馬 天，李嬌嬌，李 赟

(西安科技大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，陜西 西安 710054)

0 引 言

虛擬牙齒矯正系統(tǒng)通過計(jì)算機(jī)逼真地模擬牙齒矯正過程，為患者量身定制治療計(jì)劃，進(jìn)而將不整齊的牙齒排列整齊。牙齒(剛體)改變位置通常會(huì)引起牙齦(軟組織)變形，因此精確、高效地模擬牙齦軟組織的形變是該系統(tǒng)重要的一部分。在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)和計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)中，通常用三角形網(wǎng)格來表示復(fù)雜的三維實(shí)體模型，在模擬牙齦軟組織形變過程中通常會(huì)在牙齦表面產(chǎn)生褶皺，這種褶皺會(huì)影響形變仿真的真實(shí)性，因此對(duì)牙齦表面進(jìn)行細(xì)分光滑處理顯得十分必要。

細(xì)分算法的基本思想最早追溯到50年代中期到70年代末。CATMULL和CLARK第1次明確地提出了細(xì)分曲面的概念[1]。80年代初到90年代，形成了很多經(jīng)典的細(xì)分算法。90年代中期，細(xì)分理論逐步完善并開始應(yīng)用于工業(yè)鄰域。近年來，三角網(wǎng)格細(xì)分技術(shù)不斷被應(yīng)用到計(jì)算機(jī)視覺、模式識(shí)別以及虛擬現(xiàn)實(shí)等鄰域[2]。一般來說，三角網(wǎng)格模型的網(wǎng)格越密集，三角網(wǎng)格逼近程度越高，模型表面光滑度越好，模型精度越高[3]。均勻的小尺寸單元雖然可以保證滿足網(wǎng)格的質(zhì)量和計(jì)算精度，但會(huì)在過度平坦的區(qū)域產(chǎn)生過多的單元，從而極大地降低程序的時(shí)空效率[4]。因此，生成幾何自適應(yīng)光順曲面網(wǎng)格就十分有必要。

用特殊的細(xì)分規(guī)則，在保證網(wǎng)格曲面光滑度要求的同時(shí)減少網(wǎng)格數(shù)量，這種方法就稱為網(wǎng)格自適應(yīng)細(xì)分[5]。自適應(yīng)細(xì)分算法就是在均勻細(xì)分算法的基礎(chǔ)上，采用特殊的判定準(zhǔn)則，通常是設(shè)置閾值來判斷某個(gè)三角網(wǎng)格是否進(jìn)行下一次迭代細(xì)分[6]。通過控制細(xì)分深度，使那些滿足精度的面片不再參與細(xì)分，而不滿足的繼續(xù)細(xì)分，從而大大減少冗余面片，提高模型的處理速度，減輕計(jì)算機(jī)的負(fù)擔(dān)[7]。

自適應(yīng)細(xì)分判定準(zhǔn)則主要包括非幾何準(zhǔn)則和幾何準(zhǔn)則2類。非幾何準(zhǔn)則主要取決于外部環(huán)境，根據(jù)感興趣區(qū)域或可見區(qū)域?qū)δＰ瓦M(jìn)行自適應(yīng)細(xì)分。幾何準(zhǔn)則通過計(jì)算一小塊鄰域的幾何信息來決定細(xì)分深度，主要包括：基于網(wǎng)格控制頂點(diǎn)與其極限位置間距離的準(zhǔn)則[8]；基于網(wǎng)格面片與其相應(yīng)曲面片間距離的準(zhǔn)則；基于控制頂點(diǎn)曲率的準(zhǔn)則；基于三角面片面積的準(zhǔn)則；基于碰撞檢測(cè)的準(zhǔn)則；基于運(yùn)動(dòng)時(shí)間的準(zhǔn)則[9]；基于網(wǎng)格面夾角的準(zhǔn)則。實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常選擇幾何準(zhǔn)則作為自適應(yīng)細(xì)分判定準(zhǔn)則。

