張 榮 彬

(德州德工機(jī)械有限公司 山東 德州 253000)

0 引 言

經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解類(lèi)算法能將非線性、非平穩(wěn)信號(hào)分解成按照頻率由高到低順序排列的固有模態(tài)函數(shù)的形式，因而當(dāng)信號(hào)中含有噪聲成分時(shí)利用該方法便可以有效地提取可用信息，從而達(dá)到降噪目的[1]。小波降噪在此方面已有舉足輕重的地位，但由于小波方法存在基函數(shù)與分解層數(shù)的選取問(wèn)題，自適應(yīng)性遠(yuǎn)不如經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解算法。浙江大學(xué)的曹沖鋒[2]研究對(duì)比了小波方法、EMD方法、EEMD方法在機(jī)械振動(dòng)信號(hào)降噪中的應(yīng)用，已經(jīng)證明了小波降噪雖然能抑制干擾信號(hào)。但由于算法自身的匹配性問(wèn)題會(huì)造成降噪結(jié)果失真；EMD方法在處理含有噪聲及脈沖干擾時(shí)，由于自身的模態(tài)混疊現(xiàn)象嚴(yán)重導(dǎo)致降噪不理想；EEMD降噪較小波與EMD降噪效果更佳。后有學(xué)者對(duì)經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解類(lèi)算法在模態(tài)混疊現(xiàn)象方面做了具體研究，發(fā)現(xiàn)EEMD仍存在一定的模態(tài)混頻現(xiàn)象[3-4]?；谝陨涎芯?，本文提出一種利用經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解類(lèi)算法中EEMD的改進(jìn)算法CEEMDAN，能夠減小模態(tài)混疊，從而提高研究的準(zhǔn)確性。

通常利用經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解類(lèi)方法進(jìn)行自適應(yīng)濾波時(shí)是根據(jù)固有模態(tài)函數(shù)與原始信號(hào)的波形相似度來(lái)設(shè)計(jì)濾波器的，但是該過(guò)程中缺乏對(duì)濾波器的篩選指標(biāo)，這樣可能會(huì)導(dǎo)致降噪結(jié)果存在一定的偏差。為了解決這一問(wèn)題，本文提出一種基于CEEMDAN的最優(yōu)平滑降噪算法，該算法可通過(guò)參數(shù)調(diào)節(jié)方式設(shè)計(jì)性能最優(yōu)的濾波器。

本文將提出的最優(yōu)平滑降噪算法用于轉(zhuǎn)動(dòng)機(jī)械噪聲信號(hào)的降噪處理，對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)機(jī)械聲學(xué)故障診斷中信號(hào)的預(yù)處理起到實(shí)質(zhì)性輔助作用，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證算法在實(shí)際應(yīng)用中的有效性。

1 CEEMDAN算法

EEMD算法中雖然添加了均值為零的高斯白噪聲，但經(jīng)過(guò)有限次添加高斯白噪聲后的求平均處理并不能完全消除噪聲，反而會(huì)在IMF分量中產(chǎn)生噪聲殘留，因此會(huì)導(dǎo)致EEMD算法完備性欠缺，使得信號(hào)的重構(gòu)誤差較大；每次處理中加入不同的白噪聲，則會(huì)產(chǎn)生不同的IMF分量，且分解余量也是不同的[5-6]。EEMD的缺點(diǎn)可以通過(guò)增加算法集成次數(shù)來(lái)進(jìn)行改善，但是這樣做使得計(jì)算量激增而帶來(lái)處理時(shí)間過(guò)長(zhǎng)等新的問(wèn)題。

針對(duì)EEMD算法存在以上不足，改進(jìn)的CEEMDAN算法主要有以下兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)[7]：(1) 與EEMD算法在每次分解中直接對(duì)源信號(hào)添加白噪聲信號(hào)不同，該方法是在求IMF分量的每個(gè)階段添加相對(duì)應(yīng)的具有自適應(yīng)性能的高斯白噪聲信號(hào)，其自適應(yīng)性表現(xiàn)在添加的高斯白噪聲是經(jīng)過(guò)EMD分解得到的；(2) 與EEMD算法中最后匯總求平均值得到IMF分量不同，該方法是對(duì)第一階段處理后得到的IMF求平均值，并以此獲得具有唯一性的余量，依次進(jìn)行重復(fù)處理直到信號(hào)分解完畢。

