劉靜

[摘? 要] 橢圓中含有一些特殊的結(jié)論，合理使用可提高解題效率. 中點(diǎn)弦斜率定值結(jié)論和中心弦斜率定值結(jié)論是其中較為常用的兩大結(jié)論. 挖掘模型特征，探究驗(yàn)證結(jié)論，強(qiáng)化應(yīng)用是教學(xué)的重點(diǎn). 文章對(duì)兩大結(jié)論開(kāi)展過(guò)程探究，結(jié)合考題進(jìn)行應(yīng)用拓展，提出相應(yīng)的教學(xué)建議.

[關(guān)鍵詞] 橢圓;斜率;定值;結(jié)論;中心弦;中點(diǎn)弦

與直線斜率相關(guān)的圓錐曲線問(wèn)題在高考中十分常見(jiàn)，問(wèn)題類型也十分眾多，深入探索可以發(fā)現(xiàn)其中存在一些較為特殊的結(jié)論，如斜率之積為定值. 挖掘問(wèn)題模型，總結(jié)模型特征，總結(jié)定值結(jié)論有助于簡(jiǎn)化解題過(guò)程，提高解題效率. 下面具體探究橢圓中的兩個(gè)斜率之積為定值的結(jié)論.

中點(diǎn)弦斜率定值結(jié)論探究

中點(diǎn)弦斜率定值結(jié)論，顧名思義，與弦的中點(diǎn)密切相關(guān). 已知橢圓中一條不過(guò)原點(diǎn)，不與x軸垂直的弦，以及弦的中點(diǎn)，連接原點(diǎn)與中點(diǎn)，該直線的斜率與弦的斜率之積為定值.

1. 模型呈現(xiàn)

AB為橢圓 + =1（a>b>0）上不過(guò)原點(diǎn)O的弦，取AB的中點(diǎn)為點(diǎn)P，連接OP，設(shè)直線OP和AB的斜率均存在，且分別為k 和k . 在該模型中AB為橢圓的中點(diǎn)弦，這是模型的基本特征，而所涉兩條直線斜率均存在是后續(xù)探究的基礎(chǔ).

2. 結(jié)論探索

在該模型中主要探究斜率k 和k 之積是否為定值，可以采用設(shè)而不求、代點(diǎn)作差法來(lái)構(gòu)建兩直線的斜率之積，具體如下.

設(shè)點(diǎn)P（x ，y ），A（x ，y ），B（x ，y ），由于點(diǎn)A和B位于橢圓上，則滿足橢圓方程，代入可得 + =1①， + =1②，用①式減去②式，可得b2（x +x ）（x -x ）+a2（y +y ）（y -y ）=0，整理可得x +x =2x ，y -y =2y ，所以 · =- ，即k ·k =- .

形成結(jié)論：若AB是橢圓 + =1（a>b>0）上不過(guò)原點(diǎn)的弦，點(diǎn)P是AB的中點(diǎn)，AB和OP的斜率分別為k 和k ，則k ·k =- .

3. 應(yīng)用強(qiáng)化

例1：已知橢圓C的方程為 + =1，直線m與橢圓C的交點(diǎn)為A和B，已知AB的中點(diǎn)P坐標(biāo)為（1，1），則直線m的方程為_(kāi)_______.

解析：已知橢圓中的弦AB中點(diǎn)為P（1，1），求直線m的方程關(guān)鍵是求其斜率. 連接OP，分析可知滿足中點(diǎn)弦斜率定值結(jié)論成立的條件，求出OP的斜率，直接套用結(jié)論推導(dǎo)直線m的斜率.

由點(diǎn)P坐標(biāo)易得直線OP的斜率為k =1，根據(jù)中點(diǎn)弦斜率定值結(jié)論可知k ·k =- =- ，可解得k =- ，結(jié)合點(diǎn)P坐標(biāo)可推知直線m的方程為x+2y-3=0.

中心弦斜率定值結(jié)論探究

橢圓中心弦斜率定值結(jié)論的顯著特征為“中心弦”，即橢圓中的弦經(jīng)過(guò)坐標(biāo)的原點(diǎn)，同時(shí)原點(diǎn)對(duì)弦長(zhǎng)有均分作用. 取橢圓上任意一點(diǎn)與弦兩端點(diǎn)的連線構(gòu)建兩條直線，若兩直線的斜率均存在，則兩直線的斜率之積必為定值.

