江海華

[摘? 要] 函數(shù)迭代是數(shù)學(xué)競賽解題中一個很常見的處理手段，文章在函數(shù)迭代的基礎(chǔ)上重新定義了一個迭代恒同函數(shù)，并給出了一些具體實(shí)例，最后研究了迭代恒同函數(shù)的一些簡單性質(zhì)及應(yīng)用.

[關(guān)鍵詞] 函數(shù)迭代;迭代恒同函數(shù);周期性

迭代恒同函數(shù)的定義

1. 設(shè)M（x）是定義在集合D上的連續(xù)函數(shù). 記M（x）=M1（x），M（M（x））=M2（x），M（M（M（x）））=M3（x）… =Mn（x），稱Mn（x）為函數(shù)M（x）的n次迭代函數(shù).

2. 若存在n∈N+，使得對任意的k∈N+（k≤n-1），函數(shù)M（x）滿足：

（1）Mk（x）≠x;

（2）Mn（x）=x，

則稱Mn（x）為n次迭代自恒同函數(shù).

3. 若存在n∈N+，使得對任意的k∈N+（k≤n-1），函數(shù)ω（x）滿足：

（3）ωk（x）≠M(fèi)（x）;

（4）ωn（x）=M（x），

則稱ωn（x）為函數(shù)M（x）的第n次迭代恒同函數(shù).

迭代恒同函數(shù)的實(shí)例與性質(zhì)

1. 容易驗(yàn)證M（x）= （a，b，c∈R且c≠0，a2+bc≠0）是2次迭代自恒同函數(shù). 特別的，函數(shù)M（x）=-x;M（x）= ;M（x）=- ;M（x）= ;M（x）= 均為2次迭代自恒同函數(shù).

2. 容易發(fā)現(xiàn)，若M（x）是2次迭代自恒同函數(shù)，則M（x）的圖像關(guān)于函數(shù)y=x自對稱. 此時便很容易構(gòu)造出一個2次迭代自恒同函數(shù).如：M（x）= （a≠0，x>0）是2次迭代自恒同函數(shù).

3. 容易驗(yàn)證ω（x）= 是M（x）=- 的二次迭代恒同函數(shù);ω（x）= 是M（x）=- 的二次迭代恒同函數(shù)，發(fā)現(xiàn)M（x）=- 的二次迭代恒同函數(shù)不唯一.

其實(shí)，有關(guān)迭代恒同函數(shù)的相關(guān)知識還有很多值得去探討，如：

1. 求函數(shù)M（x）= 的一個2次迭代恒同函數(shù).

2. 如何構(gòu)造一個三次迭代自恒同函數(shù)？有沒有具體實(shí)例？

3. 任意一個2次迭代自恒同函數(shù)是否均存在一個2次迭代恒同函數(shù)？

迭代恒同函數(shù)的應(yīng)用

1. 迭代恒同函數(shù)在函數(shù)周期性中的應(yīng)用

定理1：設(shè)λ為非零常數(shù)，若對函數(shù)f（x）定義域中的任意x，恒有f（x+λ）=M（f（x）），其中M（x）為二次迭代自恒同函數(shù)，則f（x）為周期函數(shù)，2λ是它的一個周期. 若λ是滿足條件的最小正數(shù)，則2λ是f（x）的一個最小正周期.

證明：由f（x+2λ）=f（（x+λ）+λ）=M（M（f（x）））=f（x），所以2λ是它的一個周期.

若λ是滿足條件f（x+λ）=M（f（x））的最小正數(shù)，設(shè)有0

（1）當(dāng)0

（2）當(dāng)λ

綜上，2λ是f（x）的一個最小正周期.

定理2：設(shè)λ為非零常數(shù)，若對函數(shù)f（x）定義域中的任意x，恒有f（x+λ）=ω（f（x）），其中M（x）為二次迭代自恒同函數(shù)，ω（x）是M（x）的二次迭代恒同函數(shù)，則f（x）為周期函數(shù)，4λ是它的一個周期.若λ是滿足條件的最小正數(shù)，則4λ是f（x）的最小正周期.

證明：因?yàn)閒（x+2λ）=ω（f（x+λ））=ω（ω（f（x）））=M（f（x）），所以，由定理1可知，f（x）為周期函數(shù)，4λ是它的最小正周期.

容易發(fā)現(xiàn)，命題者會根據(jù)上述兩個定理選取某個確定的迭代恒同函數(shù)進(jìn)行命題. 如：

例1：已知f（x）滿足f（x+1）= ，則f（x）的最小正周期是______.

解：因?yàn)镸（x）= 是2次迭代自恒同函數(shù)，且f（x+1）=M（f（x）），所以x ，x 的最小正周期是2.

2. 應(yīng)用迭代恒同函數(shù)的性質(zhì)命題（求一類抽象函數(shù)的解析式）

例2：（自編）函數(shù)f（x）由滿足下列關(guān)系式所確定：（x-1）f -f（x）=x，其中x≠1，求所有這樣的函數(shù).

解：以 代關(guān)系式中的x，得 ·f（x）-f = ，將上式與已知條件聯(lián)立，消去f ，解得f（x）=1+2x，易驗(yàn)證所求得的函數(shù)滿足要求.

例3：（自編）設(shè)函數(shù)對x≠0，±1的一切實(shí)數(shù)均有f（x）+2f =3x，求f（x）的解析式.

解：由f（x）+2f =3x（1），

以 代關(guān)系式中的x，得f +2f- =3· （2），

以- 代關(guān)系式中的x，得f- +2f =3·- （3），

以 代關(guān)系式中的x，得f +2f（x）=3· （4）.

將（1）-2·（2）+4·（3）-8·（4）得：

f（x）= + - - x.

如果能夠發(fā)現(xiàn) 是4次迭代自恒同函數(shù)，再去看本題就沒什么難點(diǎn)可言了.

設(shè)計目的：從上述例題發(fā)現(xiàn)，如果讀者能夠深入洞悉迭代恒同函數(shù)的構(gòu)造方法，就可以非常容易地編寫與之相關(guān)的試題. 反之，如果能夠迅速識別這是幾次迭代恒同函數(shù)，也能很快知道解題思路.

通過上述對迭代恒同函數(shù)的一些簡單應(yīng)用發(fā)現(xiàn)：一方面它在題干中通過和其他函數(shù)的復(fù)合是具有隱蔽性的，另一方面需對一些滿足這種迭代性質(zhì)的函數(shù)模型做進(jìn)一步研究與總結(jié).只有這樣，無論是命題還是解題，都能立足高點(diǎn)，有的放矢.