趙 剛， 王夢(mèng)靈， 薛斌強(qiáng)， 嚴(yán)懷成

（華東理工大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，上海 200237）

智能交通系統(tǒng) (Intelligent Transportation System,ITS)和計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的發(fā)展使得對(duì)路網(wǎng)交通信號(hào)燈進(jìn)行控制成為可能。假設(shè)在控制過(guò)程中道路狀態(tài)的采集以及對(duì)信號(hào)燈的調(diào)節(jié)信息是通過(guò)計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行傳輸?shù)?，那么可以將交通信?hào)控制過(guò)程看成是一個(gè)典型的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)(Networked Control Systems,NCSs)。網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)具有信號(hào)傳輸速度快、易于維護(hù)和安裝等優(yōu)點(diǎn)，已在智能交通系統(tǒng)、工業(yè)控制系統(tǒng)、電力系統(tǒng)等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[1-6]。針對(duì)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)常見(jiàn)的網(wǎng)絡(luò)延遲、丟包、信號(hào)量化和多包傳輸?shù)葐?wèn)題，許多研究者采用事件觸發(fā)(Event-Triggered)控制方案，以節(jié)省網(wǎng)絡(luò)的帶寬資源。然而，在實(shí)際應(yīng)用中，由于網(wǎng)絡(luò)帶寬的限制，數(shù)據(jù)在傳輸前必須經(jīng)過(guò)量化器量化，這使得網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)變?yōu)閰?shù)不確定系統(tǒng)，給其魯棒穩(wěn)定性帶來(lái)了很大的挑戰(zhàn)。目前，已有許多學(xué)者研究了不確定性系統(tǒng)或具有數(shù)據(jù)丟失的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的量化穩(wěn)定性。徐勝元等[7]研究了不確定性系統(tǒng)的魯棒控制，通過(guò)引入廣義可鎮(zhèn)定的H∞指標(biāo)，使得控制律可以滿足系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定和性能指標(biāo)。張凌波等[8]討論了在控制器失效情況下，具有不確定性系統(tǒng)的魯棒H∞控制問(wèn)題。

與許多流行的控制方法相比，模型預(yù)測(cè)控制(Model Predictive Control, MPC)以其在處理強(qiáng)約束和不確定性方面的便利性而受到了廣泛的研究和關(guān)注。針對(duì)具有輸入和狀態(tài)硬約束的加性有界擾動(dòng)線性系統(tǒng)，Dai 等[9]提出了一種魯棒自觸發(fā)模型預(yù)測(cè)控制算法。Li 等[10]提出了一種基于模型預(yù)測(cè)控制的框架，通過(guò)約束優(yōu)化問(wèn)題解決控制包的設(shè)計(jì)問(wèn)題，并基于傳輸控制協(xié)議提出了一種有效的包傳輸和補(bǔ)償機(jī)制。Liu 等[11]提出了一種新的隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時(shí)延和數(shù)據(jù)丟失的控制方案——具有最優(yōu)估計(jì)的網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)控制，利用無(wú)序或有延時(shí)的測(cè)量數(shù)據(jù)來(lái)提高估計(jì)精度。李德偉等[12]研究了具有有界擾動(dòng)的不確定系統(tǒng)，通過(guò)橢圓不變集方法設(shè)計(jì)出一種有效的魯棒預(yù)測(cè)控制器。由此可見(jiàn)，MPC控制策略可以有效地解決量化引起的系統(tǒng)不確定性問(wèn)題，而且，在網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)中引入事件觸發(fā)機(jī)制更能充分利用有限的網(wǎng)絡(luò)帶寬、降低網(wǎng)絡(luò)延遲、減少網(wǎng)絡(luò)帶寬堵塞。

