韋子豪

（華北理工大學(xué)礦業(yè)工程學(xué)院，河北 唐山 063210）

0 引言

根據(jù)現(xiàn)代誤差理論，從科研實(shí)驗(yàn)以及生產(chǎn)活動(dòng)里收集的數(shù)據(jù)，其基礎(chǔ)數(shù)據(jù)在輸入空間數(shù)據(jù)平臺(tái)的階段，將出現(xiàn)不確定性，以及可能因?yàn)榱繙y(cè)設(shè)備的固有精度、量測(cè)技術(shù)、實(shí)施方案等的局限性和差異性而引入不同程度的誤差，粗差的出現(xiàn)是不可避免的。為了獲得準(zhǔn)確的變形監(jiān)測(cè)解析數(shù)據(jù)，在數(shù)據(jù)的處理過(guò)程中需采取恰當(dāng)?shù)姆椒▽?duì)粗差展開(kāi)測(cè)定和篩除。粗差的處置一般能夠劃分成兩類(lèi)：一種是先把包含粗差的測(cè)量值運(yùn)用統(tǒng)計(jì)檢測(cè)的方法予以篩除，然后執(zhí)行數(shù)據(jù)操作；第二種是把包含粗差的測(cè)量值視作方差反常，采取穩(wěn)健估計(jì)方式予以處理，這是把粗差劃分為隨機(jī)模型，經(jīng)過(guò)定權(quán)來(lái)清除粗差對(duì)測(cè)量結(jié)果造成干擾的一類(lèi)辦法。

傳統(tǒng)最小二乘估計(jì)的手段由于難以排除粗差的干擾，產(chǎn)生了缺陷，不過(guò)穩(wěn)健估計(jì)的手段可以憑借在數(shù)據(jù)中實(shí)施加權(quán)使得粗差信息的權(quán)值降低進(jìn)而排除粗差帶來(lái)的影響，從而讓數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性增強(qiáng)，可以應(yīng)對(duì)變形監(jiān)測(cè)的要求。鑒于此，本文在對(duì)變形監(jiān)測(cè)的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理時(shí)，運(yùn)用穩(wěn)健估計(jì)的方法，對(duì)其抗粗差特性進(jìn)行深入探究，同時(shí)和常用的最小二乘法做出比較。

1 模型建立

1.1 一元線性回歸分析原理及模型

實(shí)驗(yàn)牽涉到孔深和位移變化量?jī)蓚€(gè)參量，運(yùn)用的回歸模型屬于一元線性回歸模型[1]。這兩個(gè)指標(biāo)參量間的關(guān)系是經(jīng)過(guò)求算一個(gè)參量的線性回歸表達(dá)式來(lái)確認(rèn)的，即是y=a+bx+v中a與b的數(shù)值。其中：x是孔深；y是位移變化量；v是y的更正數(shù)值；S是下沉量y的中誤差；n是觀察測(cè)定數(shù)值；a是回歸方程常數(shù)項(xiàng)；b是回歸方程的斜率。

由方程y=a+bx+v得：

數(shù)據(jù)的測(cè)定步驟是等權(quán)觀測(cè)，經(jīng)過(guò)最小二乘法求算出a、b的數(shù)值：

中誤差：

1.2 穩(wěn)健估計(jì)原理及方法

穩(wěn)健估計(jì)是隸屬于極大似然估計(jì)的一類(lèi)特殊方式，可以確保所預(yù)估的參量不會(huì)受到粗差的干擾，其準(zhǔn)則是有效運(yùn)用測(cè)量數(shù)據(jù)當(dāng)中的有效信息，刪掉無(wú)效數(shù)據(jù)[2]。從客觀使用階段，無(wú)法精確知曉測(cè)定數(shù)據(jù)信息中的有用信息與其所占有的比例，因此從抗粗差的目的入手，需冒著降低效率的風(fēng)險(xiǎn)，去獲得比較穩(wěn)定且擁有實(shí)際效用的估計(jì)值。穩(wěn)健估計(jì)一般包含了三種，主要是M-估計(jì)、L-估計(jì)與R-估計(jì)。首先，M-估計(jì)一般被解釋為極大似然估計(jì)。主要是Huber參考早期出現(xiàn)的M-估計(jì)進(jìn)行優(yōu)化升級(jí)而產(chǎn)生。丹麥研究者Krarup等曾將穩(wěn)健估計(jì)運(yùn)用到測(cè)定領(lǐng)域。L-估計(jì)被稱(chēng)作排序線程組合預(yù)估。R-估計(jì)也被稱(chēng)作秩估計(jì)。本論文選擇在測(cè)量界運(yùn)用比較成熟普遍的M-估計(jì)展開(kāi)數(shù)據(jù)處理與操作。

M-估計(jì)的方式有許多，運(yùn)算方法近似于最小二乘法進(jìn)行平差，其中便于程序?qū)崿F(xiàn)的為選權(quán)迭代法[3]，主要是按照回歸殘差的數(shù)值高低確認(rèn)各位點(diǎn)的權(quán)重，給殘差比較大的位點(diǎn)賦予較小的權(quán)重或者零權(quán)值，以減弱其對(duì)回歸的干擾，實(shí)現(xiàn)穩(wěn)健的目標(biāo)。