1. 模型呈現(xiàn)

如圖1所示，已知AB為橢圓 + =1（a>b>0）上過(guò)原點(diǎn)的弦，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)（異于點(diǎn)A和B），連接PA和PB，設(shè)直線PA和PB的斜率均存在. 在該模型中AB為經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的弦，稱之為“中心弦”，而點(diǎn)P是橢圓上異于點(diǎn)A和B的點(diǎn)，探究過(guò)程要把握“中心弦”這一特征.

2. 結(jié)論探索

對(duì)于上述模型中的斜率定值證明，同樣可從設(shè)點(diǎn)入手，結(jié)合斜率定義來(lái)證明，具體如下.

設(shè)點(diǎn)P（x ，y ），A（x ，y ），分析可知點(diǎn)A和B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則點(diǎn)B坐標(biāo)為（-x ，-y ），則直線PA的斜率可表示為k = ，直線PB的斜率可表示為k = ，所以k ·k = · = . 又知點(diǎn)P和A均在橢圓上，滿足橢圓方程，所以 + =1①; + =1②，兩式相減可得 =- ，所以k ·k =- .

拓展：對(duì)于該結(jié)論的證明還可以參照?qǐng)A中“直徑對(duì)直角”的特性來(lái)構(gòu)建，將圓的結(jié)論類比到橢圓中，如圖2所示，過(guò)圓x2+y2=r2上異于端點(diǎn)的任意一點(diǎn)與一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)的連線，顯然有k ·k =-1.

通過(guò)坐標(biāo)伸縮將橢圓圓化，令 =x′， =y′，則 + =1？圯（x′）2+（y′）2=1，而點(diǎn)P（x ，y ）？圯P′ ， ，點(diǎn)A（x ，y ）？圯A′ ， ，點(diǎn)B（-x ，-y ）？圯B′- ，- ，其中點(diǎn)P，A，B位于橢圓上，點(diǎn)P′，A′，B′位于新圓上. 然后將圓中k ·k =-1類比轉(zhuǎn)化，可得k ·k = =-1？圯k ·k = = - .

形成結(jié)論：若AB是橢圓 + =1（a>b>0）上過(guò)原點(diǎn)的弦，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，如果直線PA和PB的斜率均存在，則k ·k =- =e2-1.

3. 應(yīng)用強(qiáng)化

例2：如圖3所示，已知PQ為橢圓不過(guò)中心原點(diǎn)的弦，點(diǎn)A 和A 為長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，設(shè)A P和QA 的交點(diǎn)為M，PA 和A Q的交點(diǎn)為N，試分析MN與A A 的位置關(guān)系.

解析：已知點(diǎn)A 和A 為長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，可視為是橢圓的中心弦，已知點(diǎn)P和Q分別位于橢圓上，則滿足中心弦斜率定值成立的條件.

設(shè)點(diǎn)M（x ，y ），N（x ，y ），由對(duì)應(yīng)結(jié)論可得k ·k =- ，即kMA1·kNA2=- ，結(jié)合斜率公式可得 · =- ①;k ·k =- ，即kMA2·kNA1=- ，結(jié)合斜率公式可得 · =- ②. 聯(lián)合①②式可得（x +a）（x -a）=（x +a）（x -a），所以a（x -x ）=a（x -x ），則x =x ，可證直線MN垂直于x軸，即MN⊥A A .

斜率定值結(jié)論的多解拓展

上述結(jié)合模型深入探索了橢圓中中點(diǎn)弦和中心弦的相關(guān)斜率最值結(jié)論. 把握模型特征，論證斜率存在性是結(jié)論使用的關(guān)鍵. 具體解題時(shí)可分如下三步進(jìn)行突破：第一步，結(jié)合題意理解圖像，關(guān)注圖像中的中點(diǎn)弦或中心弦;第二步，結(jié)合結(jié)論所涉直線，論證直線斜率是否存在;第三步，引用對(duì)應(yīng)斜率結(jié)論進(jìn)行條件推導(dǎo)，求解答案. 實(shí)際上，變換橢圓模型的解析視角，中心弦或中點(diǎn)弦的結(jié)論可互通互用，可實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的多解. 下面以一道經(jīng)典考題為例進(jìn)行解法探究.

