何正能 李興華

[摘? 要] 教師告知式教學(xué)方式增加了學(xué)生學(xué)習(xí)平面的難度. 創(chuàng)設(shè)情境，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出問(wèn)題等，明晰其意象，體會(huì)其基礎(chǔ)性，了解公理（推理）之間的邏輯關(guān)系. 搞清知識(shí)的邏輯等級(jí)性是構(gòu)建自然、有序的平面教學(xué)策略.

[關(guān)鍵詞] 自然;有序;平面;基本性質(zhì);教學(xué)研究

引言

高一學(xué)生學(xué)習(xí)平面及其基本性質(zhì)時(shí)，他們感到無(wú)趣和困難. 這一司空見(jiàn)慣的圖形有什么研究?jī)r(jià)值，即存在學(xué)習(xí)動(dòng)力問(wèn)題. 學(xué)生學(xué)習(xí)平面的類(lèi)比知識(shí)是直線的知識(shí)，但對(duì)直線的“直”的性質(zhì)缺乏足夠的認(rèn)識(shí). 因此，影響平面定義中的“平”的感知，即知識(shí)基礎(chǔ)存在缺陷;生活中已經(jīng)積累了一些關(guān)于平面的生活類(lèi)、圖形類(lèi)的初步知識(shí)，如平靜的水面、長(zhǎng)方體的表面，而這些知識(shí)并沒(méi)有進(jìn)行真正的數(shù)學(xué)化，即經(jīng)驗(yàn)成為學(xué)習(xí)平面內(nèi)容的障礙，影響平面的無(wú)限延展性的感悟，等等. 這些是造成學(xué)生學(xué)習(xí)平面困難的原因之一. 當(dāng)然，學(xué)生學(xué)習(xí)平面相關(guān)內(nèi)容感到困難的主要原因是教師教學(xué)不當(dāng)，采用告知式的教學(xué)方式，忽視了知識(shí)之間的邏輯性的揭示，造成學(xué)生感到本節(jié)內(nèi)容多，沒(méi)有頭緒.

傳統(tǒng)教學(xué)設(shè)計(jì)及缺陷

教科書(shū)給出的素材“廣闊的草原、平靜的湖面”給了我們平面的形象，和點(diǎn)、線一樣，平面也是從現(xiàn)實(shí)世界中抽象出來(lái)的幾何概念.平面通常用平行四邊形來(lái)表示，即當(dāng)平面水平放置的時(shí)候，一般用水平放置的平行四邊形作為平面的直觀圖[1].

傳統(tǒng)教學(xué)根據(jù)上面的素材，實(shí)例引進(jìn)，告知平面的含義及表示，電腦展示圖形. 這一教學(xué)，學(xué)生并沒(méi)有實(shí)現(xiàn)對(duì)實(shí)例的抽象，可以預(yù)測(cè)：學(xué)生學(xué)到的平面概念與理論上的平面概念是有很大差距的，導(dǎo)致學(xué)生后來(lái)難以畫(huà)出符合條件的截面.對(duì)于公理及推論的教學(xué)讓學(xué)生解讀公理內(nèi)容，然后用圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言表示，其結(jié)果是學(xué)生把學(xué)習(xí)它們的重點(diǎn)放在了記憶內(nèi)容上，不能厘清知識(shí)之間的邏輯關(guān)系，感到知識(shí)雜亂無(wú)章，學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)重. 因此，反思傳統(tǒng)教學(xué)，對(duì)平面概念的教學(xué)必須進(jìn)行補(bǔ)充，展示平面概念對(duì)公理及推論的作用，使學(xué)生對(duì)平面的概念有一個(gè)清晰的意象，為認(rèn)識(shí)公理的合理性和邏輯性打下基礎(chǔ).