權(quán)函數(shù)的確立屬于穩(wěn)健估計(jì)的核心。在測(cè)量階段，測(cè)量誤差表現(xiàn)為正態(tài)分布的特征，權(quán)函數(shù)則參考測(cè)定數(shù)據(jù)的殘值情況而確定，對(duì)常規(guī)范圍區(qū)段之內(nèi)的較小殘值賦上一般的權(quán)重，對(duì)比較大的殘差穩(wěn)健預(yù)估會(huì)減低此測(cè)量值的權(quán)重，或者在其殘差過(guò)高時(shí)將此觀測(cè)值的權(quán)重設(shè)置為零，由此達(dá)成去掉粗差的作用[4-6]。穩(wěn)健估計(jì)屬于一類(lèi)特別的極大似然估計(jì)，穩(wěn)健估計(jì)經(jīng)過(guò)去除不利測(cè)定數(shù)值，間接地增大準(zhǔn)確測(cè)定值權(quán)值的函數(shù)方法[7]。

穩(wěn)健估計(jì)里存在一種重要的模型，即高斯—馬爾可夫模型，詳細(xì)如下：

其穩(wěn)健估計(jì)準(zhǔn)則如下：

在穩(wěn)健預(yù)估過(guò)程中，對(duì)等權(quán)測(cè)定，權(quán)函數(shù)重點(diǎn)參考?xì)堉档那闆r來(lái)確定。在非等權(quán)觀測(cè)階段，關(guān)于穩(wěn)健估計(jì)應(yīng)配置的權(quán)重必須考量觀測(cè)權(quán)重的干擾，在不等權(quán)觀測(cè)里，若無(wú)需考量觀測(cè)權(quán)重，一般取，但穩(wěn)健估計(jì)就無(wú)法達(dá)到有效的抗差作用，對(duì)擁有穩(wěn)健特性的權(quán)函數(shù)，在兼顧各個(gè)權(quán)iP的狀況之下，其預(yù)估標(biāo)準(zhǔn)為：

如果觀測(cè)值彼此不相關(guān)，則（1）～（5）式里，權(quán)函數(shù)對(duì)應(yīng)的迭代模型可以歸納如下：

相應(yīng)地，對(duì)于相關(guān)的觀測(cè)值，此時(shí)穩(wěn)健估計(jì)的權(quán)函數(shù)模型為：

2 實(shí)例分析

2.1 數(shù)據(jù)選取

為進(jìn)一步了解本研究制定方案的有效性，現(xiàn)將深圳某地鐵路段從建工點(diǎn)的基坑監(jiān)測(cè)信息納入檢驗(yàn)，這一基地表現(xiàn)出從西往東高度遞減的趨勢(shì)，且為3個(gè)臺(tái)地地形，其高程先后處在130 m、110 m、70 m～90 m，而地塊當(dāng)中相對(duì)高差大致在10 m～70 m。區(qū)域東南端屬于廢舊的竹坑水庫(kù)，經(jīng)測(cè)量，水面高程大致在65 m；但西側(cè)邊坡要求挖深降低高程，最大高度差約為49 m。本文數(shù)據(jù)是由CX-3C型基坑測(cè)斜儀采集得到的，本實(shí)驗(yàn)選取第19期的前16組數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，如表1所示，經(jīng)過(guò)驗(yàn)證，該數(shù)據(jù)不含粗差。在使用最小二乘法的前提下，結(jié)合穩(wěn)健估計(jì)的方法，就其回歸函數(shù)實(shí)施系數(shù)運(yùn)算，評(píng)估后幾組的移動(dòng)變化情況。先后探討具備粗差以及不存在粗差的情況下，兩類(lèi)方式的精確性。

表1 原始監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)

2.2 實(shí)驗(yàn)分析

為對(duì)比最小二乘法與穩(wěn)健估計(jì)在變形觀測(cè)項(xiàng)目數(shù)據(jù)處理中的差異，通過(guò)編寫(xiě)Matlab代碼執(zhí)行最小二乘法與穩(wěn)健估計(jì)步驟的操作，進(jìn)行程序?qū)崿F(xiàn)，對(duì)兩者精度展開(kāi)對(duì)比。同時(shí)，當(dāng)觀測(cè)數(shù)據(jù)中存在粗差時(shí)，比較穩(wěn)健估計(jì)法與最小二乘法的抗差性，由此體現(xiàn)穩(wěn)健估計(jì)對(duì)粗差的抗干擾能力。

2.2.1 在不含粗差的情況下

在不包含粗差的狀況下，殘差圖如圖1所示，對(duì)回歸方程的系數(shù)依次運(yùn)用最小二乘法和穩(wěn)健估計(jì)的方式求算，同時(shí)獲得對(duì)應(yīng)的回歸表達(dá)式，并展開(kāi)比較。

