楊開來，殷翔，晁增輝，白永禎，韓旭

(青海省地震局，青海 西寧 810001)

0 引 言

前人研究表明，天然地震波的強(qiáng)度非平穩(wěn)特征是指其加速度時(shí)程曲線的高低起伏規(guī)律隨著持續(xù)時(shí)間的改變而改變，而頻率非平穩(wěn)特征是指其頻率組成在前期階段的高頻成分含量較多，在后期階段的高頻成分逐漸減少且低頻成分逐漸增加[1]。

目前，我國建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范中建議采用由Scanlan和Sachs[2]提出的三角級(jí)數(shù)方法合成人工地震波。但是，利用上述方法合成的人工地震波不僅不具備頻率非平穩(wěn)特征，而且其強(qiáng)度非平穩(wěn)特征也會(huì)受到人為假定包絡(luò)函數(shù)的不利影響。

為了合成兼具強(qiáng)度及頻率非平穩(wěn)特征的人工地震波，國內(nèi)外學(xué)者針對(duì)天然地震波特性展開研究，具體包括相位差譜和時(shí)變功率譜。首先，日本大崎順彥[3]提出了相位差譜的概念，認(rèn)為天然地震波相位譜的頻率分布特征服從[-π，π]范圍內(nèi)的均勻分布，而相位差譜的頻率分布特征卻近似服從正態(tài)分布。程緯[4]、朱昱[5-6]譚俊林[7]艾曉秋[8]、尹廣斌[9]等學(xué)者利用對(duì)數(shù)正態(tài)分布對(duì)經(jīng)過平移調(diào)整的相位差譜頻率分布特征進(jìn)行擬合，不僅根據(jù)均值λ和標(biāo)準(zhǔn)差ξ生成代表人工相位差譜，而且還合成了兼具強(qiáng)度及頻率非平穩(wěn)特征的人工地震波。除此之外，還有其他學(xué)者利用時(shí)變功率譜合成兼具強(qiáng)度及頻率非平穩(wěn)特征的人工地震波。例如，Kameda[10]運(yùn)用多重濾波技術(shù)分析天然地震波的時(shí)變功率譜模型，并將其與人工相位譜代入三角級(jí)數(shù)公式中，合成一條兼具強(qiáng)度及頻率非平穩(wěn)特征的人工地震波。我國學(xué)者符圣聰[11]梁建文[12-13]、鐘菊芳[14]等利用不同方法得到不同形式的時(shí)變功率譜模型，并通過三角級(jí)數(shù)計(jì)算公式，合成能夠兼具強(qiáng)度及頻率非平穩(wěn)特征的人工地震波。

研究發(fā)現(xiàn)，相位差譜或時(shí)頻功率譜均屬于天然地震波的單一頻域指標(biāo)，利用任何一個(gè)參數(shù)均可以保證人工地震波具備強(qiáng)度及頻率非平穩(wěn)特征。但是，由于人工地震波在合成過程中受到相位譜和幅值譜的雙重影響，因此利用上述方法合成的人工地震波，其強(qiáng)度及頻率非平穩(wěn)特征又與天然地震波之間存在明顯差距。例如，利用相位差譜合成的人工地震波，其強(qiáng)度非平穩(wěn)特征明顯弱于天然地震波，而利用時(shí)變功率譜合成的人工地震波，其頻率組成在不同時(shí)間段的數(shù)量分布又缺乏天然地震波自身的差異性。

本文以三角級(jí)數(shù)轉(zhuǎn)換公式作為理論基礎(chǔ)，推導(dǎo)出控制頻率組成最大值出現(xiàn)時(shí)間的相位導(dǎo)數(shù)，并利用相位導(dǎo)數(shù)分析天然地震波的強(qiáng)度及頻率非平穩(wěn)特征的全部影響因素。選取某條天然地震波為研究對(duì)象，利用傅里葉變換分析天然地震波的影響因素變化特征，驗(yàn)證各因素的影響效果。選取不同條件下的大量天然地震波作為數(shù)據(jù)庫，總結(jié)天然地震波的強(qiáng)度及頻率非平穩(wěn)特征的影響因素的變化規(guī)律。本文不僅分析了天然地震波的強(qiáng)度及頻率非平穩(wěn)特征，而且還為人工地震波的合成過程提供優(yōu)化依據(jù)。