教學(xué)研究

1. 平面概念教學(xué)內(nèi)容補(bǔ)充

平靜的水面、光滑的桌面和長(zhǎng)方體的表面都給人以平面的形象，但不能形成平面的無(wú)限延展的意象，而對(duì)平面的“平”的認(rèn)識(shí)也局限于實(shí)物的“平”.將直線作為平面學(xué)習(xí)的類(lèi)比模型，得出平面的含義，要求學(xué)生具有很強(qiáng)的空間想象和直覺(jué)思維能力.因?yàn)閺闹本€“一維”到平面“二維”，需要抽象出對(duì)象的數(shù)學(xué)本質(zhì)，這對(duì)高一學(xué)生來(lái)說(shuō)思維跨度太大，能力要求過(guò)高，所以教學(xué)方式只能是告知式. “學(xué)生得到的只是靜態(tài)的、僵化的、沒(méi)有遷移能力和發(fā)展?jié)摿Φ闹R(shí)”.[2]為此教學(xué)中除了介紹上面的關(guān)于平面的生活類(lèi)、圖形類(lèi)知識(shí)外，再動(dòng)態(tài)展示平面的形成，因?yàn)檫\(yùn)動(dòng)的物體更能激發(fā)學(xué)生的注意和認(rèn)知，有助于了解平面的“平”，揭示平面的構(gòu)成要素，獲得可發(fā)展的知識(shí).

學(xué)生討論：線由什么組成？平面呢？點(diǎn)沿一個(gè)方向運(yùn)動(dòng)成線，直線如何運(yùn)動(dòng)形成平面？讓學(xué)生交流，如何運(yùn)動(dòng)直線形成平面？借助數(shù)學(xué)家傅里葉對(duì)平面的定義“平面由經(jīng)過(guò)直線上一點(diǎn)且與直線垂直的所有直線構(gòu)成”，可以使教學(xué)進(jìn)一步深化，用幾何畫(huà)板展示圖1.

“直線a在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中始終與直線l垂直，又由于直線是‘直的，所以平面應(yīng)該是‘平的;直線是無(wú)限延伸的，所以平面是無(wú)限延展的.”[2]對(duì)數(shù)學(xué)史的應(yīng)用，為課堂教學(xué)提供了素材，也為突破難點(diǎn)提供了幫助. 教學(xué)沿著數(shù)學(xué)家傅里葉探究平面的概念的足跡，學(xué)生的形象思維能力和抽象思維能力，直觀想象能力和合情推理能力得到了培育，也使數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)得到落實(shí).

盡管上面傅里葉的平面定義有助學(xué)生理解平面的本質(zhì)，但定義遠(yuǎn)離學(xué)生的認(rèn)知：為什么過(guò)一點(diǎn)與一條直線垂直的所有直線在一個(gè)平面內(nèi)？這對(duì)學(xué)生的直觀想象是挑戰(zhàn). 因此讓學(xué)生想象利用水平放置的相交直線，如何構(gòu)造平面？

多媒體展示：平移直線m，使得直線m和始終直線n相交，形成一個(gè)平面，更有利于學(xué)生直觀感受平面的“平”和無(wú)限延展性，而且是更為精致的感受，也為平面的圖形表示奠定了基礎(chǔ)，并且認(rèn)識(shí)到所畫(huà)的平行四邊形表示的平面是局部的.

學(xué)生的學(xué)習(xí)必有歷史的再現(xiàn)，數(shù)學(xué)史給人以教學(xué)智慧，對(duì)歷史進(jìn)行必要的改造，使之更符合學(xué)生的認(rèn)知，需要?jiǎng)?chuàng)新使用數(shù)學(xué)史，使教學(xué)進(jìn)一步深化.

2. 平面基本性質(zhì)的教學(xué)研究

為了揭示平面概念對(duì)公理及推論的奠基作用，教學(xué)從平面的概念出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和研究公理1至公理3及推論，教學(xué)自然、有序，思路清晰.充分發(fā)揮漢語(yǔ)這一載體對(duì)思維的引領(lǐng)作用，使得符號(hào)語(yǔ)言呼之欲出，避免告知學(xué)生圖形語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言，使學(xué)生感到不自然.

（1）對(duì)公理1的傳統(tǒng)教學(xué)改進(jìn).