改進(jìn)EEMD算法的具體實(shí)現(xiàn)步驟如下：

(1) 假設(shè)源信號(hào)為X(t)，添加的高斯白噪聲信號(hào)為n(t)，其中第i次添加的噪聲記為ni(t)。定義Ek(·)是信號(hào)經(jīng)EMD分解得到的第k個(gè)IMF分量，首次對(duì)源信號(hào)添加噪聲后進(jìn)行EMD分解得到首個(gè)IMF分量為E1(X(t)+ε0n1(t))，然后實(shí)驗(yàn)進(jìn)行I次得到I個(gè)IMF分量，對(duì)第一階段獲得的IMF分量求平均值即可提取出總體第一個(gè)IMF分量：

(1)

式中：ε0為噪聲幅值系數(shù)。

(2)

(3) 將r1(t)視為新的源信號(hào)，對(duì)r1(t)同樣要加入高斯白噪聲信號(hào)n(t)，此時(shí)的噪聲信號(hào)是經(jīng)過(guò)EMD分解得到的具有自適應(yīng)性的白噪聲E1(ni(t))，為了得到總體的第二個(gè)IMF分量，需要對(duì)r1(t)+E1(ni(t))實(shí)驗(yàn)I次求平均值：

(3)

(4) 根據(jù)前兩步可以求取其他的IMF分量，即k=2,3,…,K時(shí)，第k個(gè)剩余信號(hào)與總體的第k+1個(gè)IMF分量計(jì)算如下：

(4)

(5) 按照步驟(4)依次提取IMF分量，直到最后一個(gè)剩余量不能再被分解為止，該分解終止條件符合EMD算法終止條件，則最后得到的唯一的殘余量信號(hào)為:

(5)

所以，源信號(hào)可以表示為:

(6)

由此可見(jiàn)，改進(jìn)EEMD算法將源信號(hào)分解成一系列IMF分量和唯一的余量之和，計(jì)算過(guò)程中，在求出第一階IMF分量時(shí)，用源信號(hào)減去這一IMF分量得到剩余量，之后以此類(lèi)推求取剩余量，這樣就保證了每次添加的噪聲信號(hào)不被帶到下一次分解中，使得整個(gè)分解過(guò)程中不會(huì)有噪聲的殘留，這也是該算法比EEMD算法完備性好、重構(gòu)誤差小的原因。在每一階IMF分量的求取過(guò)程中，添加的自適應(yīng)性白噪聲幅值可通過(guò)系數(shù)εk進(jìn)行調(diào)整，系數(shù)εk=β0std(rk(t)),k=1,2,…,K，其中：ε0=β0std(X(t))/std(E1(ni(t)))，β0一般取0.2；std表示計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差。

圖1給出了CEEMDAN算法的流程。

圖1 CEEMDAN算法流程

2 最優(yōu)平滑降噪算法基本理論

2.1 構(gòu)造濾波器

利用CEEMDAN算法可將含噪信號(hào)表示成IMF分量加余量的形式，選擇不同頻段的IMF分量可以構(gòu)造低通、高通和帶通濾波器。

構(gòu)造低通濾波器，表達(dá)式為:

(7)

構(gòu)造高通濾波器，表達(dá)式為:

(8)

構(gòu)造帶通濾波器，表達(dá)式為:

(9)

式中：j為濾波器上截止參數(shù);i為濾波器下截止參數(shù);k為IMF分量個(gè)數(shù)(不含余量)。

2.2 濾波器篩選指標(biāo)

首先需要對(duì)降噪前后信號(hào)建立算法評(píng)價(jià)指標(biāo)。將均方根誤差作為第一個(gè)指標(biāo)，以衡量降噪信號(hào)與原始信號(hào)之間的偏差大小，計(jì)算式表示為:

(10)

均方根誤差表征了降噪信號(hào)在原始信號(hào)曲線上下方向的波動(dòng)程度。均方根誤差越小，則表明降噪結(jié)果偏離原始信號(hào)程度越小。

考慮到降噪信號(hào)在原始信號(hào)曲線左右方向的延遲情況，定義相關(guān)誤差指標(biāo)作為算法的第二個(gè)指標(biāo)，計(jì)算式表示為:

(11)

式中：Cov為計(jì)算協(xié)方差；D為計(jì)算方差。

根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)理論，ρ*的值越接近于零，則表明降噪后信號(hào)與原始信號(hào)線性相關(guān)度越好，兩者波形越接近。

