張健鋌，張曉博，董 哲，李忠華

（1.北京衛(wèi)星導(dǎo)航中心，北京 100094；2.中國(guó)科學(xué)院精密測(cè)量科學(xué)與技術(shù)創(chuàng)新研究院 大地測(cè)量與地球動(dòng)力學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢 430071）

0 引言

基于國(guó)家安全和經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展需要，我國(guó)自主獨(dú)立建設(shè)了北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)（BeiDou navigation satellite system, BDS），BDS也是繼全球定位系統(tǒng)（global positioning system, GPS）、格洛納斯衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)（global navigation satellite system,GLONASS）之后的第三個(gè)成熟的衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)[1]。BDS包含地球靜止軌道（geostationary Earth orbit,GEO）、傾斜軌道（inclined geosynchronous orbit, IGSO）和中圓地球軌道（medium Earth orbit,MEO）三種不同軌道的衛(wèi)星。BDS搭載了我國(guó)自主研發(fā)的高精度小型原子鐘，其中北斗衛(wèi)星導(dǎo)航（區(qū)域）系統(tǒng)即北斗二號(hào)（BeiDou navigationsatellite (regional) system, BDS-2）搭載的衛(wèi)星鐘，均為國(guó)產(chǎn)銣原子鐘，北斗三號(hào)全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)（BeiDou-3 navigation satellite system, BDS-3）搭載的衛(wèi)星鐘，為國(guó)產(chǎn)銣原子鐘和國(guó)產(chǎn)新型氫原子鐘。由于衛(wèi)星所處的高度、運(yùn)動(dòng)狀態(tài)以及環(huán)境存在差異，使得不同軌道的衛(wèi)星鐘性能表現(xiàn)出不同的變化特征[2]。與衛(wèi)星廣播星歷相比，高精度的精密衛(wèi)星鐘鐘差，更能滿足在軌衛(wèi)星鐘鐘差特性分析的需要。因此，為了改善BDS的服務(wù)能力，有必要根據(jù) BDS的衛(wèi)星軌道特征和原子鐘的物理特性，對(duì)BDS衛(wèi)星鐘鐘差的特性進(jìn)行分析[1]。

衛(wèi)星鐘差與軌道密切相關(guān)，衛(wèi)星鐘差會(huì)吸收軌道徑向的誤差，因此衛(wèi)星鐘差數(shù)據(jù)中會(huì)呈現(xiàn)出一定的周期特性[3-4]。諸多學(xué)者對(duì)BDS衛(wèi)星鐘差的周期特性進(jìn)行了深入研究，如文獻(xiàn)[5]研究了 BDS GEO衛(wèi)星鐘差的周期特性，發(fā)現(xiàn)其周期分別為24、12、8、6 h；文獻(xiàn)[6]基于近一年的鐘差數(shù)據(jù)，全面分析了BDS衛(wèi)星鐘差數(shù)據(jù)的周期特性，發(fā)現(xiàn)BDS GEO衛(wèi)星鐘差的三個(gè)主周期依次為12、24和8 h，IGSO衛(wèi)星鐘差的三個(gè)主周期依次為24、12和8 h，MEO衛(wèi)星鐘差的三個(gè)主周期依次為 12.91、6.44和24 h；文獻(xiàn)[7]也指出，衛(wèi)星鐘差存在顯著周期項(xiàng)，主要周期分別近似為軌道周期的1/2倍、1倍或2倍。這些研究都充分證明了BDS衛(wèi)星鐘差中顯著存在周期項(xiàng)，本文利用標(biāo)準(zhǔn)時(shí)頻理論，分析了BDS衛(wèi)星鐘周期項(xiàng)的時(shí)頻特性，并利用具有良好魯棒性的無(wú)為方法[4]，對(duì)BDS衛(wèi)星鐘差中顯著存在的24 h周期項(xiàng)進(jìn)行了提取，發(fā)現(xiàn)其幅值存在顯著變化。

1 BDS星載原子鐘

高準(zhǔn)確度、高穩(wěn)定度的原子頻標(biāo)是時(shí)間系統(tǒng)的核心，也是確保高精度導(dǎo)航定位的關(guān)鍵。原子頻標(biāo)作為衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)有效載荷的核心部分，其性能直接決定著導(dǎo)航定位的精度和時(shí)頻傳遞的精度[8]。因此，有必要對(duì)星載原子鐘的在軌性能特征進(jìn)行分析研究，從而為定位、導(dǎo)航、授時(shí)（positioning,navigation and time, PNT）服務(wù)提供保障。

截至2018年年底，BDS-3基本系統(tǒng)建成并提供全球服務(wù)，在軌工作衛(wèi)星已達(dá)33顆，其中包含15顆BDS-2衛(wèi)星和18顆BDS-3衛(wèi)星，具體為5顆地球靜止軌道衛(wèi)星、7顆傾斜地球同步軌道衛(wèi)星和21顆中圓地球軌道衛(wèi)星。至2020年6月23號(hào)，BDS已經(jīng)發(fā)射完55顆導(dǎo)航衛(wèi)星，BDS導(dǎo)航衛(wèi)星發(fā)射全部完成，BDS衛(wèi)星鐘在軌情況如表1所示。

表1 BDS衛(wèi)星鐘在軌情況[9]

2 時(shí)頻分析方法

2.1 標(biāo)準(zhǔn)時(shí)頻變換理論

標(biāo)準(zhǔn)時(shí)頻變換（normal time-frequency transform,NTFT）理論，自2007年提出以來(lái)，在地球自轉(zhuǎn)參數(shù)、衛(wèi)星鐘差等方面得到了廣泛的應(yīng)用[10-14]。

