原理

壓縮感知理論的核心思想是假設(shè)信號(hào)在一個(gè)變換基下能夠稀疏表示，采用線性隨機(jī)觀測(cè)方法將信號(hào)投影到低維空間上，得到少量包含原始信號(hào)絕大部分信息的觀測(cè)值，再通過(guò)非線性?xún)?yōu)化算法復(fù)原出與原信號(hào)近似的重構(gòu)信號(hào).

x=Aθ

(1)

其中，系數(shù)向量θ=[θ1,θ2,…,θN]T，θi=〈x,ai〉=aiTx，由此可見(jiàn)，θ是時(shí)域信號(hào)x在A域的表示.如果θ中僅有K個(gè)元素非零或?yàn)榇笙禂?shù)，并且K?N，則稱(chēng)θ是K稀疏的，即信號(hào)x為正交基A下的稀疏信號(hào).

給出一個(gè)與正交基A不相關(guān)的M×N(M﹤N)維測(cè)量矩陣Φ，對(duì)信號(hào)x進(jìn)行降維觀測(cè)，得到觀測(cè)向量y∈RM×1，即

y=Φx

(2)

其中，觀測(cè)向量y包含了原始信號(hào)x的主要信息，而y中的元素?cái)?shù)量比原始信號(hào)x少得多，即減少了數(shù)據(jù)量，通過(guò)解線性方程組的方式可以由觀測(cè)值y重構(gòu)出原始信號(hào)x，但是由于M﹤N，使得方程組中未知數(shù)的數(shù)量大于方程的個(gè)數(shù)，這是一個(gè)欠定問(wèn)題，但依據(jù)前文所述，信號(hào)x可以稀疏表示，因此，觀測(cè)過(guò)程可以表示為

y=Φx=ΦA(chǔ)θ

(3)

通過(guò)重構(gòu)θ可以間接重構(gòu)出原始信號(hào)x，盡管其仍為一個(gè)欠定問(wèn)題，但由于θ是稀疏的，大幅減少了未知數(shù)的數(shù)量，縮小了解空間大小，使得重構(gòu)原始信號(hào)成為可能，只需解決如下優(yōu)化問(wèn)題：

θ(1)=arg min‖θ‖1s.t.y=Φx=ΦA(chǔ)θ

(4)

由壓縮感知的過(guò)程可以看出，對(duì)其的研究主要包含三個(gè)部分，即信號(hào)的稀疏表示方法、測(cè)量矩陣的設(shè)計(jì)以及信號(hào)的重構(gòu)算法，本文也將基于以上三部分進(jìn)行分析.

1.2 信號(hào)的稀疏表示

信號(hào)的稀疏性決定了壓縮感知的效率和精度，傳統(tǒng)的正交基字典難以保證信號(hào)足夠稀疏，因此人們提出了基于優(yōu)化學(xué)習(xí)算法構(gòu)造冗余字典的方式，其中，K-奇異值分解(K-Singular Value Decomposition，K-SVD)算法[7]由于對(duì)各種信號(hào)均有較好效果而被廣泛使用.

K-SVD算法是在K-means聚類(lèi)算法的基礎(chǔ)上提出的一種字典訓(xùn)練算法，其特點(diǎn)是在更新字典時(shí)對(duì)每一列原子進(jìn)行更新，而不是對(duì)整個(gè)字典進(jìn)行更新，訓(xùn)練效率得以提升，其具體步驟為：

步驟1 選取原始信號(hào)x，確定初始字典原子個(gè)數(shù)K、原子長(zhǎng)度n、樣本集合原子個(gè)數(shù)N、稀疏表示時(shí)線性組合的原子數(shù)L、迭代次數(shù)J.

步驟2 將x中每n個(gè)數(shù)據(jù)構(gòu)成一個(gè)原子，選擇N個(gè)原子構(gòu)成樣本集合S∈Rn×N，隨機(jī)選取其中K個(gè)原子構(gòu)成初始字典D∈Rn×K.

步驟3 求信號(hào)在D下的稀疏系數(shù)矩陣θ.

步驟4 固定θ,利用奇異值分解逐列更新每一個(gè)原子，計(jì)算殘差.

步驟5 重復(fù)步驟3～4，直到達(dá)到迭代次數(shù)或誤差條件為止.

