沈方健，冉華軍，余 益，張展鵬

（1.湖北省微電網(wǎng)工程技術(shù)研究中心（三峽大學(xué)），湖北宜昌 443000；2.國(guó)網(wǎng)湖北省電力有限公司檢修公司，武漢 430050）

引言

隨著電力電子技術(shù)的日益發(fā)展，DC-DC變換器已經(jīng)運(yùn)用在了民用、軍用等領(lǐng)域。在許多實(shí)際運(yùn)用中，需要有穩(wěn)定的輸出電壓。這也給開關(guān)電源提出了更高的要求，以Boost變換器為主的開關(guān)電源已逐漸為大眾所熟知，Boost變換器電路拓?fù)涑蔀槿藗冄芯糠€(wěn)壓的首要選擇，任何一個(gè)電路都離不開電源，因此研究Boost變換器的閉環(huán)控制設(shè)計(jì)具有十分深遠(yuǎn)的意義和參考價(jià)值[1-3]。

開關(guān)變換器是帶有閉環(huán)控制的時(shí)變系統(tǒng)，需要小信號(hào)建模和設(shè)計(jì)良好的控制器以達(dá)到穩(wěn)壓要求[4,5]。近幾十年來，開關(guān)變換器的建模和控制，一直是國(guó)內(nèi)外學(xué)者研究的重點(diǎn)。基于Boost變換器在生活中的廣泛應(yīng)用，設(shè)計(jì)Boost變換器的控制環(huán)路的補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)，以提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)響應(yīng)已成為迫切需要。不同的補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)使開關(guān)電源具有不同的性能，常見的補(bǔ)償器有PD補(bǔ)償器、PI補(bǔ)償器、PID補(bǔ)償器等。PID補(bǔ)償器結(jié)合了PD補(bǔ)償器和PI補(bǔ)償器的優(yōu)點(diǎn)，已成為人們的普遍選擇，所以要對(duì)PID補(bǔ)償器進(jìn)行深入探討。PID補(bǔ)償器因其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，在低頻時(shí)具有高的環(huán)路增益，能夠精確穩(wěn)定輸出電壓的低頻部分；在高頻時(shí)，又能夠很好地提高相位裕度，這成為了變換器控制部分補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)的主要運(yùn)用方法。

1 變換器特性分析及建模

圖1為Boost變換器的開環(huán)拓?fù)?，設(shè)輸入電壓Uin=75 V，輸出電壓UO＝100 V，電感L＝100 μH，電容C＝500 μF，電阻R＝10 Ω，開關(guān)頻率fs=100 kHz，D=0.25。如圖1，根據(jù)開關(guān)狀態(tài)，變換器可分為兩種基本工作狀態(tài)，下面分別列出這兩種工作狀態(tài)的狀態(tài)方程。

圖1 Boost變換器開環(huán)設(shè)計(jì)

當(dāng)開關(guān)管導(dǎo)通時(shí)，二極管截止，由電容向負(fù)載供電，狀態(tài)方程為：

當(dāng)開關(guān)管截止，二極管導(dǎo)通時(shí)，由電源和電感向負(fù)載供電且為電容充電：

由變換器在一個(gè)周期的兩個(gè)工作狀態(tài)，電感電流iL(t)在開關(guān)周期平均后顯然滿足式：

由（1）（2）（3）可得變換器一個(gè)開關(guān)周期的平均值表達(dá)式為：

變換器等效的平均變量中含有小信號(hào)擾動(dòng)，所以變換器的小信號(hào)擾動(dòng)的狀態(tài)方程為：

根據(jù)小信號(hào)近似，略去直流分量和高階分量，可列變換器小信號(hào)擾動(dòng)的線性等效方程：

由式（6）建立Boost變換器連續(xù)導(dǎo)通模式下的平均小信號(hào)交流模型如圖2。

圖2 Boost變換器小信號(hào)模型

通過小信號(hào)模型，可得控制對(duì)輸出傳遞函數(shù)[6,7]：

將圖1中設(shè)定參數(shù)值代入式（7）得控制對(duì)輸出傳遞函數(shù)值為：

2 補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)分析與設(shè)計(jì)