事件觸發(fā) MPC 機(jī)制的觸發(fā)條件和優(yōu)化設(shè)計(jì)是控制器設(shè)計(jì)需要解決的問(wèn)題。本文提出了一種基于量化的自適應(yīng)事件觸發(fā)MPC(Event-Triggered MPC,ET-MPC)方法，保證具有量化的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)在閉環(huán)穩(wěn)定下有良好的控制性能。通過(guò)求解線性矩陣不等式(LMI) 得到事件觸發(fā)矩陣，基于事件觸發(fā)時(shí)控制律的預(yù)測(cè)性能計(jì)算，給出自適應(yīng)事件觸發(fā)條件，仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了ET-MPC方法的有效性。

1 問(wèn)題描述

圖1示出了一種典型的智能交通信號(hào)控制系統(tǒng)框圖[13]。車(chē)輛檢測(cè)節(jié)點(diǎn)檢測(cè)車(chē)流量和道路信息，通過(guò)無(wú)線或有線網(wǎng)絡(luò)傳送給路口信號(hào)控制節(jié)點(diǎn)，控制節(jié)點(diǎn)根據(jù)傳送過(guò)來(lái)的信號(hào)進(jìn)行處理，輸出信號(hào)改變信號(hào)燈的持續(xù)時(shí)間，從而達(dá)到對(duì)交通流的調(diào)節(jié)，進(jìn)而改變路面狀況。假定交通網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)對(duì)象是一個(gè)離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，可以將圖1抽象為圖2所示的具有量化的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)，如式(1)所示。

其中：x(k)為系統(tǒng)狀態(tài)；ν(k)為控制對(duì)象的輸入，也是量化器的輸出；A、B分別為系統(tǒng)矩陣。圖2中ki為系統(tǒng)狀態(tài)傳輸時(shí)刻，是離散時(shí)刻k的子集。

本文的主要目的是設(shè)計(jì)一種合適的基于事件觸發(fā)機(jī)制的狀態(tài)反饋圖1 MPC控制器，以保證NCSs在控制輸入量化時(shí)系統(tǒng)能夠穩(wěn)定，并且減少網(wǎng)絡(luò)帶寬資源的浪費(fèi)。

圖1 典型的交通信號(hào)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)框圖Fig. 1 Diagram of typical traffic signal network control system

圖2 具有量化的事件觸發(fā)預(yù)測(cè)控制網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)框圖Fig. 2 Diagram of event-triggering predictive control for NCSs

1.1 基于扇形定界法的量化問(wèn)題表示

其中Λ(k)是對(duì)角矩陣且

在進(jìn)一步的理論分析之前，作如下假設(shè)：

假設(shè)1 傳感器周期性地采樣系統(tǒng)狀態(tài)，狀態(tài)成功傳輸?shù)臅r(shí)間由集合 {ki|i∈N} 給出。系統(tǒng)狀態(tài)第一次成功傳輸?shù)臅r(shí)刻k0=0。

假設(shè)2 為了便于分析，假設(shè)網(wǎng)絡(luò)中沒(méi)有延遲。顯然，傳送成功的時(shí)刻{ki|i∈N} 是{mh|m∈N} 的子集，其中h是采樣時(shí)間間隔，m是采樣長(zhǎng)度。

1.2 具有量化的NCSs事件觸發(fā)機(jī)制

本文將事件發(fā)生器置于傳感器和MPC控制器之間，給出了事件觸發(fā)方案：

其中：x(ki)和x(kn)分別為最后傳輸?shù)臓顟B(tài)和當(dāng)前采樣的狀態(tài)；Ψ＞0是待設(shè)計(jì)的正定權(quán)矩陣；σ＞0為[0,1)范圍內(nèi)給定的參數(shù)；kn為當(dāng)前采樣時(shí)間；ki為上次事件觸發(fā)的時(shí)刻。為了更有效地利用網(wǎng)絡(luò)資源，參數(shù)σ在一定范圍內(nèi)改變，由此得到了一種更為自適應(yīng)的事件觸發(fā)方法。從式(5)可以看出，一個(gè)相對(duì)較小的σ使得事件驅(qū)動(dòng)機(jī)制相對(duì)容易觸發(fā)，并且系統(tǒng)狀態(tài)成功傳輸?shù)臄?shù)量將會(huì)增加。即如果要使得觸發(fā)事件數(shù)量較少，需要相應(yīng)地增大σ值，但在最壞的情況下，σ的臨界值應(yīng)能保證網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