為確定算法中各參數(shù)值，本文使用美國(guó)凱斯西儲(chǔ)大學(xué)軸承數(shù)據(jù)中心提供的故障滾動(dòng)軸承數(shù)據(jù)進(jìn)行測(cè)試，取原子長(zhǎng)度n=512，對(duì)初始字典原子數(shù)K、樣本集合原子數(shù)N、稀疏表示時(shí)線性組合的原子數(shù)L和迭代次數(shù)J進(jìn)行分析，依次調(diào)整K、N、L、J的參數(shù)值，固定剩余三個(gè)參數(shù)，計(jì)算重構(gòu)信號(hào)相對(duì)誤差，其中，K取700～950以保證字典完備，N取950～1200確保字典訓(xùn)練足夠充分，L和J通常取值較小，本文取2～12進(jìn)行測(cè)試，其結(jié)果見(jiàn)表1.

表1 K-SVD算法參數(shù)值與相對(duì)誤差

通過(guò)表1可選擇出使相對(duì)誤差較小的參數(shù)值組合，即K=900，N=1100，L=8，J=6.

1.3 測(cè)量矩陣的選擇

測(cè)量矩陣是對(duì)信號(hào)進(jìn)行降維投影的關(guān)鍵，分為隨機(jī)矩陣和確定性矩陣，本文采用前者.目前常用的隨機(jī)測(cè)量矩陣包括高斯隨機(jī)矩陣、伯努利隨機(jī)矩陣、部分哈達(dá)瑪矩陣等，對(duì)于不同性質(zhì)的信號(hào)，各矩陣的性能不盡相同.

為選擇適合本文故障信息提取方法的測(cè)量矩陣，以故障軸承512個(gè)數(shù)據(jù)作為原始數(shù)據(jù)，分別用各測(cè)量矩陣進(jìn)行壓縮感知，對(duì)比各矩陣的故障信息提取準(zhǔn)確度.由于只需檢測(cè)出故障頻率，因此不需要精確重構(gòu)信號(hào)，只要求重構(gòu)信號(hào)頻譜譜峰與原始數(shù)據(jù)頻譜譜峰一致，即視為該次壓縮感知成功，最終對(duì)比各方法的故障檢出成功率.

研究發(fā)現(xiàn)，傅里葉域中每個(gè)諧波成分對(duì)應(yīng)的頻率特性為兩條譜線[8]，因此取信號(hào)的稀疏度K=2，壓縮后的數(shù)據(jù)量M分別取100，150，…，400，使用各測(cè)量矩陣在M的不同取值下各進(jìn)行1000次壓縮感知過(guò)程，測(cè)試結(jié)果如圖1所示.

圖1 各測(cè)量矩陣故障檢出成功概率

由圖1可以看出，部分哈達(dá)瑪矩陣的故障信息提取成功率明顯高于其它矩陣，盡管部分哈達(dá)瑪矩陣要求原始數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為2的整數(shù)次冪，對(duì)于原始數(shù)據(jù)量較大的信號(hào)會(huì)造成數(shù)據(jù)量進(jìn)一步增大，但本文使用的故障軸承信號(hào)的數(shù)據(jù)較少，易滿(mǎn)足部分哈達(dá)瑪矩陣的適用條件，因此本文選用部分哈達(dá)瑪矩陣作為壓縮感知的測(cè)量矩陣.

1.4 信號(hào)的重構(gòu)算法

信號(hào)重構(gòu)的本質(zhì)是解決式(4)的優(yōu)化問(wèn)題，找到方程中盡可能稀疏的解，目前主要有兩類(lèi)方法，即基追蹤法和貪婪算法，本文將采用后者.

依據(jù)壓縮感知原理，對(duì)于維度較大的信號(hào)，求解l1范數(shù)最小化問(wèn)題重構(gòu)信號(hào)的計(jì)算量較大，所需時(shí)間也會(huì)增多，利用貪婪算法的迭代方式可以較低計(jì)算復(fù)雜度，縮短信號(hào)恢復(fù)時(shí)間，易于硬件實(shí)現(xiàn).目前較常用的迭代方式是正交匹配追蹤(Orthogonal Matching Pursuit，OMP)算法[9]，本文選用的子空間追蹤(Subspace Pursuit，SP)算法[10]是對(duì)傳統(tǒng)OMP算法的改進(jìn)，提高了效率和穩(wěn)定性.

