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        常見最值問題的解題策略探究

        2021-06-23 06:53:46石獅市實驗中學
        天津教育 2021年17期
        關鍵詞:代數(shù)最值本題

        ■石獅市實驗中學 趙 平

        最值問題的有效解決,一直是學生學習過程中的重點和難點。如何有效突破,進而提升學生的綜合解題能力,是一線數(shù)學教師一直反復思考的問題。筆者認為,有效解決最值問題的有效策略是:識別模型、解法歸類、分解化歸、熟練應用。以下筆者結(jié)合查閱的資料和課堂的教學實踐,對常見的最值問題及解題策略進行梳理和歸納。

        一、最值問題的常見解題策略

        幾何類最值問題的基本解題策略是:將相關數(shù)學問題(如果是實際問題,應先抽象為數(shù)學問題)轉(zhuǎn)化為可以利用“兩點之間,線段最短”“垂線段最短”“三角形兩邊和大于第三邊”等幾何定理解決的問題,并加以解決。其中“兩點間線段最短”是解決幾何最值問題中最本質(zhì)、最核心的依據(jù),因而也是我們進行問題轉(zhuǎn)化的出發(fā)點和落腳點。在解題中應給予十足關注,才能方向明確,游刃有余。代數(shù)類最值問題的基本解題策略是:選擇適當?shù)淖兞?,并建立該變量與目標變量之間的函數(shù)關系(含對應關系、自變量的取值范圍),并利用函數(shù)的圖像、性質(zhì)(增減性)等相關知識解決問題。其中函數(shù)的連續(xù)性是前提,增減性是保證,而在本質(zhì)上是求函數(shù)值的范圍,因此體現(xiàn)函數(shù)三要素的有機統(tǒng)一。代數(shù)類最值問題也常??梢酝ㄟ^配方法將代數(shù)式轉(zhuǎn)化為完全平方式,并利用完全平方式的非負數(shù)加以解決;有時也可利用根的判別式建立不等式模型并加以解決。

        二、常見最值問題的實例與賞析

        (一)代數(shù)類最值問題及賞析

        【例1】已知反比例函數(shù)y=,其中k>-2,且k≠0,1≤x≤2。若該函數(shù)的最大值與最小值的差是1,求k的值。

        【賞析】本題以反比例為載體求最值問題,是很典型的代數(shù)類最值問題,基本思路為通過函數(shù)增減性及自變量取值范圍求解,因為在自變量的不同取值范圍內(nèi)其最值往往是不同的,所以經(jīng)常需要關注分類討論,這是代數(shù)類最值問題解題的基本方法之一。如果在解題過程中能結(jié)合函數(shù)圖像進行輔助性解題,則能更好地體現(xiàn)函數(shù)在求最值中的作用。

        【例2】(2017年福建中考改編)已知直線y=2x+m與拋物線y=ax2+ax+b有一個公共點M(1,0),且a<b。若直線與拋物線的另一個交點記為N。(1)若-1≤a≤,求線段MN長度的取值范圍。(2)求△QMN面積的最小值。

        【賞析】本題是典型的應用函數(shù)或方程或配方求最值的代數(shù)類最值問題題目,全面體現(xiàn)了代數(shù)類最值問題的基本解法。(1)求MN范圍,即為求MN最值。解題的關鍵是在畫好圖形的基礎上(如圖1),求出MN的表達式(用含a的代數(shù)式表示),并通過配方法或函數(shù)的性質(zhì)加以解決。(2)解題的關鍵是在畫好圖形的基礎上(如圖1),求出△QMN的面積S的表達式(用含a的代數(shù)式表示),并通過配方法或函數(shù)的性質(zhì)或根的判別式加以解決。

        (二)幾何類最值問題及其賞析

        【例3】如圖2,長方形ABCD中,AB=6,BC=4,在長方形的內(nèi)部以CD邊為斜邊任意作Rt△CDE,連接AE,則線段AE長的最小值是______。

        圖2

        圖3

        【賞析】本題的解題的關鍵在于找到動點運動的路徑(軌跡)(如圖3),再利用“兩點之間,線段最短”即可求出最小值。

        【賞析】

        (1)依題意畫圖,為結(jié)合最值的解決提供載體,這是解決幾何最值問題的起點。(2)本題俗稱“阿氏圓”問題(如圖4),解題的關鍵是利用“三角形相似對應邊成比例”將。TB轉(zhuǎn)化為一條線段,并利用“三角形的兩邊之和大于第三邊”解決,體現(xiàn)了幾何類最值問題的解題本質(zhì),其中拋物線僅為載體而已。

        圖4

        【例5】如圖5,四邊形ABCD是菱形,AB=6,且∠ABC=60°,M是菱形內(nèi)任一點,連接AM,BM,CM,則AM+BM+CM的最小值為________。

        圖5

        圖6

        【賞析】本題俗稱“費馬點”問題,解題的關鍵是通過旋轉(zhuǎn)60°構造等邊三角形,將三條線段(AM,BM,CM)轉(zhuǎn)化在同一條直線(AE)上(如圖6),再利用“兩點之間,線段最短”解決問題,很好地體現(xiàn)了幾何類最值的解題本質(zhì)。

        總之,識別模型、解法歸類、分解化歸、熟練應用,是有效解決最值問題的有效策略,在數(shù)學的學習與研究中教師應給予關注和強化,以更有效地提升數(shù)學學習效益。

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