1 相位導(dǎo)數(shù)的概念與計(jì)算

利用傅里葉變換對(duì)天然地震波進(jìn)行頻譜分析，將其加速度時(shí)程表示為三角級(jí)數(shù)疊加形式，如公式(1)所示：

(1)

假設(shè)天然地震波相鄰頻率點(diǎn)對(duì)應(yīng)的幅值大小相近，那么利用三角級(jí)數(shù)和差化積進(jìn)行變換分析，如公式(2)所示：

(2)

將能夠代表天然地震波加速度時(shí)程的三角級(jí)數(shù)疊加公式簡化為：

(3)

(4)

由此可知，天然地震波中三角級(jí)數(shù)xj的峰值到達(dá)時(shí)間tj是由相位導(dǎo)數(shù)[15-16]決定的，計(jì)算公式為:

(5)

2 頻率非平穩(wěn)特征對(duì)地震動(dòng)影響分析

如公式(6)所示，天然地震波的加速度時(shí)程可以通過三角級(jí)數(shù)疊加公式表達(dá)：

(6)

相位譜φj可由初始相位角與相位差譜計(jì)算得到，如公式所示：

(7)

式中，φ0為初始相位角，通常假定為0；δφj為人工相位差譜，可以通過人工相位導(dǎo)數(shù)計(jì)算得到，如公式所示：

(8)

將人工相位譜代入三角級(jí)數(shù)公式中，得到：

(9)

式中，δω為天然地震波的頻率間隔；ti為第i個(gè)相位導(dǎo)數(shù)；ωj為第j個(gè)圓頻率分量，如公式所示：

(10)

人工地震波三角級(jí)數(shù)公式為:

(11)

進(jìn)一步，可以推導(dǎo)出：

(12)

如果將天然地震波的持續(xù)時(shí)間T劃分為若干段，并針對(duì)其中某個(gè)時(shí)間段td展開研究，那么其三角級(jí)數(shù)公式為:

(13)

為了能夠直觀分析強(qiáng)度及頻率非平穩(wěn)特征的影響效果，首先需要根據(jù)時(shí)間與頻率之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系將幅值譜與相位導(dǎo)數(shù)建立聯(lián)系，具體公式為:

(14)

(15)

3 強(qiáng)度及頻率非平穩(wěn)特征的影響因素

3.1 相位導(dǎo)數(shù)頻率分布特征的變化規(guī)律

圖1 ElCentro地震波相位導(dǎo)數(shù)圖2 Norbridge地震波相位導(dǎo)數(shù)

圖3 Taft地震波相位導(dǎo)數(shù)圖4 Kobe地震波相位導(dǎo)數(shù)

如圖1～4所示，本文選取El Centro、Norbridge、Taft和Kobe等4條天然地震波，分別做出加速度時(shí)程曲線與相位導(dǎo)數(shù)頻率分布直方圖，對(duì)比分析二者的變化規(guī)律可以得到下列結(jié)論：

(1)天然地震波的持續(xù)時(shí)間與相位導(dǎo)數(shù)的變化范圍完全相同，這是由于相位差譜的頻率分布范圍為[0，2π]，而天然地震波自身的頻率差值為dω，二者相除得到的相位導(dǎo)數(shù)頻率分布范圍等于[0，T]，其中T代表著天然地震波包含的三角級(jí)數(shù)峰值加速度的最大出現(xiàn)時(shí)間。

