萬祺

[摘? 要] 解析幾何問題一般綜合性較強(qiáng)，能夠充分考查學(xué)生的邏輯思維和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).文章擬從一個(gè)問題出發(fā)，從不同的角度探尋解析幾何問題的常用解決方案，力求有所突破.

[關(guān)鍵詞] 一題多解;方程思想;恒等變形;數(shù)形結(jié)合

本文的例題是高三復(fù)習(xí)時(shí)遇到的一個(gè)模擬考題，筆者嘗試從不同角度出發(fā)，探尋解題思路，尋找不同解題策略，體會(huì)傳統(tǒng)解析幾何問題的解法及其之間的聯(lián)系，希望對(duì)讀者有所幫助.

試題呈現(xiàn)

例題：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)橢圓E： + =1，過橢圓內(nèi)一點(diǎn)P（1，1）的兩條直線分別與橢圓交于A，C和B，D四點(diǎn)，且滿足 =λ ， =λ ，其中λ為常數(shù)且λ>0，當(dāng)λ變化時(shí)，直線AB的斜率是否為定值？若是，請(qǐng)求出此定值;若不是，請(qǐng)說明理由.

分析與解答

角度1：傳統(tǒng)解法——設(shè)點(diǎn)設(shè)線

解法1：設(shè)A（x ，y ），B（x ，y ），C（x ，y ），D（x ，y ），直線AC：y=kx+m，聯(lián)立橢圓方程y=kx+m，3x2+4y2-12=0得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0，故x +x =- ，其中k= ，k+m=1，即m= ，所以x +x? = - =- .①

又1-x =λ（x -1），即x = .②

結(jié)合①②消去x 得x + = - =- ，整理得[1+λ+（λ-1）x ]·（6x +8y -19）=8λ（x y -y -x +y ），以λ為主元整理（1-x ）（6x +8y -19）=λ（-6x -8y +5x +19）=λ（5x -5）. 由x ≠1得λ= ，同理λ= ，消去λ得6x +8y =6x +8y ，故k = =- .

評(píng)注：本題直線AC的方程可以直接用點(diǎn)A和點(diǎn)P的坐標(biāo)表示，聯(lián)立后通過坐標(biāo)之間的關(guān)系進(jìn)行消元，分別找到點(diǎn)A，B的坐標(biāo)與參數(shù)λ的關(guān)系，進(jìn)一步消去λ后，即可整理出斜率的表達(dá)式.

角度2：坐標(biāo)化——恒等變形

解法2：A（x ，y ），B（x ，y ），C（x ，y ），D（x ，y ），由 =λ ， =λ ，得1-x =λ（x -1），即x +λx =1+λ①，1-y =λ（y -1），即y +λy =1+λ②，1-x =λ（x -1），即x +λx =1+λ③，1-y =λ（y -1），即y +λy =1+λ④.

由 + =1， + =1得 · = - ⑤，同理 · =- ⑥，而k = ，故只需求 . 一方面：①-③得x -x =-λ（x -x ），②-④得y -y =-λ（y -y ），故 = ，結(jié)合⑤⑥可知 = ，由合分比定理? = .

另一方面：①+③得x +x +λ（x +x ）=2（1+λ），②+④得y +y +λ（y +y ）=2（1+λ），故 =1，所以 =1，故k = =- .

評(píng)注：根據(jù)已知條件寫出坐標(biāo)之間的關(guān)系及所求的目標(biāo)表達(dá)式，通過代數(shù)恒等變形將其化簡(jiǎn)求值，這種方法對(duì)方程思想、恒等變形能力等要求較高.

角度3：點(diǎn)差法

解法3：設(shè)A（x ，y ），B（x ，y ），C（x ，y ），D（x ，y ），取AB中點(diǎn)M與CD中點(diǎn)N，由 + =1， + =1得 · =- ，即k ·k =- ，同理k ·k =- . 由 = =λ，可知△PAB與△PCD相似，故AB∥CD，即k =k ，所以k =k ，即點(diǎn)M，O，N共線. 又因?yàn)镸是AB中點(diǎn)，N是CD中點(diǎn)，所以點(diǎn)M，N，P共線，因此M，O，N，P四點(diǎn)共線，即k =k =1，故k =- .

評(píng)注：涉及中點(diǎn)弦相關(guān)的問題，經(jīng)?？刹捎命c(diǎn)差法進(jìn)行處理，找到斜率之間的關(guān)系.上述解法充分利用三角形相似等幾何位置關(guān)系，降低了計(jì)算難度，優(yōu)化了解法.

角度4：幾何法——極點(diǎn)極線

解法4：由 = =λ，可知△PAB與△PCD相似，故AB∥CD，又點(diǎn)P（1，1）的極線方程為l： + =1，設(shè)CP交l于F，所以C，P，A，F(xiàn)成調(diào)和點(diǎn)列，即 = ;設(shè)DP交l于E，所以D，P，B，E成調(diào)和點(diǎn)列，即 = . 由 = ，得 = ，即 = ，所以 = ，結(jié)合AB∥CD可知EF∥AB∥CD，故k =k =k =- .

