馮亮

[摘? 要] 高考題一般源于這幾個(gè)方面：依托于教材作業(yè)、翻新于歷年真題等. 高考命題強(qiáng)調(diào)“能力立意”，以問(wèn)題為載體，以知識(shí)為基礎(chǔ)，以思維為主線，以能力為目標(biāo)，不斷研究高考題，把握高考試題發(fā)展方向，使課堂教學(xué)有的放矢.

[關(guān)鍵詞] 高考;命題;追根探源;母題

縱橫比較近幾年數(shù)學(xué)高考題，發(fā)現(xiàn)試題呈現(xiàn)如下特點(diǎn)：以穩(wěn)定為主線，穩(wěn)中漸變，重視“三基”，聯(lián)系實(shí)際，兼顧創(chuàng)新，因此試卷內(nèi)容年年歲歲神相似，歲歲年年形不同. 那么每年凝聚了眾多命題專家心血和智慧的好題是如何“創(chuàng)造”出來(lái)的呢？顯然“巧婦難為無(wú)米之炊”，高考題的成形本身也應(yīng)該有它的“源頭活水”，經(jīng)分析歸納后，一般的高考題來(lái)源于如下幾方面.

依托于教材作業(yè)

許多高考題，甚至“壓軸題”索其本源，竟可以在教材課本中直接發(fā)現(xiàn)它的倩影.

考題再現(xiàn)：（2010年重慶理科第21題）在數(shù)列{a }中，a =1，a =ca +cn+1（2n+1），n∈N*，其中c≠0，

（1）求{a }的通項(xiàng)公式;

（2）若對(duì)一切k∈N*，有a >a ，求實(shí)數(shù)c的取值范圍.

解析：（1）由題意得： = +（2n+1），所以 - =2n-1， - =2n-3，…， - =2+1. 以上n-1個(gè)式子累加得： - =（2n-1）+（2n-3）+…+3=n2-1，故a =（n2-1）cn+cn-1. （本題也可用迭代法解決）

（2）略.

此題題根見(jiàn)于教材必修五第33頁(yè)習(xí)題A組第4題.

原題表述如下：寫出下面數(shù)列{a }的前五項(xiàng).

（1）a = ，a =4a +1（n>1）;

（2）a =- ，a =1- （n>1）.

將（1）中常數(shù)“1”改為cn+1（2n+1），系數(shù)4改成c即推陳出新為一道優(yōu)秀的考題，充分體現(xiàn)高考題源于教材，略高于教材的原則.

復(fù)習(xí)啟示：既然高考題依托于教材改編而得，那么要求教師在平時(shí)的教學(xué)過(guò)程中注重課本例題的選用，特別對(duì)其內(nèi)涵進(jìn)行深層次的挖掘，采用多變式集訓(xùn)的辦法，努力達(dá)到能對(duì)這類典題知一求三，觸類旁通的境界.

翻新自歷年真題

有些題似曾相識(shí)，曾經(jīng)出現(xiàn)在往屆高考題或模擬卷中，由出題專家妙手剪裁、提煉、匯聚，又鮮活出現(xiàn)于考生面前.

考題再現(xiàn)：（2010年浙江理科第21題）已知m>1，直線x-my- =0，橢圓C： +y2=1，F(xiàn) ，F(xiàn) 分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn).

（1）當(dāng)直線l過(guò)右焦點(diǎn)F 時(shí)，求直線l的方程;

（2）設(shè)直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，△AF F ，△BF F 的重心分別為G，H，若原點(diǎn)O在以線段GH為直徑的圓內(nèi)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

解析：（1）略. （2）“點(diǎn)O在以線段GH為直徑的圓內(nèi)” · <0， 故設(shè)A（x ，y ），B（x ，y ），則G ， ，H ， ，由x=my+ ， +y2=1，聯(lián)立，消去x得：2y2+my+ -1=0. 由Δ=m2-8 -1=-m2+8>0，得m2<8. （1）

由 · <0得x x +y y =my + ·my + +y y =（m2+1）（ - ）<0，故有 - <0，即m2<4. （2）

由（1）（2）得：m2<4，又m>1，故m∈（1，2）.