圖1 不含粗差情況下得到的殘差圖

經(jīng)過(guò)最小二乘法求出的方程系數(shù)為a1=1.8403， b1=-0.2099，因此回歸表達(dá)式為：

基于此，借助穩(wěn)健估計(jì)的手段運(yùn)算出a2=1.8463， b2=-0.2107，對(duì)應(yīng)回歸方程如下：

通過(guò)兩個(gè)表達(dá)式的形式，對(duì)于不存在粗差的狀況，以上兩類(lèi)方法獲取的結(jié)果基本相同，通過(guò)Matlab畫(huà)出兩者的函數(shù)曲線如圖2所示，可以看到兩條直線基本重合。比較兩類(lèi)算法獲得的中誤差，最小二乘法運(yùn)算所獲得的結(jié)果中誤差S1=0.4997，穩(wěn)健估計(jì)運(yùn)算的結(jié)果中誤差S2=0.5016，發(fā)現(xiàn)在不包含粗差的狀況下，最小二乘法和穩(wěn)健估計(jì)所獲得的結(jié)果與精度都比較接近。

圖2 不含粗差情況下最小二乘法與穩(wěn)健估計(jì)的對(duì)比圖

2.2.2 在含粗差的情況下

為了驗(yàn)證穩(wěn)健估計(jì)的抗差性，將原始數(shù)據(jù)中第7組的數(shù)據(jù)位移變化量改為1.65 mm，增加粗差之后結(jié)果如表2所示。

表2 加入粗差后的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)

所獲得的殘差圖如圖3所示，經(jīng)過(guò)最小二乘法求算對(duì)應(yīng)方程系數(shù)，可得 a3= 1.8903，b3= -0.2143，得到對(duì)應(yīng)的回歸方程為：

圖3 在含有粗差的情況下得到的殘差圖

基于此，借助穩(wěn)健估計(jì)回歸研究存在粗差的數(shù)據(jù)，從中獲取方程系數(shù)a4=1.8463，b4=-0.2107，則對(duì)應(yīng)的一元線性方程如下：

在沒(méi)有粗差的情況下，最小二乘的方法與穩(wěn)健回歸的方法產(chǎn)生的回歸模型相對(duì)一致，但在具有粗差的情況下，兩類(lèi)方式產(chǎn)生的回歸模型存在非常明顯的差異。借助圖像能夠了解到，最小二乘法產(chǎn)生的回歸方程出現(xiàn)了往粗差值貼近的現(xiàn)象，但是穩(wěn)健回歸下具有更顯著的抗差性。

經(jīng)過(guò)把這兩類(lèi)算法所獲得的方程圖像繪制在同一幅圖上如圖4所示，可知兩類(lèi)算法獲得的方程圖像產(chǎn)生了顯著的偏離狀況，伴隨孔深的增長(zhǎng)，變化量之間的偏差也愈來(lái)愈大[8-9]。

對(duì)比兩種運(yùn)算方法獲取的中誤差，S3=0.5302為通過(guò)最小二乘法計(jì)算的中誤差值，S4=0.5016為通過(guò)穩(wěn)健估計(jì)計(jì)算的中誤差值。對(duì)比發(fā)現(xiàn)，在監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)含有粗差時(shí)，最小二乘法將粗差進(jìn)行引入，平差結(jié)果不能反映真實(shí)情況，而穩(wěn)健估計(jì)法能合理地將粗差剔除，在精確度和可靠性上均好于最小二乘法。

3 結(jié)論

1）本研究借助穩(wěn)健估計(jì)以及最小二乘法，就樣本基坑的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)實(shí)施了多項(xiàng)型曲線擬合，從中開(kāi)展對(duì)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的預(yù)估?；趦深?lèi)方法的平差情況，不存在粗差時(shí)，穩(wěn)健回歸方法和最小二乘法在結(jié)果和精確度上比較接近，但最小二乘法實(shí)施起來(lái)相對(duì)簡(jiǎn)便。而如果觀測(cè)數(shù)據(jù)中存在粗差，最小二乘法會(huì)產(chǎn)生粗差引入的問(wèn)題，導(dǎo)致平差結(jié)果無(wú)法體現(xiàn)客觀數(shù)據(jù)，穩(wěn)健估計(jì)可以有效應(yīng)對(duì)粗差在平差系統(tǒng)的影響，解析算法則展現(xiàn)出良好的抗差性，合理利用有效信息，不管從精確度還是從結(jié)果的可靠性上均要好于最小二乘法。

2）在真實(shí)的測(cè)量工作過(guò)程中粗差是不可避免的誤差，能夠選取穩(wěn)健估計(jì)的辦法對(duì)這類(lèi)粗差進(jìn)行去除，進(jìn)而獲得更為精確的數(shù)據(jù)結(jié)果。同時(shí)，在監(jiān)測(cè)環(huán)境受限的情況下，運(yùn)用穩(wěn)健估計(jì)的平差方法也可以對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行較為準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)。