評(píng)注：極點(diǎn)極線是高等幾何中的基本概念，如若掌握其基本概念和常用性質(zhì)，對(duì)解決平面解析幾何問題會(huì)有較大幫助.上述解法分別根據(jù)極線的代數(shù)定義和幾何定義，通過數(shù)形結(jié)合找到直線EF與直線AB平行的關(guān)系，從而快速得出答案.

角度5：曲線系

解法5：由 = =λ，可知△PAB與△PCD相似，故AB∥CD，k =k ，以點(diǎn)P為原點(diǎn)建立新坐標(biāo)系，則E′： + =1，設(shè)二次曲線AC×BD：（x-t y）·（x-t y）=0，AB×CD：（y-kx-m）·（y-kx-n）=0，故存在λ使得 + -1+λ·（x-t y）·（x-t y）=（y-kx-m）·（y-kx-n），比較等式兩邊一次項(xiàng)系數(shù)，x： =k·（m+n），y： =（m+n），消去m+n得k=- .

評(píng)注：曲線系也是解決解析幾何問題的常用手段，找準(zhǔn)曲線系的設(shè)法，往往能夠事半功倍.本題以點(diǎn)P為原點(diǎn)建系，簡(jiǎn)化了直線AC與BD的設(shè)法，使之相乘后沒有一次項(xiàng)，因此只需比較等式兩邊的一次項(xiàng)系數(shù)，就能得到答案.

角度6：仿射變換

解法6：E： + =1，令 =x′， =y′，則E′：x′2+y′2=1，因?yàn)閗 = = = ·k ，同理k =k · ，所以k ·k = ·k ·k .又A′B′//C′D'，A′B′中點(diǎn)為M′，C′D′中點(diǎn)為N′，由垂徑定理O′M′⊥A′B′，又N′，O′，P′，M′共線，故O′P′⊥A′B′，即k ·k =-1，故k ·k =- . 又k =1，所以k =- =- .

評(píng)注：仿射變換通常能夠把橢圓相關(guān)的問題轉(zhuǎn)化為圓，而圓具有較好的幾何性質(zhì)，因此通過轉(zhuǎn)化、化歸可以解決此問題.在計(jì)算過程中要充分利用坐標(biāo)變換，推導(dǎo)相關(guān)性質(zhì).

角度7：傳統(tǒng)解法的優(yōu)化

解法7：設(shè)A（x ，y ），B（x ，y ），由已知 =λ ， =λ ，由線段定比分點(diǎn)公式知C ， ，D ， ，又點(diǎn)C在橢圓上得 + =1，故7·（1 + λ）2+3x +4y -6（1+λ）x -8（1+λ）y =12λ2，整理得-5λ2+14λ+19=（1+λ）（6x +8y ）.

由λ≠-1，得19-5λ=6x +8y ，同理點(diǎn)D在橢圓上可知19-5λ=6x +8y ，故6x +8y =6x +8y ，即 =- ，所以k = - .

評(píng)注：用點(diǎn)A，B的坐標(biāo)表示C，D的坐標(biāo)，再將其代入橢圓方程，化簡(jiǎn)求值，大大簡(jiǎn)化了求解過程.

啟發(fā)與思考

解決數(shù)學(xué)問題往往需要對(duì)問題的條件進(jìn)行多角度轉(zhuǎn)化、探究，這樣才能一步一步地接近問題的本質(zhì)規(guī)律，進(jìn)而在分析過程中發(fā)現(xiàn)更優(yōu)的解法.本文通過幾種不同的角度和方向，對(duì)一般的解析幾何問題常用解法進(jìn)行逐一試探，使問題最終都得以解決.高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)應(yīng)做到多嘗試，多思考，多總結(jié);作為教師，復(fù)習(xí)課上選擇的例題更應(yīng)具有典型性，能夠輻射多種數(shù)學(xué)思想方法，因而本題作為高三練習(xí)題，具有較好的復(fù)習(xí)效果和訓(xùn)練價(jià)值.

下面給出一個(gè)類似題目，讀者可自行嘗試求解.

已知拋物線E：y=ax2（a>0）內(nèi)有一點(diǎn)P（1，3），過點(diǎn)P的兩條直線l ，l 分別與拋物線E交于A，C和B，D四點(diǎn)，且滿足 =λ ， =λ （λ>0，λ≠1），已知線段AB的中點(diǎn)為M，直線AB的斜率為k.

（1）求證：點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為定值;

（2）如果k=2，點(diǎn)M的縱坐標(biāo)小于3，求△PAB的面積的最大值.

答案：（1）點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為1;

（2）△PAB的面積的最大值為? .