對(duì)于函數(shù)f(t)，其時(shí)頻變換為

式中：τ和?分別為時(shí)間因子和頻率因子，線‘-’表示共軛，R為實(shí)數(shù)域，“||”為取模。

如果式（1）中變換核ψ(t,)?的傅里葉變換

滿足：

則稱式（1）為標(biāo)準(zhǔn)時(shí)頻變換。

典型的NTFT核函數(shù)通?？梢员硎緸?/p>

式中，i為虛數(shù)符號(hào)；Ω(R)為標(biāo)準(zhǔn)窗w(t)的函數(shù)空間；尺度因子μ(?)為任何情況下都不一直為0的函數(shù)，比如為：?,?2/3,?5等。若μ(?)=1，則式（2）為相位無(wú)偏的加博爾（Gabor）變換（Gabor transform, GT），若μ(?)=?，則式（2）為標(biāo)準(zhǔn)的小波變換（normal wavelet transform, NWT），即

在式（5）和式（6）中，若窗函數(shù)的傅里葉變換滿足式（7）的條件，則該窗函數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)窗。式（7）的表達(dá)式為

窗函數(shù)w(t)通常選擇標(biāo)準(zhǔn)的高斯窗，其表達(dá)式為

式（8）中的σ＞0，因子σ的設(shè)置至關(guān)重要，該參數(shù)直接影響NTFT的時(shí)頻分辨率。

2.2 無(wú)為方法

為了從標(biāo)準(zhǔn)時(shí)頻譜上簡(jiǎn)潔、高精度地獲取調(diào)和函數(shù)和時(shí)變調(diào)和函數(shù)，文獻(xiàn)[11, 14]提出了無(wú)為方法，該方法本質(zhì)是一種線通濾波器，是一種對(duì)調(diào)和函數(shù)和時(shí)變調(diào)和函數(shù)的估計(jì)。

無(wú)為方法的準(zhǔn)則如下：調(diào)和函數(shù)h(t)表達(dá)式為

將式（7）代入標(biāo)準(zhǔn)時(shí)頻變換，即可得到

式中：A為復(fù)數(shù)幅值；常數(shù)β為角頻率；Δ∈ [ 0,2π)為初始相位；(βt+Δ)為瞬時(shí)相位；?為“任何情況下”，“?”為“當(dāng)且僅當(dāng)”。

3 BDS衛(wèi)星鐘時(shí)頻分析結(jié)果

3.1 數(shù)據(jù)來(lái)源

本文數(shù)據(jù)采用的來(lái)源于武漢大學(xué)衛(wèi)星導(dǎo)航定位技術(shù)研究中心[9]發(fā)布的間隔 30 s，從 2020年 3月1日至2020年5月23日一共84 d的BDS-2衛(wèi)星鐘差數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)，為了更好的分析BDS衛(wèi)星鐘周期項(xiàng)的時(shí)頻特性，本文選取其中沒(méi)有明顯異常的49天數(shù)據(jù)作為分析對(duì)象。

3.2 時(shí)頻分析結(jié)果

針對(duì)BDS衛(wèi)星鐘差數(shù)據(jù)，首先利用高次多項(xiàng)式（文中采用四次多項(xiàng)式）消除趨勢(shì)項(xiàng)，然后利用NTFT得到標(biāo)準(zhǔn)時(shí)頻譜，如圖1所示。

圖1 BDS-2衛(wèi)星鐘的時(shí)頻

本文分析了正在運(yùn)行的、在軌的 C01至 C14及C16號(hào)衛(wèi)星的鐘差，從圖1中可以看出，除C06號(hào)衛(wèi)星受異常值干擾外，其它BDS衛(wèi)星鐘都存在顯著的24 h周期項(xiàng)，部分衛(wèi)星鐘存在12、8、6 h周期項(xiàng)（如C04號(hào)衛(wèi)星）。

由于24 h周期項(xiàng)普遍存在BDS衛(wèi)星鐘差中，本文采用無(wú)為方法對(duì)其進(jìn)行提取，得到選取 BDS衛(wèi)星鐘差的24 h周期項(xiàng)，如圖2所示。

圖2 BDS衛(wèi)星鐘的24 h周期項(xiàng)

從圖2中可以看出，BDS衛(wèi)星鐘的24 h周期項(xiàng)，幅值最大為2 ns（如C01、C03號(hào)衛(wèi)星），普遍為1 ns，最小為0.5 ns（如C02號(hào)衛(wèi)星），C06號(hào)衛(wèi)星由于受異常值影響較大，因此幅值大于2 ns的部分為不可信部分。另外，從圖2還可以看出，BDS衛(wèi)星鐘的24 h周期項(xiàng)幅值存在顯著變化。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文利用標(biāo)準(zhǔn)時(shí)頻變換理論對(duì)選取的BDS-2衛(wèi)星鐘的時(shí)頻特性進(jìn)行了分析，并對(duì)顯著存在的24 h周期項(xiàng)進(jìn)行了有效提取，得到如下結(jié)論：

1）BDS衛(wèi)星鐘都顯著存在24h周期項(xiàng)，部分衛(wèi)星鐘還存在12、8、6 h周期項(xiàng)；

2）BDS衛(wèi)星鐘的24 h周期項(xiàng)幅值普遍在1 ns左右，最大值為2 ns，最小值為0.5 ns；

3）BDS衛(wèi)星鐘的 24 h周期項(xiàng)幅值存在顯著變化。

隨著B(niǎo)DS-3衛(wèi)星鐘開(kāi)始啟用，其時(shí)頻特性需要進(jìn)一步分析，對(duì)于BDS衛(wèi)星鐘差周期項(xiàng)幅值出 現(xiàn)幅值變化的原因還需要進(jìn)一步研究。