白茂軍

[摘? 要] 課堂教學的過程中，教師需要關注變式探究對課堂教學的促進作用，組織開放高效的變式探究活動，讓學生在嘗試、質疑、探究、表達、歸納和提煉的過程中，積累數(shù)學探究經(jīng)驗，拓寬數(shù)學思維，從而讓探究活動從有效走向高效，使學生真正意義上學會科學學習的方法. 文章以一道習題的變式為例，對情境導入、變式引領和變式推廣的教學設計進行展示和分析，詳細闡述高中數(shù)學變式探究的價值，以創(chuàng)設高效的數(shù)學課堂.

[關鍵詞] 變式探究;數(shù)學課堂教學;高效學習

教學活動過程是教師的“教”和學生的“學”相互融合的一個過程，教法和學法在教學過程中都具有十分重要的意義. 然而一些教師著重關注教法，忽視對學生的學法指導，這對于學生的思考與探究十分不利;也有一些教師花費心力指導學法，卻拋開教的過程，這樣的教學過程也是低效的. 筆者認為，教學需要以學生為中心，融合教與學的過程，通過合理的教法激起學生的學，使學生高效學習.

“變式探究”是教與學相互溝通的教學方式，就是通過典型問題，為學生的自主學習和合作探究的展開提供有效保證，更進一步的，通過對問題的變式精當指導學生有效學習，放手讓學生去嘗試、質疑、探究、表達、歸納和提煉，從而啟發(fā)學生拓寬思路，多角度和多層次獲取各種信息，在不斷深化的過程中，積累探究活動經(jīng)驗，讓探究活動從有效走向高效，培養(yǎng)學生的問題意識和創(chuàng)新思維，最終使學生學會科學學習的方法. 下面以一道習題為載體，闡述變式探究在高中數(shù)學教學中的應用，以期為高中數(shù)學教師提供幫助.

以情境導入，使學生的探究初露端倪

數(shù)學教學中，問題的作用主要表現(xiàn)在：一是對學習動力的促進作用，可以激起學生認知活動的強烈欲望，為學生的認識活動提供動力指引;二是對學生思維的激勵作用，問題是思維的起點，可以引起學生的注意力和興趣，可以為教學活動的成功推進提供良好的氛圍. 因此，教師需重視問題情境的導向作用，創(chuàng)設合理而有效的問題情境，激起學生的探究興趣，使學生積極參與學習和探究活動，使學生的探究初露端倪，從而為整節(jié)課的探究活動做好前奏曲.

片段1：

例題導入：已知橢圓 + =1的兩個焦點為F 和F ，試在該橢圓上找出一點P，使得該點與F ，F(xiàn) 的連線相互垂直.

例題背景：本題是一道教材習題，看似簡單卻內(nèi)涵豐富. 在近幾年的高考中，命題專家曾多次以此類問題為背景，將數(shù)形結合、分類討論、函數(shù)與方程、等價轉化等數(shù)學思想融合為一體，充分考查學生的解題能力和創(chuàng)新意識. 由于本題隱含深刻內(nèi)涵，教師通過追根溯源的方式進行了如下教學：

師：請大家試著作出該題的圖形，并深入觀察，從中是否可以得出什么結論？

生1：觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)，點P的軌跡是一個以原點為圓心，5為半徑的圓，且與該橢圓有4個交點.

師：非常棒！對于任意橢圓，是否滿足條件的點P都存在呢？（基于問題的指引，學生很快投入思考和探究的狀態(tài)中，在計算后得出結論）

生2：這樣的點P并非一定存在.

師：那么，若將點P視為題目的一個條件，則本題共有幾個條件？

生3：共3個條件：① + =1;②PF ⊥PF ;③P（3，4）.

……

設計說明：本節(jié)課中教師選用的題材并不新穎，但對于該課題的研究卻有著較高的立意，很好地體現(xiàn)了新課程標準的理念. 如何上出“新意”是探究性教學必須面對和解決的一個重要問題. 上例中，教師首先設計好的問題情境與探究活動，并一步步地進行指引，使得原本枯燥的問題變得靈動起來，在提出不突兀的“問題鏈”的同時，開始慢慢抓住學生的“心”. 學生逐步感受到教師的匠心獨運，愿意在這樣的氛圍中與教師逐步進入探究活動，走進知識的殿堂，從而師生交流和生生互動油然而生，同時為下文介紹的變式探究埋下了伏筆.