(2)天然地震波加速度時(shí)程曲線的高低起伏變化規(guī)律與相位導(dǎo)數(shù)的頻率分布特征大致相同，而且天然地震波的相位導(dǎo)數(shù)均值μ及標(biāo)準(zhǔn)差σ分別體現(xiàn)了天然地震波加速度峰值出現(xiàn)時(shí)間及加速度峰值附近的增加衰減規(guī)律。

3.2 相位導(dǎo)數(shù)對(duì)應(yīng)幅值譜的變化規(guī)律

(16)

式中，a(t)為天然地震波的加速度時(shí)程曲線；:T為天然地震波的持續(xù)時(shí)間；I(t)為從0到1的能量歸一化函數(shù)。

為了能夠詳細(xì)分析天然地震波的頻率非平穩(wěn)特征變化規(guī)律，本文將天然地震波的持續(xù)時(shí)間T按照能量累計(jì)規(guī)律進(jìn)行劃分，并分別計(jì)算當(dāng)歸一化系數(shù)I(t)等于2.5%、5%、10%、15%、25%、50%、75%、85%、90%、95%、97.5%時(shí)的時(shí)間節(jié)點(diǎn)。

以圖5中的天然地震波為例，將持續(xù)時(shí)間T劃分為12個(gè)階段，分別為(0～3.96)s、(3.96～4.95)s、(4.95～6.58)s、(6.59～6.9)s、(6.9～7.56)s、(7.56～8.69)s、(8.69～9.83)s、(9.83～11.67)s、(11.67～12.23)s、(12.23～14.71)s、(14.71～17.66) s和(17.66～38.47)s。

圖5 天然地震波加速度時(shí)程曲線

圖6 不同時(shí)間段幅值譜變化規(guī)律

如圖6所示，天然地震波在任意時(shí)間段范圍內(nèi)的相位導(dǎo)數(shù)對(duì)應(yīng)幅值均表現(xiàn)出左右對(duì)稱特征，而且不同持續(xù)時(shí)間范圍內(nèi)的幅值分布數(shù)量及最大幅值變化規(guī)律均表現(xiàn)出非平穩(wěn)特征，包括以下兩方面結(jié)論：

(1)天然地震波在不同時(shí)間范圍內(nèi)的幅值分布數(shù)量表現(xiàn)出了明顯的非平穩(wěn)特征，其中，在9 s以前的幅值分布數(shù)量隨著持續(xù)時(shí)間的增加而逐漸增加，在9 s左右達(dá)到幅值分布數(shù)量的最高值，而在9 s以后的幅值分布數(shù)量隨著持續(xù)時(shí)間的增加而逐漸減少。

(2)天然地震波在不同時(shí)間段范圍內(nèi)的最大幅值同樣表現(xiàn)出了非平穩(wěn)特征，其高低起伏變化規(guī)律與頻率分布特征大致相同，即在(0～10)s范圍內(nèi)的最大幅值隨著時(shí)間的增加而逐漸增加，在(10～12) s范圍內(nèi)的幅值達(dá)到峰值以外，在12 s之后的最大幅值逐漸降低。

3.3 相位導(dǎo)數(shù)與幅值的對(duì)應(yīng)關(guān)系變化規(guī)律

本文參考場地類別、烈度及震中距等多方面因素，選?、?Ⅳ類場地條件下的57條天然地震波作為研究對(duì)象。為了匯總分析不同天然地震波的幅值譜變化規(guī)律，本文將幅值譜按照最大幅值的百分比劃分為五部分，分別為(0.1～1)%、(1～10)%、(10～25)%、(25～50)%和(50～100)%，具體代表了小幅值區(qū)域、較小幅值區(qū)域、中等幅值區(qū)域、較大幅值區(qū)域及大幅值區(qū)域。

利用下列公式分別計(jì)算在不同時(shí)間段范圍內(nèi)的幅值分布比例系數(shù)pij，具體公式為：

(17)