2 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)原理

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種非線性動(dòng)態(tài)學(xué)習(xí)系統(tǒng)，其基本結(jié)構(gòu)如圖2所示.其中，x為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸入值，y為輸出值，ω表示輸入層與隱含層的權(quán)值，b為隱含層到輸出神經(jīng)元的權(quán)值，m和n分別代表輸入層與隱含層各自神經(jīng)元的數(shù)量.

圖2 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖

網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)過(guò)程是將學(xué)習(xí)樣本X1，X2，…，Xn輸入網(wǎng)絡(luò)，通過(guò)神經(jīng)元之間的傳遞函數(shù)計(jì)算網(wǎng)絡(luò)輸出值Z1，Z2，…，Zn，將Zi與期望的輸出樣本Yi進(jìn)行對(duì)比，通過(guò)訓(xùn)練函數(shù)調(diào)整權(quán)值，令Zi逼近Yi.對(duì)于非線性時(shí)間序列，可以將一組連續(xù)的數(shù)據(jù)xm-s，xm-s+1，…，xm輸入學(xué)習(xí)完成的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，得到輸出值z(mì)m+1，zm+2，…，zm+t，這些輸出值理論上將與xm+1，xm+2，…，xm+t相近，這個(gè)過(guò)程即為對(duì)xm+1，xm+2，…，xm+t的預(yù)測(cè).由于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)單次預(yù)測(cè)多個(gè)數(shù)值的誤差較大，因此本文采用滾動(dòng)預(yù)測(cè)的方式，在開(kāi)始預(yù)測(cè)時(shí)將xm，xm+1，…，xm+s作為輸入，得到下一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的預(yù)測(cè)值z(mì)m+s+1，再將其與xm+1，xm+2，…，xm+s一并作為輸入，對(duì)xm+s+2進(jìn)行預(yù)測(cè)，再利用zm+s+2對(duì)xm+s+3進(jìn)行預(yù)測(cè)，如此重復(fù)迭代即可得到后一段連續(xù)數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)值.

本文將壓縮感知過(guò)程中的觀測(cè)值用于網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)，取觀測(cè)值的前半部分用于數(shù)據(jù)的傳輸和存儲(chǔ)，實(shí)現(xiàn)信號(hào)的二次壓縮，再通過(guò)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)觀測(cè)值的后半部分，即可通過(guò)重構(gòu)算法復(fù)原原始信號(hào).

3 實(shí)例分析

實(shí)驗(yàn)選用美國(guó)凱斯西儲(chǔ)大學(xué)軸承數(shù)據(jù)中心采集的故障滾動(dòng)軸承數(shù)據(jù)，所用軸承為6205-2RS JEM SKF型深溝球軸承，采樣頻率12 kHz，轉(zhuǎn)速1797r/min，故障點(diǎn)為軸承內(nèi)圈刻痕.根據(jù)軸承轉(zhuǎn)速和采樣頻率可計(jì)算出每個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)周期的采樣點(diǎn)數(shù)約為401個(gè)，考慮到壓縮感知測(cè)量矩陣使用的部分哈達(dá)瑪矩陣要求數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為2的整數(shù)次冪，因此取512個(gè)連續(xù)數(shù)據(jù)作為原始信號(hào).

本文采用MATLAB軟件進(jìn)行仿真試驗(yàn).首先將原始信號(hào)通過(guò)K-SVD算法進(jìn)行稀疏表示，訓(xùn)練得到冗余字典，利用部分哈達(dá)瑪矩陣與原始信號(hào)相乘，取壓縮比為0.6，得到205個(gè)觀測(cè)值，然后將取得的少量觀測(cè)值作為訓(xùn)練樣本，利用MATLAB神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)工具箱對(duì)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行訓(xùn)練，再通過(guò)滾動(dòng)預(yù)測(cè)的方式對(duì)觀測(cè)值后102個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，總壓縮比約為0.8，考慮到壓縮感知觀測(cè)值的隨機(jī)性較大，因此選用4層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，即包含2個(gè)隱含層，以減少神經(jīng)元數(shù)量，輸入層與隱含層、隱含層與隱含層之間的傳遞函數(shù)選用雙曲正切S型(Tan-Sigmoid)函數(shù)，其表達(dá)式為

(5)

隱含層與輸出神經(jīng)元之間的傳遞函數(shù)選用線性傳輸(Pureline)函數(shù)，經(jīng)測(cè)試，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸入層取15個(gè)節(jié)點(diǎn)，兩個(gè)隱含層分別取11和5個(gè)節(jié)點(diǎn)可在盡可能少的神經(jīng)元下以較高概率完成預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)結(jié)果如圖3所示，可以看出，通過(guò)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)的觀測(cè)值與原始觀測(cè)值沒(méi)有明顯差異.