對(duì)于降噪后的信號(hào)，還需要其具有良好的平滑性，根據(jù)曲率與二階導(dǎo)數(shù)公式可以定義曲線f(x)上x(chóng)0點(diǎn)的平滑度指標(biāo)如下[8-9]：

SI=f(x0+2h)-f(x0-2h)-

2[f(x0+h)-f(x0-h)]

(12)

式中：h為采樣步長(zhǎng)，曲線在某點(diǎn)的平滑度值越接近零時(shí)表明曲線在該點(diǎn)的彎折越小，越平緩。曲線f(x)上所有點(diǎn)的平滑度SI就構(gòu)成了f(x)整體的平滑度，求每一個(gè)濾波器構(gòu)成的曲線的平滑度，所有濾波器的平滑度組合為整個(gè)降噪算法的平滑度，記為SMSE。

以上三個(gè)降噪評(píng)價(jià)指標(biāo)均是其值越接近于零時(shí)表明降噪效果越好，因此，建立最優(yōu)平滑降噪算法的目標(biāo)函數(shù)如下：

min{f}=min{αRMSE+βρ*+(1-α-β)SMSE}

(13)

式中：α為均方根誤差指標(biāo)權(quán)重系數(shù);β為相關(guān)誤差指標(biāo)權(quán)重系數(shù);1-α-β為平滑度指標(biāo)權(quán)重系數(shù)。

計(jì)算目標(biāo)函數(shù)時(shí)，為了使三個(gè)降噪評(píng)價(jià)指標(biāo)地位相當(dāng)，需要先對(duì)其進(jìn)行歸一化處理。在降噪過(guò)程中可以通過(guò)調(diào)節(jié)這三個(gè)參數(shù)篩選最優(yōu)算法。

3 實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

3.1 模擬信號(hào)仿真

根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)電機(jī)啟動(dòng)時(shí)聲音信號(hào)的特點(diǎn)，構(gòu)造調(diào)頻調(diào)幅信號(hào)x(t)如下：

x(t)=(1+0.5sin(5πt))sin(30πt2+10πt)

(14)

對(duì)調(diào)幅調(diào)頻信號(hào)x(t)加上信噪比為15 dB的高斯白噪聲信號(hào)與幅值為3.5、-2.5和2的脈沖信號(hào)(如圖2所示)，經(jīng)計(jì)算混合信號(hào)的信噪比為11.609 1 dB，對(duì)混合信號(hào)采用最優(yōu)平滑降噪算法進(jìn)行降噪處理?；旌闲盘?hào)經(jīng)CEEMDAN算法分解得到9個(gè)IMF分量與1個(gè)余量Rs，根據(jù)得到的固有模態(tài)函數(shù)構(gòu)造低通濾波器EIMF1-EIMF9，其中EIMF1表示除去第一個(gè)IMF外構(gòu)造的低通濾波器，其余降噪算法也如此表示。算法權(quán)重系數(shù)α、β和1-α-β的取值，目標(biāo)函數(shù)的最小值及對(duì)應(yīng)的最優(yōu)平滑降噪算法如表1所示。

圖2 波形圖及時(shí)頻譜圖

表1 權(quán)重系數(shù)、目標(biāo)函數(shù)f最小值及最優(yōu)平滑降噪算法

根據(jù)表1中的數(shù)據(jù)可知，當(dāng)算法權(quán)重系數(shù)α、β和1-α-β三個(gè)值在較大范圍內(nèi)變化時(shí)，構(gòu)造的低通濾波器算法EIMF1-EIMF9中，算法EIMF4是最優(yōu)的。其中α、β綜合表征降噪信號(hào)與原始信號(hào)的相似性程度，與平滑度表征值1-α-β是相互矛盾的關(guān)系，在實(shí)際應(yīng)用該最優(yōu)降噪算法時(shí)，考慮三個(gè)權(quán)重系數(shù)的意義，可以折中取值。根據(jù)分析，取三個(gè)權(quán)重系數(shù)分別為(0.3，0.3，0.4)，對(duì)應(yīng)的相關(guān)分析結(jié)果如圖3和表2所示。

圖3 算法均方根誤差、相關(guān)誤差、平滑度及目標(biāo)函數(shù)值分布曲線

表2 算法均方根誤差、相關(guān)誤差、平滑度和目標(biāo)函數(shù)數(shù)據(jù)

