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        內(nèi)引外聯(lián)巧構造

        2021-06-17 19:30:52朱鳴
        初中生世界·九年級 2021年6期
        關鍵詞:外聯(lián)格點銳角三角

        朱鳴

        在解決網(wǎng)格圖形中的銳角三角函數(shù)問題時,我們往往借助格點來確定直角三角形,并通過對圖形的平移、翻折、旋轉等變換,將銳角放置其中,從而達到解決問題的目的。

        【引例】在如圖1所示的網(wǎng)格中,每個小正方形的邊長均為1,點A、B、C都在格點上,求tan∠ACB的值。

        【思路一】“內(nèi)引”:其思路是在三角形內(nèi)部作高,通過構造直角三角形解決問題。如圖2,過點B作BF⊥AC交AC于點F,將∠ACB放置于Rt△BCF中,通過等積法兩次計算△ABC的面積,一次以AB為底,一次以AC為底,求出BF的長,然后在Rt△BCF中求出CF的長,從而解決問題。這種方法也是解決此類問題的通法。

        【思路二】“外聯(lián)”:其思路是通過延長已知線段,或連接某些格點,在原三角形外部進行擴充,將所求問題放置其中予以解決。如圖2,我們可以將視角集中于整個網(wǎng)格圖形的左下側,通過延長線段CB至格點E,再連接AE,即可構造Rt△ACE。由于每個小正方形的對角線長度相等,所以tan∠ACB=[AECE]=[13]。

        無論是“內(nèi)引”還是“外聯(lián)”,其目的都是構造直角三角形,為求銳角三角函數(shù)創(chuàng)造條件。下面我們結合圖形的變換來探討這兩種方法的運用。

        一、通過平移進行外聯(lián)

        在網(wǎng)格圖中,格點之間連線的交點不一定在格點處,形成的銳角也往往不在直角三角形中,如何求它們的三角函數(shù)值呢?我們先看下面的例題。

        例1 在如圖3所示的網(wǎng)格中,每個小正方形的邊長均為1,點A、B、C、D都在格點上,且AB、CD相交于點P,求tan∠APD的值。

        【思路分析】通過“內(nèi)引”的辦法比較困難,雖然過點B作CD邊上的高或過點D作AB邊上的高容易,但構造直角三角形后如何求出∠APD的對邊卻比較困難。如果以點A為原點,建立平面直角坐標系,可以通過求直線交點的方法求出點P的坐標,但后續(xù)求直角三角形中直角邊的長比較麻煩。因此,“內(nèi)引”不成,我們便想辦法通過平移變換進行“外聯(lián)”。將線段CD向上平移1個單位至BE的位置,將∠APD轉化為∠ABE,此時角的頂點在格點上,便于我們連接格點,構造直角三角形解決問題。如圖4,再連接AE,容易發(fā)現(xiàn)△ABE是等腰直角三角形,所以∠ABE=45°,問題得以解決。當然,如果平移以后,仍然是一個一般三角形,我們可以繼續(xù)運用“內(nèi)引”的辦法來解決問題。

        二、通過翻折進行外聯(lián)

        在圖形翻折的過程中,幾何元素的不變性值得我們關注。在網(wǎng)格圖中,圖形的翻折會改變角的位置,但不改變其大小。如圖5和圖6,看似存在差異,但實質上,將圖5沿著網(wǎng)格中間的水平線翻折即可得到圖6,兩幅圖中交點P處所成的銳角大小不變,在翻折中只是改變了它的位置。這樣的翻折在網(wǎng)格圖中有什么應用呢?請看下面的例題。

        例2 在如圖7所示的網(wǎng)格中,每個小正方形的邊長均為1,點A、B、C都在格點上,求tan2∠CAB的值。

        【思路分析】在解決2∠CAB問題時,可以利用圖形的翻折進行構造。翻折方法一:如圖8,將△ABC沿直線AC翻折,即可得到∠BAB′=2∠BAC,然后在△ABB′中通過“內(nèi)引”,構造AB或AB′邊上的高,以通法求解。其中AB=AB′=2,BB′=2BF(BF的長可以在△ABC中通過等積法來求)。翻折方法二:如圖9,將△ABC和網(wǎng)格線沿直線AB翻折,可得到∠CAC′=2∠BAC,然后在△ACC′中通過“內(nèi)引”,構造AC或AC′邊上的高,以通法求解。翻折方法三:如果我們追尋“等腰出,倍角現(xiàn)”這條線索,如圖10,只需過點B作BE⊥AC,交AC于點E,將△ABE沿著BE翻折,使點A落在AC上的A′處,連接A′B、A′D,由外角的性質可知∠A′BD=2∠CAB。雖然△A′BD不是格點三角形,但我們?nèi)钥梢酝ㄟ^“內(nèi)引”三角形的高解決問題。

        三、通過旋轉進行內(nèi)引

        對于旋轉,看似只有兩個元素(旋轉中心和旋轉角度),但它不像平移和翻折那樣比較直觀,相對而言,思維要求和操作難度都比較大,因此,我們有時可以借助線段自身的旋轉達到發(fā)現(xiàn)的目的。

        例3 在如圖11所示的網(wǎng)格中,每個小正方形的邊長均為1,點A、B、C、O都在格點上,D是AC邊上的任意一點,AE⊥BD于點E,求sin∠BEO的值。

        【思路分析】乍一看無從下手,但結合條件AE⊥BD,再仔細觀察,我們會發(fā)現(xiàn)AO⊥BO,所以有∠OAE=∠OBD,再結合AO=BO這樣的相等關系,能啟發(fā)我們可以從旋轉的角度考慮問題。若將△AOE繞點O逆時針旋轉90°,使它與△BOF重合,在旋轉過程中,△AOE的形狀、大小不會變化,而旋轉角度是90°,故明確了△OEF的特殊性——等腰直角三角形,所以∠BEO=45°,此時求sin∠BEO的值也就水到渠成了。

        對于求解銳角三角函數(shù)類問題而言,網(wǎng)格僅僅是一個載體,內(nèi)引和外聯(lián)是解題的方法,平移、翻折和旋轉是解題的策略。有了網(wǎng)格中隱含的直角和相等的線段,結合解題的方法與策略,難題就會變得容易多了。

        (作者單位:江蘇省太倉市實驗中學)

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