既然認(rèn)為平面是由直線運(yùn)動(dòng)而成的，那么直線和平面的位置關(guān)系是什么？學(xué)生歸納直線和平面的位置關(guān)系：線在平面內(nèi)和不在平面內(nèi)并用符號(hào)表示，很容易理解符號(hào)表示，因?yàn)槠矫媸怯芍本€構(gòu)成的. 那么如何判定直線在平面內(nèi)呢？學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)公理1的條件和結(jié)論.這里學(xué)生的思維省略了直線的“直”和平面的“平”性質(zhì)的考量. 為什么直線上有兩點(diǎn)在平面內(nèi)，就可以推導(dǎo)出直線上所有點(diǎn)在平面內(nèi)？

學(xué)生對(duì)公理的內(nèi)容進(jìn)行深入思考，以漢語(yǔ)語(yǔ)言為思維媒介，特別是，對(duì)公理1的條件和結(jié)論的辨認(rèn)，圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言表示公理1就水到渠成了. 形成三種語(yǔ)言之間的一一對(duì)應(yīng)，體會(huì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的簡(jiǎn)潔. 而真正確認(rèn)公理1的關(guān)鍵是平面“平”的性質(zhì). 如圖3，在公理1的符號(hào)表達(dá)“A∈αB∈α？圯AB？奐α”的前面增加“由于α是平面”，更顯推理的邏輯性.進(jìn)一步，如圖4，如何說(shuō)明直線l在平面α內(nèi)？體現(xiàn)認(rèn)知的漸進(jìn)性和嚴(yán)密的邏輯性.

（2）對(duì)公理2教學(xué)的深入研究.

公理2是本節(jié)課最重要的內(nèi)容，它是畫(huà)出兩個(gè)平面的交線和證明多點(diǎn)共線問(wèn)題的理論基礎(chǔ). 傳統(tǒng)教學(xué)教師示范有余，學(xué)生思考不足.沒(méi)有引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)實(shí)例概括出公理2，缺乏對(duì)其表達(dá)的合理性和精確性的思考過(guò)程，導(dǎo)致很多學(xué)生不能建立公理2的準(zhǔn)確意象，作出的相交平面缺乏立體感等缺憾. 因此，必須引導(dǎo)學(xué)生參與公理探究，利用平面概念發(fā)現(xiàn)、理解公理. 糾正學(xué)生對(duì)相交平面錯(cuò)誤的理解，增強(qiáng)公理的理解程度，讓學(xué)生畫(huà)圖，鞏固公理.

為什么強(qiáng)調(diào)兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，而不是說(shuō)它們有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)？從數(shù)學(xué)對(duì)象判定的可操作性，當(dāng)然期望無(wú)限化為有限，但條件必須是等價(jià)的，而兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)和有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)是等價(jià)的. 另外，從學(xué)生學(xué)習(xí)來(lái)看，給他們的探究提供素材，激發(fā)學(xué)生思考.探討是否就是一個(gè)公共點(diǎn)，如何說(shuō)明還有其他公共點(diǎn)？

教學(xué)中，教師用手頭30°角的三角板放置在桌面內(nèi)，告知學(xué)生平面無(wú)限延展，所以兩個(gè)平面有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，其組成一條直線，這個(gè)推理是不嚴(yán)密的. 事實(shí)上，是平面的“平”保證公共點(diǎn)組成一條直線. 因此，教師讓學(xué)生討論下列問(wèn)題：三角板ABC表示一個(gè)平面ABC，其與桌面表示的平面α有一個(gè)公共點(diǎn)A，那么平面α和平面ABC是否就只有一個(gè)公共點(diǎn)？學(xué)生很容易想到有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，但對(duì)公共點(diǎn)的屬性是模糊的. 引導(dǎo)學(xué)生用反證法說(shuō)明，如果公共點(diǎn)組成的圖形不是一條直線，那么與平面的“平”存在矛盾，因此公共點(diǎn)組成的圖形是一條直線.

H.Wu指出，“數(shù)學(xué)并不停止于實(shí)驗(yàn)，而必須把它與理性的解釋聯(lián)系起來(lái)：在這些看上去并無(wú)聯(lián)系的事實(shí)背后是否隱藏著某種普遍的理論？這些事實(shí)能否被納入某一統(tǒng)一的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)？”這就要求教師在引導(dǎo)學(xué)生觀察實(shí)驗(yàn)的同時(shí)，也要進(jìn)行必要的理性思考，不應(yīng)滿足實(shí)驗(yàn)所得的結(jié)果，而應(yīng)該把它作為認(rèn)識(shí)更為廣泛的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ).

