馬致遠(yuǎn)，馬志民

（成都理工大學(xué)工程技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部，四川 樂山 614000）

本文將討論立方非線性Schr?dinger方程［9-11］

的精確解，這里ψ=ψ(x,t)為復(fù)函數(shù)，Ω為實(shí)系數(shù).非線性立方Schr?dinger方程廣泛應(yīng)用在各種自然科學(xué)領(lǐng)域，如非線性光學(xué)、等離子物理和量子力學(xué)等.作為數(shù)理方程中的重要模型，研究其精確解有助于相關(guān)背景的理解［12-14］.如，在非線性光學(xué)中，其解用來描述電磁場的一個(gè)復(fù)雜包絡(luò)；在等離子物理中，其解又用來描述電子波.文獻(xiàn)［12］中，Hosseini K采用修改的Kudryashov方法和sine-Gordon-展開法獲得了方程（1）的雙曲函數(shù)解.文獻(xiàn)［13］中，Ebaid A利用修改的F-展開方法構(gòu)造了方程（1）的橢圓函數(shù)解和雙曲函數(shù)解.文獻(xiàn)［14］利用exp( -?(ξ))-展開法獲得了方程（1）的多種新結(jié)果.

對非線性偏微分方程

利用u(x,t)=u(ξ),ξ=k x+αt使方程（2）變?yōu)?/p>

假設(shè)方程（3）的解為

其中：ai(i=0,1,2,…)；k,α是待定系數(shù)；正整數(shù)m通過方程（3）中的最高次線性項(xiàng)和最高次非線性項(xiàng)來確定.?(ξ)滿足如下的一階方程

其中：f，g，h是常數(shù).

對于一階微分方程（5）已知有如下結(jié)果；

1）當(dāng)Δ=f2+g2-h2＜0，g-h≠0時(shí)，

2）當(dāng)Δ=f2+g2-h2＞0，g-h≠0時(shí)，

3）當(dāng)Δ=f2+g2-h2＞0，g≠0，h=0時(shí)，

4）當(dāng)Δ=f2+g2-h2＜0，g=0，h≠0時(shí)，

5）當(dāng)Δ=f2+g2-h2＞0，g-h≠0，f=0時(shí)，

6）當(dāng)f2+g2-h2=0時(shí)，

7）當(dāng)f=g=h時(shí)，

8）當(dāng)f=h，g=-f時(shí)，

9）當(dāng)h=f時(shí)，

10）當(dāng)h=f時(shí)，

11）當(dāng)h=-f時(shí)，

12）當(dāng)g=-h時(shí)，

13）當(dāng)f=h，g=0時(shí)，

14）當(dāng)f=0，g=h時(shí)，

15）當(dāng)f=0，g=-h時(shí)，

16）當(dāng)f=0，g=0時(shí)，

這里ξ∧=ξ+C，C是積分常數(shù).

2 立方非線性Schr?dinger的精確解

將如下變換

代入到方程（1），可得

其中：k，α是待求參數(shù).

通過平衡方程（23）中的u″和u3，有m=1.因此可以假設(shè)方程（23）的解為

借助計(jì)算系統(tǒng)Maple，求解上述方程組，獲得如下結(jié)果

其中：k為任意常數(shù).

將式（26）代入到（23）和（22）式，并利用（6）～（21）式獲得立方非線性Schr?dinger的精確解如下.

1）當(dāng)Δ=f2+g2-h2＜0,g-h≠0時(shí)，

此類解為三角周期解，見圖1、圖2.

圖1 實(shí)部ψ1(x,t)Fig.1 Real part ofψ1(x,t)

圖2 模ψ1(x,t)Fig.2 Modulus ofψ1(x,t)

2）當(dāng)Δ=f2+g2-h2＞0，g-h≠0時(shí)，

3）當(dāng)f2+g2＞0，g≠0，h=0時(shí)，

此類解為孤子解，見圖3.

4）當(dāng)f2-h2＜0，g=0，h≠0時(shí)，

5）當(dāng)g2-h2＞0，g-h≠0，f=0時(shí)，

6）當(dāng)f2+g2-h2=0時(shí)，

ψ6(x,t)=

圖3 模ψ3(x,t)Fig.3 Modulus ofψ3(x,t)

此類解為有理函數(shù)解.

7）當(dāng)f=g=h時(shí)，

8）當(dāng)f=h，g=-f時(shí)，

此類解為指數(shù)函數(shù)解，通過變換可轉(zhuǎn)化為孤子解，見圖4.

圖4 模ψ8(x,t)Fig.4 Modulus ofψ8(x,t)

9）當(dāng)h=f時(shí)，

10）當(dāng)h=f時(shí)，

11）當(dāng)h=-f時(shí)，

12）當(dāng)g=-h時(shí)，

13）當(dāng)f=h，g=0時(shí)，

14）當(dāng)f=0，g=h時(shí)，

15）當(dāng)f=0，g=-h時(shí)，

16）當(dāng)f=0，g=0時(shí)，

對于ψ2(x,t)，ψ4～7(x,t)，ψ9～16(x,t)的實(shí)部和虛部三維圖像可類似作出，這里略.

3 結(jié)論