(a)原始觀測(cè)值

最終，將全部預(yù)測(cè)的觀測(cè)值利用SP算法進(jìn)行重構(gòu)，并利用MATLAB軟件生成重構(gòu)信號(hào)及其頻譜圖，如圖4所示.不難發(fā)現(xiàn)，本文方法的重構(gòu)信號(hào)能夠較好地模擬原始信號(hào)，僅在部分采樣點(diǎn)有一定誤差，而采用傳統(tǒng)方法時(shí)的誤差則較為明顯，如第160個(gè)采樣點(diǎn)附近的信號(hào)存在嚴(yán)重失真，盡管在實(shí)驗(yàn)的壓縮比例下二者都能通過(guò)各自頻譜準(zhǔn)確檢測(cè)出軸承的故障頻率約為154 Hz，但傳統(tǒng)方法已存在明顯誤差，經(jīng)實(shí)驗(yàn)表明，在壓縮比例較大時(shí)，使用傳統(tǒng)方法已無(wú)法準(zhǔn)確判別軸承的故障頻率.

(a)原始信號(hào)及其頻譜

為定量對(duì)比本文方法與傳統(tǒng)K-SVD算法在不同壓縮比下的重構(gòu)精度，引入匹配度(Matching Rate，MR)[11]作為重構(gòu)精度的衡量標(biāo)準(zhǔn)，其計(jì)算公式為

(6)

由表2可以看出，總壓縮比在0.72～0.92之間，即二次壓縮比在0.3～0.8之間時(shí)，本文方法的匹配度穩(wěn)定在0.83左右，傳統(tǒng)K-SVD算法的匹配度明顯低于本文方法，且隨著壓縮比的升高，二者之間的差距進(jìn)一步增大.

本文對(duì)軸承外圈和滾動(dòng)體故障信號(hào)進(jìn)行了類(lèi)似的實(shí)驗(yàn)，由于其過(guò)程基本相同，在此不再贅述，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖5所示.

圖5(a)與(b)上方的曲線為原始信號(hào)，下方的曲線為重構(gòu)信號(hào)，實(shí)驗(yàn)中，外圈故障重構(gòu)信號(hào)匹配度約為0.91，滾動(dòng)體故障匹配度約為0.76，從圖5中也能夠看出，本文方法對(duì)外圈故障信號(hào)的重構(gòu)效果較好，而對(duì)于滾動(dòng)體故障，盡管重構(gòu)誤差相對(duì)較大，但其變化趨勢(shì)保持不變.

4 結(jié)論

本文將壓縮感知理論應(yīng)用于滾動(dòng)軸承故障信息提取，提出了將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與壓縮感知相結(jié)合的信息提取方法.首先通過(guò)對(duì)比實(shí)驗(yàn)說(shuō)明了部分哈達(dá)瑪矩陣作為測(cè)量矩陣能夠保證較高的重構(gòu)精度，并利用單因素分析法對(duì)K-SVD算法參數(shù)值組合進(jìn)行了選取，接著將觀測(cè)值分為前后兩部分，前半部分觀測(cè)值用作信號(hào)傳輸及樣本，利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)后續(xù)觀測(cè)值進(jìn)行預(yù)測(cè)，以此達(dá)到了信號(hào)二次壓縮的目的，最終利用SP算法基于預(yù)測(cè)值對(duì)信號(hào)進(jìn)行重構(gòu).本文通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)證明了在總壓縮比為0.72～0.92之間時(shí)，本文方法對(duì)于軸承內(nèi)圈信號(hào)的重構(gòu)匹配度約為0.83，重構(gòu)精度明顯優(yōu)于傳統(tǒng)K-SVD方法，通過(guò)重構(gòu)信號(hào)頻譜能夠準(zhǔn)確判定軸承的故障頻率，而對(duì)于軸承外圈和滾動(dòng)體信號(hào)同樣能夠保證其匹配度分別為0.91和0.76左右，重構(gòu)信號(hào)可以較好地模擬原始信號(hào)以實(shí)現(xiàn)信息的準(zhǔn)確提取.