教學(xué)中有學(xué)生給平面相交下的定義為：“兩個(gè)平面把空間分成四個(gè)部分，這兩個(gè)平面相交.”處理方式是肯定學(xué)生思維的創(chuàng)造性，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)其不合理的成分.

引導(dǎo)學(xué)生思考，研究直線和平面的位置關(guān)系時(shí)，用點(diǎn)來(lái)定義它們的位置，因此平面與平面的位置關(guān)系也可以采用點(diǎn)來(lái)刻畫(huà). 讓學(xué)生知道用已知的概念定義未知的概念是必要的，定義中的“空間、部分”是一個(gè)未知的概念，不能用它來(lái)定義平面相交;只能用點(diǎn)、線和面來(lái)定義兩個(gè)平面的位置. 由此學(xué)生通過(guò)糾錯(cuò)體會(huì)到數(shù)學(xué)概念構(gòu)建的邏輯方法，更新了觀念.

對(duì)兩個(gè)平面相交的畫(huà)法教學(xué)，讓學(xué)生想象圖形構(gòu)成的要素：兩個(gè)平面，其特點(diǎn)是有且只有一條公共直線. 學(xué)生思考的是：先畫(huà)一條直線，然后畫(huà)過(guò)直線的兩個(gè)平面;還是先畫(huà)一個(gè)平面，然后在平面內(nèi)作一條直線，再畫(huà)一個(gè)經(jīng)過(guò)該直線的平面？想到平面用平行四邊形表示，畫(huà)出兩個(gè)平面相交是容易的. 例如，先畫(huà)一條直線a，然后作出有一組對(duì)邊與直線a平行的兩個(gè)平行四邊形，調(diào)整圖形，直到大多數(shù)學(xué)生畫(huà)出自己認(rèn)為立體感好的圖形為止.展示學(xué)生的圖形，讓其辨別、感受，吸取他人的長(zhǎng)處，這是培養(yǎng)學(xué)生直觀想象和數(shù)學(xué)抽象的途徑. 給學(xué)生畫(huà)圖的機(jī)會(huì)，使他們愛(ài)畫(huà)圖，對(duì)自己畫(huà)圖有信心. 少展示電腦畫(huà)圖，因?yàn)殡娔X展示圖形標(biāo)準(zhǔn)、漂亮，容易使學(xué)生產(chǎn)生要求完美而達(dá)不到的自卑，這可能是日本中小學(xué)數(shù)學(xué)教師很少使用多媒體快速地顯示實(shí)踐過(guò)程的原因吧[3].

（3）公理3、推論的邏輯性及教學(xué)研究.

它們涉及確定平面的條件問(wèn)題.為了揭示這一部分內(nèi)容嚴(yán)密的邏輯關(guān)系，展示自然、有序的教學(xué)內(nèi)容，從整體到局部，采用這樣的過(guò)渡性語(yǔ)言：剛才兩個(gè)公理揭示了已知平面的情況下，來(lái)研究平面與平面及相關(guān)要素之間的關(guān)系，那么如何找到一個(gè)平面？

學(xué)生找到確立平面的條件：畫(huà)兩條相交直線，畫(huà)兩條平行直線，畫(huà)直線和直線外一點(diǎn)，畫(huà)不共線的三點(diǎn).

這四個(gè)條件的關(guān)系是什么？它們是等價(jià)關(guān)系.這里只有兩條平行直線與其他三個(gè)條件的等價(jià)關(guān)系不明顯.讓學(xué)生選擇，把哪一個(gè)作為已知條件. 學(xué)生經(jīng)過(guò)討論，把不共線的三點(diǎn)作為公理，其他作為推論，因?yàn)闂l件簡(jiǎn)單，當(dāng)然要與教科書(shū)吻合.

由于公理1教學(xué)中，學(xué)生對(duì)“有且只有”的含義認(rèn)知，因此理解“經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面”是容易的.

初中的三角形是在平面內(nèi)研究的，而不在同一直線上的三點(diǎn)與一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，由此得出：經(jīng)過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn)，有一個(gè)平面. 那么是唯一一個(gè)平面嗎？通過(guò)幾何畫(huà)板作圖，如圖2，說(shuō)明是唯一一個(gè)平面.

