李維堅(jiān)

[摘? 要] 在平時(shí)的教學(xué)中，應(yīng)注重通性通法的積淀，它是一把利刃，可以應(yīng)對(duì)各種變化，萬(wàn)變不離其宗.通性通法雖慢，卻處處彰顯著數(shù)學(xué)思維的光芒.學(xué)生在使用通性通法的過(guò)程中，思維可以不斷得到螺旋式上升.

[關(guān)鍵詞] 通性通法;技巧;解題規(guī)劃

2020年，山東等省份開始啟用全國(guó)新高考卷，在試題的結(jié)構(gòu)形式上發(fā)生了變化，比如出現(xiàn)了多選題.但縱覽整份試卷，細(xì)細(xì)探究，我們依然可以感受到通性通法在解題中所發(fā)揮的巨大作用.以第21題為例，可以看到平時(shí)的解題教學(xué)中，不斷滲透通性通法對(duì)學(xué)生有著“隨風(fēng)潛入夜，潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲”的質(zhì)的作用.

題目如下：已知函數(shù)f（x）=aex-1-lnx+lna. （1）當(dāng)a=e時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積;（2）若f（x）≥1，求a的取值范圍.

第（2）問(wèn)是一個(gè)恒成立求參數(shù)取值范圍問(wèn)題.處理這類問(wèn)題的基本策略是構(gòu)造函數(shù)，直接研究最值或參變分離，或半分參數(shù)形結(jié)合. 經(jīng)過(guò)判斷后，我們發(fā)現(xiàn)本題難以參變分離，則不妨考慮直接研究原函數(shù)，求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)探求其單調(diào)性.基本流程如下所示.

法一：f′（x）=aex-1- （x>0，a>0），令g（x）=aex-1- ，易得g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增.

g +1=ae - ，先證A（x）=ex-x>0，而 +1>1，則0< <1，因而g +1>a· -1=0. 又g =ae -（a+1），而- <0，則e <1，所以g =ae -（a+1）0，即f′（x）>0，f（x）單調(diào)遞增. 要使得f（x）≥1，則f（x）的最小值f（x ）≥1即可. 而導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)x 雖不可求，但可設(shè)而不求，利用ae = 整體代入. 觀察原函數(shù)f（x），既含有指數(shù)式，又含有對(duì)數(shù)式，指對(duì)不分家，不妨化指數(shù)式ae = 為對(duì)數(shù)式為：lna+x -1=-lnx ，則整體代入并降元得f（x ）=ae -lnx +lna= -lnx +1-lnx -x = -2lnx -x +1，構(gòu)造h（x）= -2lnx-x+1，h′（x）=- - -1<0，則h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，因?yàn)閔（1）=1，則0

注1：本題最后出現(xiàn)的函數(shù)h（x）= -2lnx-x+1，其命題背景其實(shí)是對(duì)數(shù)平均不等式：對(duì)任意的正數(shù)a，b，有 < < ，若不妨令a>b>0， =t>1，則得 < ？圳lnt< - .再令 =x（x>1），則得lnx< ·x- ;若b>a>0，即0 x- .

注2：本題中導(dǎo)函數(shù)g（x）的零點(diǎn)x 的取得，除了直接賦值取點(diǎn)以外，也可以采取“先放再取”的策略，將含超越的放縮為非超越的. 由常用不等式ex-1≥x得，g（x）=aex-1- ≥ax- ，令ax- =0得x= ，則g ≥0;再當(dāng)0

在平時(shí)的教學(xué)中，應(yīng)注重通法通性的積淀，它是一把利刃，可以應(yīng)對(duì)各種變化，萬(wàn)變不離其宗. 一般高考題在命制的過(guò)程中會(huì)破“套路化”，回避“秒殺”，突出核心數(shù)學(xué)思想，淡化各種解題技巧或者各種二級(jí)結(jié)論. 在本題的處理過(guò)程中，我們發(fā)現(xiàn)取點(diǎn)賦值是一個(gè)難點(diǎn)，而這和a的取值范圍密切相關(guān).這提醒我們?cè)诮鉀Q恒成立求參數(shù)取值范圍問(wèn)題時(shí)，我們可以利用特值先找到使不等式成立的必要條件，縮小a的取值范圍.