這是一道集知識(shí)、能力、方法等考點(diǎn)全面的試題，它的出現(xiàn)并非空穴來(lái)風(fēng)，此題與2006年湖北理科20題有割不斷的淵源，此題為：設(shè)A，B分別為橢圓 + =1（a>b>0）的左、右頂點(diǎn)，橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)等于焦距，且x=4為它的右準(zhǔn)線.

（1）求橢圓的方程;

（2）設(shè)P為右準(zhǔn)線上不同于點(diǎn)（4，0）的任意一點(diǎn)，若直線AP，BP分別與橢圓相交于異于A，B的點(diǎn)M，N，證明：點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi).

問(wèn)題（2）的解決只證明 · <0即可，余下的請(qǐng)讀者自行解決.

復(fù)習(xí)啟示：高考題一般都是優(yōu)中擇優(yōu)的精品題，某些典題的知識(shí)結(jié)構(gòu)、思想方法、解題技巧并不會(huì)因?yàn)槟甏倪h(yuǎn)去而黯然失色，相反其中精華部分會(huì)被專家們繼續(xù)借鑒、消化，從而推陳出新.這就給老師們重要啟發(fā)：能否把若干年來(lái)的各省市高考題分門別類，重新整合，作為學(xué)生復(fù)習(xí)的必選題進(jìn)行練習(xí)，總結(jié)解題規(guī)律，提煉思想方法. 也許，若干年以后大同小異的姊妹題又不期而至.

接軌于高等數(shù)學(xué)知識(shí)

從命題專家組的成員組成上看，高校教師是重要組成部分. 試題命題受出卷者自身學(xué)術(shù)背景影響不可避免;再?gòu)母咧袛?shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)知識(shí)銜接上看，在試題中適當(dāng)滲透高等數(shù)學(xué)知識(shí)也是順理成章的事情，故高考題中常常有伴隨高等數(shù)學(xué)知識(shí)背景的所謂“高知題”.

考題再現(xiàn)：（2009年浙江理科第10題）對(duì)于正實(shí)數(shù)α，記M 為滿足下述條件的函數(shù)f（x）構(gòu)成的集合，？坌x ，x ∈R，且x >x ，有-α（x -x ）

A. 若f（x）∈M ，g（x）∈M ，則f（x）·g（x）∈M

B. 若f（x）∈M ，g（x）∈M ，且g（x）≠0，則 ∈M

C. 若f（x）∈M ，g（x）∈M ，則f（x）+g（x）∈M

D. 若f（x）∈M ，g（x）∈M 且α >α ，則f（x）-g（x）∈M

題源探究：若函數(shù)f（x）在區(qū)間I上，存在常數(shù)L>0，使得不等式f（x ）-f（x ） ≤L（x -x ），對(duì)于所有x ，x ∈I都成立，則稱f（x）在區(qū)間I上滿足李普希茨（Lipschitz下同）條件，其中L稱為李普希茨常數(shù).

解析：由-α（x -x ）x ，所以-α< <α. 令 =k，則有-α

該試題既有高等數(shù)學(xué)的深刻背景，又有數(shù)學(xué)分析的方法要求，以抽象函數(shù)為載體，涉及的數(shù)學(xué)思想方法有分析法、特值法、反證法，需要考生具備很強(qiáng)的分析能力，故被眾多出題專家追捧.2006年的北京卷和廣東卷也曾出現(xiàn)過(guò)以李普希茨條件為背景的試題.

復(fù)習(xí)啟示：高等數(shù)學(xué)某些內(nèi)容與中學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)系緊密，這些試題既能考查學(xué)生能力，又利于中等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)知識(shí)的銜接.它既符合課程標(biāo)準(zhǔn)，又能突出數(shù)學(xué)思想本質(zhì)，是高考命題的風(fēng)向標(biāo).筆者認(rèn)為在高考復(fù)習(xí)中可把高等代數(shù)中的“群、環(huán)、域、矩陣”，數(shù)學(xué)分析中的洛比達(dá)法則、切比雪夫不等式等知識(shí)點(diǎn)以適當(dāng)形式稀釋在平時(shí)的復(fù)習(xí)中.

借鑒于競(jìng)賽數(shù)學(xué)

如今高考命題呈現(xiàn)三大趨勢(shì)，容易題會(huì)考化，中檔題平民化，壓軸題競(jìng)賽化.既然如此，高考試題包含競(jìng)賽題思想方法和技巧就不足為奇了.