下面可以讓學(xué)生判定“如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面重合”這一論斷是否正確. 體現(xiàn)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的精確性，也體現(xiàn)立體幾何公理與代數(shù)中相等關(guān)系的對(duì)應(yīng).

公理是數(shù)學(xué)家規(guī)定的、公認(rèn)的規(guī)律，但學(xué)生不是數(shù)學(xué)家，他們對(duì)公理的學(xué)習(xí)，必然重復(fù)前人走過(guò)的彎路，體現(xiàn)公理形成的歷史路徑. 由于學(xué)生的學(xué)習(xí)主要是繼承行為，沒(méi)有時(shí)間重復(fù)前人的研究，因此，公理教學(xué)也要講究“道理”，避免重犯前人的錯(cuò)誤而浪費(fèi)時(shí)間. 讓學(xué)生認(rèn)識(shí)公理的合理性和必要性，培養(yǎng)邏輯思維的習(xí)慣，這是立體幾何起始課的重要教學(xué)目標(biāo). 學(xué)生由前面學(xué)習(xí)奠定的心理基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，推論教學(xué)便水到渠成.

（4）公理1、公理2和公理3邏輯關(guān)系的分析.

公理3是基礎(chǔ).只有對(duì)確立平面的條件有了深刻的認(rèn)識(shí)，研究公理1、公理2才有理論基礎(chǔ). 因此，教材的公理呈現(xiàn)順序改為“公理3—公理2—公理1”[4]，更顯邏輯性、科學(xué)性.

自然、有序的教學(xué)構(gòu)造策略深刻理解教材的知識(shí)體系，搞清楚本源知識(shí)和再生知識(shí)之間的聯(lián)系，強(qiáng)調(diào)本源知識(shí)對(duì)再生知識(shí)的理論奠基作用，教學(xué)中要努力向?qū)W生展示知識(shí)的邏輯鏈條，使每個(gè)相關(guān)的知識(shí)都被構(gòu)造在這個(gè)鏈條的相應(yīng)位置，形成知識(shí)整體的“序”，從而不至于忘記其中的部分.

強(qiáng)調(diào)知識(shí)邏輯的等級(jí)性：一級(jí)邏輯等級(jí)、二級(jí)邏輯等級(jí)和三級(jí)邏輯等級(jí). 一級(jí)邏輯等級(jí)指元認(rèn)知數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯，教科書(shū)展示知識(shí)研究邏輯. 如幾何知識(shí)，實(shí)例抽象出幾何研究對(duì)象、定義幾何對(duì)象、表示幾何對(duì)象、研究構(gòu)成幾何對(duì)象及其相關(guān)要素之間的關(guān)系，在實(shí)際中檢驗(yàn)和完善對(duì)幾何對(duì)象的理解，這也是科學(xué)研究的步驟. 二級(jí)邏輯等級(jí)指幾何概念、幾何性質(zhì)、解決問(wèn)題三者之間的關(guān)系，這一等級(jí)往往更體現(xiàn)知識(shí)的邏輯性，課堂上要將重點(diǎn)呈現(xiàn)給學(xué)生. 三級(jí)邏輯等級(jí)指具體的命題、公理、定理等的條件和結(jié)論之間的邏輯關(guān)系，體現(xiàn)清晰的邏輯性，是思維的載體. 教學(xué)中教師要從一級(jí)邏輯等級(jí)出發(fā)，幫助學(xué)生了解研究科學(xué)的一般思路，自主發(fā)現(xiàn)具體研究?jī)?nèi)容及邏輯關(guān)系，善于用符號(hào)表達(dá)內(nèi)容的條件和結(jié)論之間的關(guān)系，從而學(xué)生可以在高觀點(diǎn)下理解教材，把握構(gòu)建知識(shí)的邏輯思維，如此課堂教學(xué)將顯得自然、有序，學(xué)生學(xué)到的知識(shí)是靈動(dòng)的、包容的、發(fā)展的知識(shí)，學(xué)習(xí)不會(huì)感到困難、無(wú)趣.

參考文獻(xiàn)：

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[3]? 代欽. 2021年日本《初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)指導(dǎo)要領(lǐng)》評(píng)價(jià)[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2018，27（4）.

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