孟得龍，李寧洲，衛(wèi)曉娟

(蘭州交通大學(xué) 機電工程學(xué)院，蘭州 730070)

0 引 言

近些年來，無速度傳感器控制因為運行成本低，運行性能良好，成為電機控制領(lǐng)域的研究熱點。文獻(xiàn)[1]模型參考自適應(yīng)算法估計永磁同步電機轉(zhuǎn)子位置角及轉(zhuǎn)速，實現(xiàn)無速度傳感器控制。文獻(xiàn)[2]采用模糊超螺旋算法二階滑模觀測器，提高了轉(zhuǎn)子位置估計精度，增強了控制系統(tǒng)的魯棒性。擴展卡爾曼濾波算法以及改進(jìn)的擴展卡爾曼濾波算法因為能夠?qū)ο到y(tǒng)狀態(tài)實行在線估計，進(jìn)而實現(xiàn)對系統(tǒng)的實時控制，也被廣泛應(yīng)用于電機控制領(lǐng)域[3-4]。文獻(xiàn)[5]利用擴展卡爾曼濾波算法估計電機電流，實現(xiàn)了無電流傳感器控制,對于電機轉(zhuǎn)速及轉(zhuǎn)子位置未進(jìn)行研究。文獻(xiàn)[6-8]分別采用中心差分?jǐn)U展卡爾曼濾波算法、抗差擴展卡爾曼濾波算法以及改進(jìn)的模糊卡爾曼濾波算法對感應(yīng)電機進(jìn)行轉(zhuǎn)速估計，取得了良好的控制效果，提高了轉(zhuǎn)速估計精度，但增加了計算過程的復(fù)雜程度。文獻(xiàn)[9]采用低階串行雙擴展卡爾曼濾波算法，實現(xiàn)了永磁直線同步電機無速度傳感器控制系統(tǒng)的設(shè)計，同樣計算過程復(fù)雜。文獻(xiàn)[10]采用平方根卡爾曼濾波算法對永磁同步電機實行無速度傳感器控制，仿真效果良好。文獻(xiàn)[11-13]采用擴展卡爾曼濾波算法估計電機轉(zhuǎn)速及轉(zhuǎn)子位置角，算法簡單，但估計精度不高，濾波效果較差。

本文在擴展卡爾曼濾波(以下簡稱EKF)的基礎(chǔ)上，采用帶多重漸消因子的強跟蹤擴展卡爾曼濾波算法來估計轉(zhuǎn)速及轉(zhuǎn)子位置，不僅提高濾波的穩(wěn)定性和收斂性，而且算法相對簡單，易于實現(xiàn)。

1 傳統(tǒng)擴展卡爾曼濾波器算法

表貼式三相永磁同步電動機(以下簡稱PMSM)在靜止坐標(biāo)系下的電壓方程[14]：

(1)

將式(1)變換為電流方程，可得：

(2)

考慮到式(3)所示關(guān)系：

(3)

由式(1)、式(2)、式(3)得到如下的狀態(tài)方程：

(4)

y=Cx

(5)

式中：

(6)

(7)

(8)

將式(4)和式(5)離散化，可得：

x(k+1)=f[x(k)]+B(k)u(k)+V(k)

(9)

y(k)=C(k)x(k)+W(k)

(10)

式中：V(k)為系統(tǒng)噪聲;W(k)為測量噪聲。

傳統(tǒng)擴展卡爾曼濾波器的狀態(tài)估計可分為以下幾個步驟：

(1)一步預(yù)測：

(11)

式中：Ts為采樣時間;“～”表示預(yù)測值;“^”表示估計值。

(2)計算此預(yù)測對應(yīng)的輸出：

(12)

(3)計算預(yù)測協(xié)方差陣：

(13)

式中：

(14)

結(jié)果為：

(15)

(4)計算EKF的增益矩陣:

(16)

(5)計算優(yōu)化狀態(tài)估計值：

(17)

(6)計算估計誤差協(xié)方差矩陣：

(18)

2 帶多重次優(yōu)漸消因子的擴展卡爾曼濾波算法[15]

由于傳統(tǒng)卡爾曼濾波算法在對狀態(tài)變量估計的過程中精度不高，有學(xué)者提出帶次優(yōu)漸消因子的擴展卡爾曼濾波算法。同時，為克服漸消因子易引起過調(diào)節(jié)這一問題，在算法中引入弱化因子。

根據(jù)殘差序列的正交性原理，如式(19)所示。同時，定義式(20)：

(19)

(20)

式中：β≥1為弱化因子;Vk為殘差協(xié)方差矩陣;Hk為觀測矩陣;Q,Rk為噪聲協(xié)方差矩陣。定義如下：

(21)