以變式引領，使學生的探究步入正軌

？搖好的探究活動不僅需做到“回歸數(shù)學本質”，還應達到“既有寬度，又有深度”. 教師是探究活動的組織者，因此，需要為學生的學習設計好的探究情境，營造一種適合探究的學習氛圍，并設置好的梯度問題，準確把握探究的深度，促進探究活動的層層展開，使學生的探究步入正軌，探究教學的過程深入數(shù)學教育過程的核心.

片段2：

師：若老師將上例中條件的位置改變，會出現(xiàn)什么結果？若滿足條件的點P存在，其離心率的范圍是什么呢？讓我們帶著這些問題進行如下探究：

探究1：已知橢圓 + =1的兩個焦點為F 和F ，且點P（3，4）在橢圓上，求∠F PF 的度數(shù).

探究2：已知橢圓 + =1（a>b>0）的兩個焦點為F 和F ，點P在橢圓上，PF ⊥PF ，求離心率e的范圍.

探究3：已知橢圓 + =1（a>b>0）的兩個焦點為F 和F ，問：在該橢圓上是否總能找到一點P，使得它與F ，F(xiàn) 的連線相互垂直？

設計說明：教師致力于將探究問題與例題建立實質性聯(lián)系，讓學生在思考、探究、討論和辨析中逐步探究解題方法，活躍其逆向思維. 學生經(jīng)歷了從正向思維向逆向思維自然過渡的過程，實現(xiàn)了思維的延伸，可見思維的生長也是由不斷探究而獲得的. 課堂探究進入此處，學生的探究情緒越發(fā)高漲，思維也越發(fā)活躍，教師及時把握機會，不失時機地引導：

探究4：已知橢圓 + =1的兩個焦點為F 和F ，且點P為橢圓上的一點，若△F PF 的面積是20，∠F PF =90°，試求出該橢圓的方程.

探究5：已知橢圓 + =1的兩個焦點為F 和F ，且點P為橢圓上的一點，∠F PF =90°，試求出△F PF 的面積.

探究6：已知橢圓 + =1的兩個焦點為F 和F ，且點P為橢圓上的一點，試求出當∠F PF =60°時△F PF 的面積.

設計說明：以一個典型問題為載體，以變式的形式，由問題導思，引來學生的探究活動. 整個過程中，變式間互相聯(lián)系卻又層層推進，貫穿了多個數(shù)學思想和方法，所有問題最終回歸了核心數(shù)學知識. 學生在探究的過程中，處于不斷思考和解決問題的活動之中，不斷體驗成功的喜悅，這樣的探究活動是學生喜愛的，是真實的，是高效的.

以變式推廣，使學生的探究走向深入

變式推廣是變式教學的一個重要環(huán)節(jié)，也是促進學生知識外化的過程. 在這個過程中，我們不僅需要進一步推廣以上問題，使學生在課后有更充裕的時空進行更深層次的探究，還要關注到學生的認知發(fā)展水平，關注到問題的難度，讓學生在知識的深化中領略數(shù)學的魅力，這樣的數(shù)學活動往往可以使學生的探究走向深入. 為此，教師又一次設計了如下變式問題，為學生課余時間的探究提供幫助：

變式1：試著說一說使得橢圓 + =1（a>b>0）上的一點P與該橢圓長軸兩個端點A ，A 的連線相互垂直的充要條件.

變式2：試著說一說使得橢圓 + =1（a>b>0）上的一點P與該橢圓的任意一條直徑的兩個端點A和B相互垂直的充要條件.

變式3：已知AB為橢圓 + =1（a>b>0）的一條焦點弦，試著說一說該橢圓上的一點P使得∠APB為直角的充要條件.

設計說明：變式推廣是學生掌握數(shù)學知識和運用好數(shù)學思想和方法的必要過程，是將知識技能轉化為能力的必要手段. 好的變式推廣不僅可以培養(yǎng)學生的解題能力，還可以強化思維訓練，從而完善其思維品質. 上述活動中，教師通過有效的變式讓學生的課后探究更加具有活力，更加深入，更加具有靈氣.

總之，變式探究活動在數(shù)學解題教學、數(shù)學概念教學等多種課型中都具有十分重要的意義. 我們應當深入了解變式探究的特征和策略，在平時的教學中，將變式探究活動與教學活動設計等自然地融合在一起，設計開放、愉悅和寬松的教學氛圍，讓學生帶著問題投入課堂學習，帶著更高層次的問題走出課堂，使數(shù)學課堂扎實、高效、有智慧，真正意義上提高數(shù)學學習的實效性，創(chuàng)設高效的數(shù)學課堂.