顯然，只有當(dāng)當(dāng)前采樣時(shí)刻的狀態(tài)信息與最新傳輸采樣時(shí)刻的狀態(tài)之間的差異超過(guò)某個(gè)閾值時(shí)，才會(huì)傳輸當(dāng)前狀態(tài)。因此，下一次的觸發(fā)時(shí)刻可以通過(guò)式(6)得到。

其中：e(kn)=x(kn)?x(ki)；ki+1是下一次觸發(fā)時(shí)刻；inf代表集合的下界。

在觸發(fā)時(shí)刻ki，對(duì)象狀態(tài)x(ki)將通過(guò)網(wǎng)絡(luò)從事件觸發(fā)器傳輸?shù)筋A(yù)測(cè)控制器。同樣，當(dāng)不滿足事件觸發(fā)條件時(shí)，當(dāng)前狀態(tài)將不被發(fā)送，控制律保持不變。因此，在ki時(shí)刻，可得v(ki)=(I+Λ(ki))Kx(ki) ,K為控制器的狀態(tài)反饋增益矩陣。同時(shí)在時(shí)間間隔[ki,ki+1) 內(nèi)，由于事件沒(méi)有觸發(fā)，控制輸出保持不變。因此，控制器輸出如下：

具有控制輸入量化和事件觸發(fā)機(jī)制的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)模型表示如下：

因此，在式(1)中具有控制輸入量化的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)被轉(zhuǎn)換為具有結(jié)構(gòu)不確定性和事件觸發(fā)方案(式(8))的線性系統(tǒng)。不確定性給系統(tǒng)的穩(wěn)定性和控制器的設(shè)計(jì)帶來(lái)了很大的挑戰(zhàn)，常規(guī)的狀態(tài)反饋方法不能直接應(yīng)用于控制器的設(shè)計(jì)。模型預(yù)測(cè)控制具有控制效果好、魯棒性強(qiáng)、能克服不確定性等優(yōu)點(diǎn)，可以用來(lái)解決上述問(wèn)題。模型預(yù)測(cè)控制通常是基于一個(gè)預(yù)測(cè)模型和一個(gè)無(wú)限時(shí)域二次型性能指標(biāo)的滾動(dòng)時(shí)域優(yōu)化算法。在觸發(fā)時(shí)刻ki，系統(tǒng)的狀態(tài)預(yù)測(cè)可以描述為

U∞0(ki)

控制器的預(yù)測(cè)輸出序列 表示為

其中：x(ki+l|ki)為ki+l時(shí)刻系統(tǒng)的狀態(tài)，根據(jù)ki時(shí)刻系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)得到；u(ki+l|ki)是根據(jù)ki時(shí)刻控制器的輸出估計(jì)得到的在ki+l時(shí)刻控制器的輸出；u(k)是U0∞(ki) 的第1個(gè)元素，且有u(k)=u(ki|ki) 。同時(shí)u(ki+l|ki) 可以由u(ki+l|ki)=Kx(ki+l|ki) 推出。

1.3 事件觸發(fā)時(shí)刻預(yù)測(cè)控制率的計(jì)算

本文將事件觸發(fā)方法引入到網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)中，使MPC控制器的控制律只在事件觸發(fā)的情況下才得以更新，即只在觸發(fā)時(shí)刻計(jì)算控制器的輸出，然后在保證系統(tǒng)穩(wěn)定性的前提下導(dǎo)出事件觸發(fā)參數(shù)Ψ。