式中：εk為殘差序列，εk=zk-zk/k-1；0<ρ≤1為遺忘因子，通常取ρ=0.95。

對式(20)兩端求矩陣的跡，可以得到漸消因子λk的次優(yōu)解：

(22)

式中：

(23)

式中：tr[ ]為矩陣的跡。

將式(22)代入到式(13)中，可以得到帶單一次優(yōu)漸消因子的狀態(tài)誤差協(xié)方差矩陣：

pk/k-1=λkFkpkFk+Q

(24)

由于篇幅限制，帶漸消因子的卡爾曼濾波穩(wěn)定性推導(dǎo)不再進(jìn)行贅述。

系統(tǒng)模型的不確定性在不同狀態(tài)時的影響是不同的，采用單一漸消因子時，狀態(tài)跟蹤性能不理想。因此，為進(jìn)一步提高濾波器的強跟蹤性能，本文采用帶多重次優(yōu)漸消因子的擴展卡爾曼濾波器(SMFEKF)。由式(24)及系統(tǒng)先驗知識，可以大致確定：

(25)

令：

(26)

式中：αi≥1均為預(yù)先選定的常數(shù)，由先驗信息確定；ck為待定因子。則可以確定多重次優(yōu)漸消因子的一般算法如下：

(27)

同時，將式(25)代入式(24)可得：

(28)

總結(jié)上述推導(dǎo)過程，多重次優(yōu)漸消因子λk求解算法如下：

(29)

由擴展卡爾曼濾波算法結(jié)合，式(25)～式(29)便可以得到SMFEKF算法。至此，SMFEKF算法所需參數(shù)以及公式全部給出。

圖1為基于SMFEKF的PMSM磁場定向控制仿真框圖。圖2為SMFEKF模塊。

圖1 基于SMFEKF的PMSM磁場定向控制仿真框圖

圖2 SMFEKF算法框圖

3 仿真結(jié)果

仿真用到的PMSM主要參數(shù)：Rs=2.875 Ω；Ld=8.5 mH；Lq=8.5 mH；φf=0.175 Wb；J=0.003 kg·m2；p=4；系統(tǒng)仿真時間t=0.4 s；給定速度為1 000 r/min；在起動0.1 s后給定負(fù)載轉(zhuǎn)矩15 N·m。仿真結(jié)果如圖3～圖6所示。

由圖3可知,SMFEKF矢量控制相比傳統(tǒng)擴展卡爾曼算法(EKF)，在轉(zhuǎn)矩輸出方面，脈動成分降低，穩(wěn)態(tài)性能良好。在0.1 s突加負(fù)載時，轉(zhuǎn)矩的響應(yīng)速度較快，上升比較平穩(wěn)。

圖3 電機轉(zhuǎn)矩

由圖4可知,電機輸出轉(zhuǎn)速響應(yīng)較快，轉(zhuǎn)速估計未出現(xiàn)超調(diào)現(xiàn)象，動態(tài)響應(yīng)效果明顯改善。在0.1 s施加負(fù)載轉(zhuǎn)矩時，轉(zhuǎn)速出現(xiàn)小幅下降，但很快達(dá)到給定轉(zhuǎn)速，并穩(wěn)定運行。從圖4(b)可知，基于SMFEKF的轉(zhuǎn)速差在電機起動階段，超調(diào)量大幅降低，并最終穩(wěn)定在零值附近。

圖4 電機轉(zhuǎn)速及轉(zhuǎn)速差

由圖5可知，估計的轉(zhuǎn)子位置角能夠準(zhǔn)確追蹤電機實際轉(zhuǎn)子位置角，在0.1～0.4 s電機穩(wěn)定運行階段，基于SMFEKF估計誤差明顯小于EKF估計誤差，在一定程度上提高了無位置傳感器控制的運行性能。圖6為電機α軸定子電流。

圖5 電機輸出轉(zhuǎn)子位置角

從圖6中可以看出，估計電流能夠較好地跟蹤實際電流，且電流波形具有較高的正弦度，未出現(xiàn)明顯畸變。

圖6 α軸定子電流

4 結(jié) 語

本文在 PMSM兩相靜止坐標(biāo)系數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)上，設(shè)計基于SMFEKF的無速度傳感器矢量控制系統(tǒng)。仿真結(jié)果表明:該系統(tǒng)不僅能夠準(zhǔn)確估計出轉(zhuǎn)子空間位置和轉(zhuǎn)速，同時減少了電機輸出轉(zhuǎn)矩的脈動成分，具有良好的運行性能。由于PMSM是一個多變量、強非線性的系統(tǒng)，通過辨識系統(tǒng)參數(shù)來提高轉(zhuǎn)速估計精度和增強系統(tǒng)魯棒性還需在后續(xù)工作中作進(jìn)一步研究。