考題再現(xiàn)：（2008年遼寧文科第12題）在正方體ABCD-A B C D 中，E，F(xiàn)分別為棱AA ，CC 的中點(diǎn)，則在空間中與三條直線A D ，EF，CD都相交的直線有（? ）

A. 0條? B. 1條

C. 多于1的有限條? D. 無(wú)數(shù)條

解析：過(guò)A D 的平面中只要與EF和CD都相交時(shí)，兩交點(diǎn)連線即與A D 相交，這樣的直線有無(wú)數(shù)條，故選D.

無(wú)獨(dú)有偶，如果熟悉1997年全國(guó)數(shù)學(xué)聯(lián)賽，曾經(jīng)出現(xiàn)過(guò)這樣一道試題：如果空間三條直線a，b，c兩兩成異面直線，那么與a，b，c都相交的直線有（? ）

A. 0條? B. 1條

C. 多于1的有限條? D. 無(wú)數(shù)條

兩者題干，選擇解題用的思想方法和技巧有驚人的相似之處.

復(fù)習(xí)啟示：近幾年事實(shí)證明好多競(jìng)賽題被“移植”于高考試題里，一般的解題竅門和手法也能照搬到高考題的解法中. 因此，讓一些學(xué)有余力的學(xué)生在高一、高二時(shí)適當(dāng)參加省市各類各級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽大有益處，也只有這樣，才能使更多的考生在“六月的洗禮”中做到處變不驚，游刃有余.

脫胎于國(guó)外歷史名題

有一類高考題，本源出自國(guó)外歷史名題，可以說(shuō)系出名門，兩者題目和解題所用思想方法“血緣”關(guān)系相近，某些百年名題經(jīng)專家妙手增刪，又閃亮登場(chǎng).

考題再現(xiàn)：（2008年山東理科第22題）如圖3，拋物線x2=2py（p>0），M為直線l：y=-2p上任意一點(diǎn)，過(guò)M引拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B兩點(diǎn)，求證：A，M，B三點(diǎn)橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.

解析：由題意設(shè)M（x ，-2p），Ax ， ，Bx ， ，且x

同理可得：4p2=x -2x x . （2）

由（1）（2）可得2x =x +x ，所以A，M，B三點(diǎn)橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.

題源探究：如圖3，過(guò)點(diǎn)M引拋物線x2=2py（p >0）的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，那么由A，B，M三點(diǎn)構(gòu)成的三角形稱為阿基米德三角形. 這是一道歷史悠久的經(jīng)典名題. 該三角形有眾多有趣性質(zhì)，其中一條就是△ABM的AB邊上中線平行拋物線的對(duì)稱軸（證明同上），當(dāng)年的山東高考?jí)狠S題與之相比簡(jiǎn)直就是如出一轍. 多年來(lái)，以阿基米德三角形為背景的高考題不時(shí)出現(xiàn)在各省市中，2011年安徽理科第21題又以阿基米德三角形為母題，經(jīng)過(guò)命題專家喬裝改扮，又活躍在考生面前.

復(fù)習(xí)啟示：也許有老師感慨高考復(fù)習(xí)題尤其是第二輪復(fù)習(xí)典題難找，不妨去尋覓一些國(guó)外歷史名題，對(duì)其中一些性質(zhì)進(jìn)行研究，把條件適當(dāng)放寬或限制，把結(jié)論加強(qiáng)或弱化……嘗試對(duì)問(wèn)題進(jìn)行探索、猜想，對(duì)學(xué)生進(jìn)行變式訓(xùn)練，筆者認(rèn)為這肯定能收到意想不到的效果.

高考命題強(qiáng)調(diào)“能力立意”，“在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯點(diǎn)處設(shè)計(jì)問(wèn)題”，以問(wèn)題為載體，以知識(shí)為基礎(chǔ)，以思維為主線，以能力為目標(biāo)，全面考查學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)的潛質(zhì)，不斷研究高考題，把握高考試題發(fā)展方向，使課堂教學(xué)有的放矢.也只有這樣，才能提高學(xué)習(xí)效率，提高教學(xué)水平.