2.1 確定補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)傳遞函數(shù)

建立負(fù)反饋的期望是為了形成一個(gè)自動(dòng)調(diào)節(jié)占空比的電路，無論uin，iload和元件參數(shù)變化，都能獲得所需的高精度輸出電壓[8,9]。圖3為變換器閉環(huán)小信號(hào)模型框圖。

圖3 變換器閉環(huán)小信號(hào)模型框圖

開環(huán)增益?zhèn)鬟f函數(shù)為：

式中，H(s)為電壓采樣的比例系數(shù)，Gc(s)為電壓環(huán)補(bǔ)償器傳遞函數(shù)，1/VM是PWM調(diào)制器的比例系數(shù)，Gud(s)是控制到輸出的傳遞函數(shù)。

假設(shè)當(dāng)工作在連續(xù)導(dǎo)通模式，Boost變換器是一個(gè)單位補(bǔ)償系統(tǒng)[10-13]。各項(xiàng)參數(shù)可設(shè)定為：VM=5，Gc(s)=1，H(s)=0.05，將式（8）代入式（9）計(jì)算得：

可得未加補(bǔ)償參數(shù)環(huán)路增益幅頻特性和相頻特性的波特圖，如圖4所示。

分析圖4可知，該系統(tǒng)在補(bǔ)償前存在以下幾個(gè)方面問題[14]：

圖4 未加補(bǔ)償參數(shù)的環(huán)路增益波特圖

（1）未加補(bǔ)償?shù)南到y(tǒng)為0型系統(tǒng)，其直流及低頻增益不高（約為2.8 dB），因此，若要求補(bǔ)償后的單位階躍響應(yīng)和低頻響應(yīng)無靜態(tài)誤差（提高穩(wěn)態(tài)控制精度），需要增加PI補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)以提高系統(tǒng)環(huán)路增益。

（2）該系統(tǒng)的相位裕量PM=-2°，系統(tǒng)不穩(wěn)定，需要增加PD補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)提高系統(tǒng)相位裕量。為了保證一定的相位裕量，一般選擇補(bǔ)償后的系統(tǒng)相位裕量為PM≥45°，因此，選擇PD補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)的相角θ=76°，使補(bǔ)償后的相位裕量PM≥45°，確保系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

（3）該系統(tǒng)的穿越頻率fc≈0.82 kHz偏低，系統(tǒng)響應(yīng)速度較慢。因此，要提高系統(tǒng)穿越頻率，但同時(shí)要考慮高頻開關(guān)頻率及其諧波噪聲，不能將穿越頻率設(shè)置過高。一般將補(bǔ)償后的環(huán)路增益穿越頻率設(shè)置在開關(guān)頻率的1/20～1/5處，同時(shí)設(shè)置自然振蕩頻率（fo≈534 Hz）的3倍以上，選擇補(bǔ)償后的增益穿越頻率fc=5 kHz。

綜上所述，選擇PID補(bǔ)償器作為變換器的補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)部分，PID補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)傳遞函數(shù)常用形式為[15,16]：

（1）確定PD補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)的零極點(diǎn)頻率。

PD補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)用于提高補(bǔ)償后系統(tǒng)的相位裕量，根據(jù)以下公式可求解得：

補(bǔ)償后的穿越頻率fc=5 kHz在fZ2與fp1之間，滿足要求。

（2）確定PI補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)的零極點(diǎn)頻率。

PID補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)傳遞函數(shù)的ωZ1處的零點(diǎn)與位于原點(diǎn)的極點(diǎn)組成PI補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)。一般可將該零點(diǎn)設(shè)在原系統(tǒng)自然振蕩頻率的1/5～1/2處，因此，將第一個(gè)零點(diǎn)頻率設(shè)為:

（3）確定PID補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)的增益K。

將式（12）、（13）、（14）代入PID補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)傳遞函數(shù)式（11）中，并假設(shè)PID補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)的增益K=1得：

在K=1時(shí)，由式（10），（15）求補(bǔ)償后的系統(tǒng)環(huán)路增益為：

可得在K=1補(bǔ)償時(shí)系統(tǒng)環(huán)路增益波特圖如圖5所示。

圖5 K=1補(bǔ)償時(shí)的環(huán)路增益波特圖

從圖5中的K=1補(bǔ)償時(shí)的環(huán)路增益波特圖知，當(dāng)f=5 kHz時(shí)，環(huán)路增益對(duì)應(yīng)的相角為226°；故當(dāng)設(shè)定一個(gè)所需K值時(shí)，其補(bǔ)償后的環(huán)路增益相位裕量為PM=46°（穿越頻率fc=5 kHz），滿足相位裕量≥45°要求。當(dāng)f=5 kHz時(shí)，PID補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)環(huán)路增益的幅值為-76.3dB。要使設(shè)定所需K值補(bǔ)償后的環(huán)路增益穿越頻率為5kHz，則K的值需滿足：

將K值代入式（11），（15）得補(bǔ)償器傳遞函數(shù)為：

由式（10），（18）得最終PID補(bǔ)償器補(bǔ)償后所得到的環(huán)路增益波特圖，如圖6所示。由圖6中的PID補(bǔ)償后的環(huán)路增益波特圖知，補(bǔ)償后的環(huán)路穿越頻率為5 kHz，相位裕量為46°，滿足要求。

圖6 PID補(bǔ)償器補(bǔ)償后環(huán)路增益波特圖

2.2 PID補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)的設(shè)計(jì)

通過以上分析，可采用如圖7所示的零－極點(diǎn)補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)，來確定相關(guān)參數(shù)：

圖7 PID補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)原理圖

3 仿真驗(yàn)證

仿真參數(shù)設(shè)定正常輸入電壓為Uin=75 V，且輸入加入擾動(dòng)正弦波Uin=10sin(100t)V，或者輸入電壓從60 V跳變到100 V時(shí)，輸出電壓需穩(wěn)定在Uo=100 V。圖8為輸入加入擾動(dòng)時(shí)，輸出電壓的波形，圖9為輸入電壓變化階躍跳變時(shí)，輸出電壓波形圖。

圖8 輸入電壓正弦擾動(dòng)時(shí)輸出電壓的波形

圖9 輸入電壓從60 V跳變至100 V時(shí)輸出電壓波形

由圖8可知，當(dāng)正常輸入電壓75 V，且輸入電壓加入正弦擾動(dòng)時(shí)，通過引入PID補(bǔ)償器的閉環(huán)控制后，輸出電壓波形在100 V附近波動(dòng)，且電壓紋波約為5.1 V，電壓紋波波動(dòng)較小（注意到加入PID補(bǔ)償后的系統(tǒng)相位裕量PM=46°，相位裕度較小，輸出波形不是特別穩(wěn)定）。當(dāng)輸入電壓從60 V跳變到100 V變化時(shí)，加入PID補(bǔ)償器閉環(huán)調(diào)節(jié)后，變換器輸出電壓大致穩(wěn)定在100 V附近，輸出電壓紋波小于輸出電壓的5%，滿足設(shè)計(jì)要求。因此仿真結(jié)果證明了設(shè)計(jì)PID補(bǔ)償器閉環(huán)控制的穩(wěn)壓可靠性。

4 結(jié)論

以應(yīng)用廣泛的Boost變換器為基礎(chǔ)，建立了變換器在連續(xù)工作模式下的小信號(hào)模型，通過分析控制系統(tǒng)的相頻特性和幅頻特性，考慮穿越頻率和相位裕度，設(shè)計(jì)了所需的PID補(bǔ)償器的控制網(wǎng)絡(luò)，優(yōu)化了變換器在輸入電壓變化時(shí)的系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)定性，并通過仿真驗(yàn)證了該方法的可靠性。