在事件觸發(fā)時(shí)刻ki，考慮以下預(yù)測(cè)控制性能指標(biāo)：

其中：Q和R是正定的對(duì)稱(chēng)權(quán)矩陣。

將MPC優(yōu)化問(wèn)題描述為一個(gè)Min-Max優(yōu)化問(wèn)題，那么式(11)可以改寫(xiě)為

其中，P是正定的對(duì)稱(chēng)矩陣。當(dāng)系統(tǒng)(式(1))漸近穩(wěn)定時(shí)，根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性定理，可以很容易地導(dǎo)出x(∞|ki)=0 且V(0|ki)=0(V(k)＞0) 。

對(duì)式(15)從l=1到∞累加求極限，可得

引理1(舒爾補(bǔ)引理) 給定對(duì)稱(chēng)矩陣S，以下3個(gè)條件是等價(jià)的。

引理2 給定適當(dāng)維度的矩陣D、E、F、R，F(xiàn)和R是對(duì)稱(chēng)矩陣且R＞0，對(duì)于任意F滿足FTF≤R，那么存在某個(gè)數(shù)ε＞0，使得

2 事件觸發(fā)機(jī)制的預(yù)測(cè)控制器設(shè)計(jì)及穩(wěn)定性分析

定理 1 給定對(duì)數(shù)量化器的給定量化密度αq，則網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)(式(11))漸近穩(wěn)定，系統(tǒng)具有一定的控制性能ζ(ki)，且MPC控制器增益K=YX?1的條件是：如果存在正定矩陣X、Y、L、M，控制器輸出u(ki|ki)以及標(biāo)量ζ(ki)，使得

并滿足式(20)和式(21)

如果上述矩陣不等式滿足

那么，利用舒爾補(bǔ)引理，就可以很容易地知道不等式(25)等價(jià)于式(20)。同樣地，式(21)可以遵循上述過(guò)程推導(dǎo)得出，證畢。

根據(jù)定理1，MPC控制器是在觸發(fā)時(shí)刻ki求得的，即MPC控制器增益K僅在滿足事件觸發(fā)條件(式(5))時(shí)計(jì)算，從而減少了計(jì)算量，節(jié)省網(wǎng)絡(luò)帶寬。

定理 2 給定MPC控制器增益K，基于事件觸發(fā)(式(5))的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)(式(8))是漸近穩(wěn)定的，如果存在適當(dāng)維度的正定對(duì)稱(chēng)矩陣Ψ和P，使得以下矩陣不等式成立。

證明 構(gòu)造下列Lyapunov函數(shù):

為了使不等式ΔV(x(k))＜0成立，只需確保Ξ＜0成立。利用舒爾補(bǔ)引理，Ξ＜0 等價(jià)于式(26)，證畢。

具有量化的事件觸發(fā)預(yù)測(cè)控制算法步驟如下：

（1）給定采樣時(shí)間{mh|m∈N}, 采樣長(zhǎng)度為m，標(biāo)量0＜υ＜1 (υ是步長(zhǎng)增量)，erru和errl分別為系統(tǒng)采樣狀態(tài)和MPC預(yù)測(cè)的狀態(tài)之間誤差范數(shù)的上下限，控制對(duì)象的系統(tǒng)矩陣A,B；量化器常數(shù)ρB,β0；正定對(duì)稱(chēng)矩陣P、Q、R；控制器增益K和事件觸發(fā)矩陣Ψ可由式(20)和式(26)計(jì)算得出。

（2）系統(tǒng)狀態(tài)第1次成功傳輸?shù)臅r(shí)刻k0=0，在每個(gè)當(dāng)前采樣時(shí)刻k，測(cè)量系統(tǒng)當(dāng)前狀態(tài)x(k)，根據(jù)式(5)判斷事件觸發(fā)條件是否滿足。如滿足事件觸發(fā)條件，則執(zhí)行步驟（3）；如果不滿足，執(zhí)行步驟（4）。