例3：平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)M和N均為橢圓 + =1的兩個(gè)頂點(diǎn)，直線PA經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，與橢圓相交于點(diǎn)P和A（點(diǎn)P位于第一象限），過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，設(shè)垂足為點(diǎn)C，連接AC并延長(zhǎng)，與橢圓的交點(diǎn)設(shè)為點(diǎn)B，設(shè)直線PA的斜率為k，對(duì)于任意的k>0，證明：PA⊥PB.

分析：求證PA⊥PB，可采用一般的點(diǎn)差法，也可直接引用橢圓斜率定值結(jié)論. 若將PA視為是橢圓的中心弦，則k ·k =- ;若取AB的中點(diǎn)N，可構(gòu)造中點(diǎn)弦AB，k ·k =- .

解：基于上述分析，可從中心弦和中點(diǎn)弦兩個(gè)幾何特征入手，故有如下兩種解法.

方法一：把握AP的中心弦特征

由題意可設(shè)點(diǎn)P（x ，y ），A（-x ，-y ），B（x ，y ），則C（x ，0），結(jié)合點(diǎn)坐標(biāo)可得k = ，k =k = = . 由中心弦斜率最值結(jié)論可得k ·k =- =- ，用 替換k ，則k ·k = ·k =- ，整理可得k ·k =-1，所以PA⊥PB，得證.

方法二：把握AB的中點(diǎn)弦特征

設(shè)A（x ，y ），B（x ，y ），取AB的中點(diǎn)為N（x ，y ），連接ON，可推得點(diǎn)P（-x ，-y ），點(diǎn)C（-x ，0），則k = ，k = . 由中點(diǎn)弦斜率最值結(jié)論可得k ·k =- = - ，故k · =- ，整理可得 =- . 又知A，C，B三點(diǎn)共線，則 = = =k ，所以k ·k = · =- ×2k =-1. 又知ON∥PB，所以PA⊥PB，得證.

評(píng)析：上述在求證直線垂直時(shí)充分挖掘了圖像的幾何特征，分別從橢圓的中心弦和中點(diǎn)弦兩個(gè)視角進(jìn)行解題突破，充分利用對(duì)應(yīng)特征的斜率最值結(jié)論進(jìn)行過(guò)程解析. 同一考題中橢圓的兩大斜率最值結(jié)論均得到了運(yùn)用，問(wèn)題的多解思路有著典例示范作用. 其中挖掘橢圓弦特征的方法技巧有一定的參考價(jià)值.

結(jié)論探索后的深度反思

1. 結(jié)論探究中把握模型特征

合理利用數(shù)學(xué)結(jié)論可有效提升解題效率，幾何結(jié)論探究的關(guān)鍵是引導(dǎo)學(xué)生理解結(jié)論，把握模型特征. 上述探究了橢圓弦的兩個(gè)斜率最值結(jié)論，其中“中點(diǎn)弦”和“中心弦”的位置關(guān)系和幾何特征是探究的重點(diǎn)，也是結(jié)論構(gòu)建的基礎(chǔ). 教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生挖掘結(jié)論的知識(shí)本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)結(jié)論的適用范圍、使用思路和拓展方向. 同時(shí)，注重開(kāi)展結(jié)論辨析，結(jié)合考題來(lái)強(qiáng)化應(yīng)用，使學(xué)生掌握結(jié)論的使用方法.

2. 結(jié)論探究中發(fā)展學(xué)生思維

結(jié)論探究教學(xué)要注重過(guò)程引導(dǎo)，以發(fā)展學(xué)生的思維為教學(xué)重點(diǎn)，因此教學(xué)中要關(guān)注學(xué)生的思維活動(dòng)，可采用活動(dòng)設(shè)計(jì)的方式，按照“問(wèn)題引入→探索發(fā)現(xiàn)→互動(dòng)交流→提出猜想→驗(yàn)證結(jié)論”的環(huán)節(jié)開(kāi)展結(jié)論探索. 探究教學(xué)中要關(guān)注以下幾點(diǎn)：其一，以問(wèn)題為引導(dǎo)，利用啟發(fā)性的思維引導(dǎo)學(xué)生思考;其二，關(guān)注學(xué)生思維，問(wèn)題提出要符合學(xué)生的認(rèn)知;其三，留足思考空間，探究教學(xué)要兼顧獨(dú)立思考與合作討論. 結(jié)論教學(xué)要讓學(xué)生經(jīng)歷探究過(guò)程，體驗(yàn)收獲知識(shí)的喜悅.