由此可以得到改進(jìn)版的法二，具體如下：不妨先探求必要條件，縮小a的取值范圍. 考慮原函數(shù)的超越形式，令f（1）≥1得a+lna≥1，構(gòu)造函數(shù)A（a）=a+lna，易得A（a）在（0，+∞）上單調(diào)增，而A（1）=1，則a+lna≥1解得a≥1.由此時(shí)的a的取值范圍，給我們接下來(lái)“取點(diǎn)賦值”降低了難度. g（1）=a-1≥0，g =ae -a=a·e -1≤0，x 呼之欲出. 此處以特值為核心，優(yōu)化了通性通法，大大提高了解題效率.

在官方給出的標(biāo)準(zhǔn)答案中，我們可以看到本題在必要條件a≥1得出后，其直接證明了充分性，即法三：當(dāng)a≥1時(shí)，f（x）=aex-1-lnx+lna≥ex-1-lnx≥x-（x-1）=1，充分性得證. 官方的命題背景也躍然紙上. 主要還是利用重要不等式ex≥x+1，其背景為高等數(shù)學(xué)中的泰勒展開式：ex=1+ x+ x2+ x3+o（x3）.

進(jìn)一步進(jìn)行解后反思，在參變分離時(shí)，我們遇到了阻礙，那么此時(shí)可行的措施和解題規(guī)劃又是什么呢？一般，當(dāng)指對(duì)（指數(shù)式和對(duì)數(shù)式）一起出現(xiàn)，參數(shù)難以分離時(shí)，我們考慮構(gòu)造同構(gòu)式，可同構(gòu)為和指數(shù)函數(shù)相關(guān)的函數(shù)，也可同構(gòu)為和對(duì)數(shù)函數(shù)相關(guān)的函數(shù).由此我們得到法四：分析結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造同構(gòu)式：aex-1-lnx+lna≥1，觀察到e的指數(shù)為x-1，在不等式兩邊同時(shí)加上x-1得aex-1+lna+x-1≥x+lnx，同構(gòu)為左邊得：elna+x-1+lna+x-1≥x+lnx，即elna+x-1+lna+x-1≥elnx+lnx（*）. 構(gòu)造函數(shù)g（t）=et+t，由g（t）=et+t在（-∞，+∞）上單調(diào)增，（*）即為g（lna+x-1）≥g（lnx），利用單調(diào)性得lna+x-1≥lnx，即lna≥lnx-x+1恒成立，則lna≥（lnx-x+1） . 令h（x）=lnx-x+1，則h′（x）= -1，易得h（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，則h（x）≤h（1）=0，則lna≥0，得a≥1. 類似的，如果同構(gòu)為右邊為：aex-1+lnaex-1≥x+lnx，考慮構(gòu)造函數(shù)m（t）=t+lnt，則m（aex-1）≥m（x），由m（t）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，可得aex-1≥x，分離參數(shù)a得a≥ 恒成立，則a≥ max.令n（x）= ，易得n（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，則a≥n（1）=1. 此時(shí)，“同構(gòu)”似乎成了一把利器，實(shí)現(xiàn)了所謂的“秒殺”.

通性通法如同內(nèi)力的修煉，而“特法”“技巧”只是一些招式，若是過(guò)度地練習(xí)招式，不沉淀內(nèi)功修為，則會(huì)陷入“走火入魔”的可怕狀態(tài). 在平時(shí)的解題教學(xué)中，通性通法雖慢，卻處處彰顯著數(shù)學(xué)思維的光芒. 學(xué)生在使用通性通法的過(guò)程中，思維可以不斷得到螺旋式上升. 章建躍教授曾指出：注重通性通法才是好的數(shù)學(xué)教學(xué). 因而我們?cè)诮忸}教學(xué)中應(yīng)更注重轉(zhuǎn)化化歸的過(guò)程，注重知識(shí)方法的正向遷移，重視策略性知識(shí)，關(guān)注問(wèn)題中的受阻之處、特殊之處、轉(zhuǎn)化之處，站在通性通法的角度，高屋建瓴，綱舉目張地看待問(wèn)題，挖掘題中的規(guī)律，提煉出反映數(shù)學(xué)本質(zhì)的東西，進(jìn)行合理的解題規(guī)劃.