（3）令i=i+1，ki=k，計(jì)算控制輸入ν(ki)，并將控制輸入施加給系統(tǒng)。令k=k+1，返回步驟（2）繼續(xù)。

（4）控制律不變，令ν(k)=ν(ki)并作用于系統(tǒng)，令k=k+1，返回步驟（2）繼續(xù)。

（5）根據(jù)求得的控制律，如果一步預(yù)測(cè)狀態(tài)和當(dāng)前采樣狀態(tài)之間的誤差范數(shù)超過(guò)erru，令σ=σ?υ，并重復(fù)執(zhí)行步驟（1）至步驟（4）；如果當(dāng)前采樣狀態(tài)和上次傳輸狀態(tài)的誤差小于errl，令σ=σ+υ，并重復(fù)執(zhí)行步驟（1）至步驟（4）。

3 數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)

為驗(yàn)證ET-MPC方法在具有量化的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)中的有效性，假定交通信號(hào)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)可以抽象為式(1)對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。選擇Q=0.000 1I4(I4表示4階單位矩陣),R=0.001，量化器常數(shù)ρB=0.8,β0=0.1，事件觸發(fā)機(jī)制常數(shù)σ=0.1，狀態(tài)向量初始值x0=[2 ?1 0.5 ?2]T，式(1)中系統(tǒng)矩陣分別為[15]

利用Matlab LMI工具箱求解式(20)和式(26)，可得控制器增益K與事件觸發(fā)矩陣Ψ分別為

圖3、圖4分別示出了當(dāng)事件觸發(fā)機(jī)制參數(shù)σ=0.100時(shí)系統(tǒng)的控制輸入和狀態(tài)軌跡。圖3是控制輸入與時(shí)間的關(guān)系，控制輸入不變時(shí)事件觸發(fā)條件未滿足，此時(shí)不需要重新計(jì)算控制率，因此節(jié)省了系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)資源。從圖4可以看出，狀態(tài)向量收斂到0，意味著上述方法可以保證系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性。圖5示出了事件的觸發(fā)時(shí)刻?？v軸代表事件觸發(fā)(0.5代表觸發(fā)，0代表不觸發(fā))。不同σ值下的網(wǎng)絡(luò)利用率如表1所示。從表1可以看出，事件觸發(fā)機(jī)制下的發(fā)送數(shù)據(jù)遠(yuǎn)小于時(shí)間觸發(fā)方式下的發(fā)送數(shù)據(jù)，而且成功傳輸數(shù)據(jù)的數(shù)量隨著σ增加而減少，事件觸發(fā)機(jī)制的自適應(yīng)參數(shù)σ是為了更好地利用網(wǎng)絡(luò)帶寬。

圖3 控制輸入傳輸時(shí)刻Fig. 3 Control input transmission time

圖4 系統(tǒng)狀態(tài)分量軌跡Fig. 4 State trajectory of system

圖5 事件觸發(fā)的時(shí)刻Fig. 5 Triggering time

表1 自適應(yīng)參數(shù)σ對(duì)觸發(fā)事件的影響Table 1 Effect of σ on even triggering times

4 結(jié) 論

由于交通信號(hào)控制系統(tǒng)可以抽象為典型的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)，針對(duì)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)存在量化以及有限的網(wǎng)絡(luò)帶寬等問(wèn)題，本文提出了一種ET-MPC方法對(duì)交通信號(hào)控制過(guò)程進(jìn)行探討。采用ET-MPC算法可以利用事件觸發(fā)方法的優(yōu)點(diǎn)，節(jié)省了網(wǎng)絡(luò)資源，通過(guò)在線優(yōu)化計(jì)算可以及時(shí)補(bǔ)償量化帶來(lái)的不確定性。采用LMI方法對(duì)所述穩(wěn)定性分析和控制器設(shè)計(jì)進(jìn)行了研究，并給出了算法，通過(guò)仿真實(shí)例驗(yàn)證了該方法的有效性。