式中，i為某個(gè)相位導(dǎo)數(shù)分布范圍；j為某個(gè)范圍內(nèi)的幅值分布數(shù)量；n為天然地震波的全部幅值數(shù)量。

如表1所示，本文分別計(jì)算每條天然地震波在不同持續(xù)時(shí)間范圍內(nèi)的幅值分布數(shù)量及幅值大小的比例系數(shù)。

表1 天然地震波幅值分布比例系數(shù)

如表1所示，天然地震波在不同時(shí)間范圍內(nèi)的幅值分布變化規(guī)律包括以下幾方面結(jié)論：

(1)天然地震波在整個(gè)持續(xù)時(shí)間范圍內(nèi)的幅值分布數(shù)量表現(xiàn)出了明顯的非均勻特性，其不同大小范圍內(nèi)的幅值分布比例系數(shù)依次等于45.6%、21.1%、19.1%、8.5%和5.7%，即幅值分布數(shù)量隨著幅值增大而逐漸降低。

(2)天然地震波低于1%的小幅值分布數(shù)量具有明顯的時(shí)頻非平穩(wěn)特征，其中在(17.66 ～38.47) s范圍內(nèi)的小幅值分布比例系數(shù)最高，在(0～3.96)s范圍內(nèi)的分布比例系數(shù)緊隨其后，而其余范圍內(nèi)的分布比例系數(shù)則相對(duì)較??；天然地震波高于50%的大幅值分布數(shù)量同樣表現(xiàn)出了時(shí)頻非平穩(wěn)特征，其中在(7.56～9.83) s范圍內(nèi)的大幅值分布數(shù)量比例系數(shù)最大，而其余時(shí)間范圍內(nèi)的大幅值分布比例系數(shù)大致相等；

(3)天然地震波在不同時(shí)間段范圍內(nèi)的幅值分布比例系數(shù)隨著幅值增大而逐漸均等，其中低于1%的小幅值分布比例系數(shù)差異性最為顯著，高于50%的大幅值分布比例系數(shù)差異性次之，而介于(1～50)%范圍內(nèi)的幅值分布比例系數(shù)差異性并不突出。

4 結(jié) 論

為了提升對(duì)天然地震波強(qiáng)度及頻率非平穩(wěn)特征的理解程度，本文基于相位導(dǎo)數(shù)的研究成果，通過理論公式分析強(qiáng)度及頻率非平穩(wěn)特征的影響因素，并結(jié)合天然地震波實(shí)例對(duì)上述影響因素的變化規(guī)律進(jìn)行分析，得到以下幾方面結(jié)論：

(1)為了分析天然地震波強(qiáng)度及頻率非平穩(wěn)特征的影響因素，利用三角級(jí)數(shù)公式和相位導(dǎo)數(shù)公式共同推導(dǎo)出三個(gè)影響因素，分別是相位導(dǎo)數(shù)的頻率分布特征，幅值譜變化規(guī)律，以及相位導(dǎo)數(shù)與幅值譜之間的頻率對(duì)應(yīng)關(guān)系。

(2)實(shí)例分析表明，天然地震波相位導(dǎo)數(shù)的頻率分布特征并不平穩(wěn)，其頻率分布特征與加速度時(shí)程包線之間極為相近，具體表現(xiàn)為加速度峰值附近分布的相位導(dǎo)數(shù)更為集中，而加速度時(shí)程末尾區(qū)域的相位導(dǎo)數(shù)分布較少。

(3)實(shí)例表明，天然地震波在不同相位導(dǎo)數(shù)頻率分布范圍內(nèi)對(duì)應(yīng)的幅值大小并不相同，具體表現(xiàn)為起始段和結(jié)尾段的小幅值分布概率最為明顯，而強(qiáng)震段范圍內(nèi)的大幅值分布概率最為明顯，中等幅值在所有時(shí)間段范圍內(nèi)的分布概率大致相等。