根據(jù)以上分析，EIMF4是最優(yōu)的平滑降噪算法，其次是算法EIMF5和EIMF3。對(duì)EIMF3-EIMF5算法及函數(shù)值為排名第四低的EIMF6算法降噪效果進(jìn)行對(duì)比，如圖4所示。

圖4 降噪效果對(duì)比圖

圖4中細(xì)的曲線是含噪原始信號(hào)的波形，粗的曲線是對(duì)應(yīng)降噪后的信號(hào)波形?？梢钥闯?，EIMF4算法降噪后的波形在相似度和平滑度方面均較其他降噪算法效果好；EIMF3算法雖然曲線的相似度很高，但是在處理脈沖信號(hào)時(shí)不理想；EIMF5算法平滑性很好，但是在信號(hào)高頻處相似度保持得不好，降噪過(guò)度了；EIMF6算法很明顯降噪過(guò)度，效果最差。

將最優(yōu)平滑降噪算法EIMF4處理前后信號(hào)的波形與時(shí)頻譜進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如圖5所示。

圖5 EIMF4算法降噪前后波形圖及時(shí)頻譜圖

三種降噪算法的性能指標(biāo)如表3所示。

表3 不同濾波器算法降噪效果指標(biāo)對(duì)比

可以看出，濾波器算法降噪效果指標(biāo)中，信噪比、相關(guān)系數(shù)越大越好，含噪信號(hào)與降噪誤差比、均方根誤差越小越好。因此，通過(guò)對(duì)三個(gè)降噪濾波器進(jìn)行定量分析，也可得出篩選出的濾波器EIMF4的降噪性能最優(yōu)。

3.2 實(shí)際信號(hào)處理

上述實(shí)驗(yàn)仿真案例驗(yàn)證了本文算法處理含噪模擬信號(hào)時(shí)，在篩選最優(yōu)濾波器方面具有一定的優(yōu)越性，并且能達(dá)到很好的降噪目的。下面對(duì)實(shí)際采集的轉(zhuǎn)動(dòng)電機(jī)聲信號(hào)進(jìn)行降噪處理，驗(yàn)證本文方法處理實(shí)際問(wèn)題的可行性。

實(shí)驗(yàn)中電動(dòng)機(jī)的額定轉(zhuǎn)速為1 400 r/min，運(yùn)行頻率為50 Hz，電動(dòng)機(jī)輻射聲采樣頻率為44.1 kHz，采樣時(shí)間為1 s。對(duì)實(shí)測(cè)信號(hào)經(jīng)CEEMDAN算法分解得到11個(gè)IMF分量與一個(gè)余量Rs，根據(jù)得到的固有模態(tài)函數(shù)構(gòu)造帶通濾波器EIMF1-EIMF11。按照前述方法調(diào)整權(quán)重系數(shù)得到最優(yōu)平滑降噪EIMF6算法，實(shí)測(cè)電機(jī)聲音信號(hào)降噪前后效果如圖6所示。

圖6 EIMF6算法降噪前后波形圖及時(shí)頻譜圖

可以看出，降噪后的信號(hào)波形圖及時(shí)頻譜圖均較原始信號(hào)有了明顯改善，降噪效果較好。經(jīng)計(jì)算，降噪后信號(hào)與原始信號(hào)相關(guān)度為0.967 7，均方根誤差為0.001 3，這說(shuō)明本文方法針對(duì)實(shí)際轉(zhuǎn)動(dòng)機(jī)械聲音信號(hào)降噪處理效果良好。

4 結(jié) 語(yǔ)

本文提出一種基于CEEMDAN算法的最優(yōu)平滑降噪算法，給出算法的具體實(shí)現(xiàn)過(guò)程，并通過(guò)模擬信號(hào)與實(shí)際信號(hào)對(duì)本文算法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明本文算法的有效性，解決了利用模態(tài)分解類(lèi)算法進(jìn)行自適應(yīng)濾波時(shí)濾波器缺乏篩選指標(biāo)的問(wèn)題，從而進(jìn)一步降低了該類(lèi)算法的降噪偏差。同時(shí)以轉(zhuǎn)動(dòng)機(jī)械聲音信號(hào)為研究對(duì)象，為轉(zhuǎn)動(dòng)機(jī)械聲學(xué)故障診斷提供幫助。