基于網(wǎng)格控制頂點(diǎn)與其極限位置間距離的準(zhǔn)則，僅適用于逼近型細(xì)分，對(duì)于插值型細(xì)分，網(wǎng)格控制頂點(diǎn)與其極限位置間距離始終為零?；诰W(wǎng)格面片與其相應(yīng)曲面片間距離的準(zhǔn)則，要求細(xì)分算法有對(duì)應(yīng)的參數(shù)表示，但并非所有細(xì)分曲面都有參數(shù)表示?；诳刂祈旤c(diǎn)曲率的準(zhǔn)則中，離散點(diǎn)曲率的計(jì)算比較復(fù)雜[10]，該方法也具有一定的局限性?；谌敲嫫娣e的準(zhǔn)則，對(duì)于面積相同的規(guī)則三角形和狹長(zhǎng)三角形難以很好的區(qū)分。基于碰撞檢測(cè)的準(zhǔn)則，是指當(dāng)研究對(duì)象與其他物體發(fā)生碰撞時(shí)[11]，對(duì)碰撞區(qū)域進(jìn)行細(xì)分從而避免發(fā)生穿透等來更加精確的模擬物體運(yùn)動(dòng)。鮑義東等將這種基于碰撞檢測(cè)的自適應(yīng)細(xì)分算法應(yīng)用在虛擬手術(shù)訓(xùn)練系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)了較好的仿真效果[12]。但這里研究的是軟組織的形變仿真，不適合使用該準(zhǔn)則?；谶\(yùn)動(dòng)時(shí)間的準(zhǔn)則，是指根據(jù)物體在不同時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行細(xì)分，因此也不適用于研究鄰域?；诰W(wǎng)格面夾角的準(zhǔn)則，也叫做二面角準(zhǔn)則，最早由AMRESH和FARIN等提出，是目前廣泛采用的幾何準(zhǔn)則[13]。近年來，這種方法主要應(yīng)用在其他仿真鄰域，對(duì)于牙齦軟組織形變仿真涉及到的不多。陳云翔等在對(duì)三維地形進(jìn)行仿真時(shí)提出了平坦度的概念，其自適應(yīng)判定準(zhǔn)則以一個(gè)面片為基準(zhǔn)，判斷該面片1-鄰域面片與該基準(zhǔn)面片的夾角平均值與閾值的大小關(guān)系[14]。周怡等在對(duì)CAD零件模型進(jìn)行自適應(yīng)細(xì)分時(shí)采用基于平均法向量的自適應(yīng)細(xì)分判定準(zhǔn)則，以一個(gè)頂點(diǎn)為基準(zhǔn)，判斷該頂點(diǎn)1-鄰域面片每個(gè)面片的平均法向量與其法向量夾角的平均值與閾值的大小關(guān)系。王艷艷等在進(jìn)行自適應(yīng)細(xì)分時(shí)采用頂點(diǎn)1-鄰域內(nèi)與該頂點(diǎn)相連較長(zhǎng)3條邊的端點(diǎn)構(gòu)成的平面去代替其平均平面，并將頂點(diǎn)到其平均平面的距離作為判斷頂點(diǎn)重要度的標(biāo)準(zhǔn)來對(duì)三角網(wǎng)格進(jìn)行自適應(yīng)細(xì)分[15]，但該方法不僅會(huì)造成較差的細(xì)分精度，細(xì)分后三角面片數(shù)仍較多。鐘李濤等在對(duì)布料進(jìn)行形變仿真時(shí)提出的頂點(diǎn)權(quán)重變形度也是一種基于二面角的方法[16]，但該方法在實(shí)際應(yīng)用中需要鍵入命令來執(zhí)行細(xì)分程序，因而靈活性不高。

總之，上述方法在進(jìn)行自適應(yīng)細(xì)分時(shí)或者細(xì)分效率較低，或者生成的三角網(wǎng)格質(zhì)量較低、曲面光順質(zhì)量不高。主要研究虛擬牙齒矯正系統(tǒng)中牙齦軟組織的形變仿真，為了更加真實(shí)、高效地模擬牙齦軟組織的形變，需要對(duì)形變后牙齦三角網(wǎng)格進(jìn)行自適應(yīng)細(xì)分。因此，如何在保證細(xì)分效率的同時(shí)，使生成的三角網(wǎng)格更加規(guī)則，曲面光順性更好，成為研究的主要問題。

1 Loop細(xì)分規(guī)則

Loop細(xì)分是一種基于三角網(wǎng)格、逼近型、1-4面分裂細(xì)分算法，由美國(guó)猶他大學(xué)的CHARLES LOOP于1987年在其碩士論文中提出[17]。該算法細(xì)分規(guī)則簡(jiǎn)單，光滑性好，生成的曲面質(zhì)量較高，但對(duì)尖銳特征的保持能力較弱，處理后曲面會(huì)產(chǎn)生較大的收縮，在正則點(diǎn)處可以達(dá)到C2連續(xù)，在奇異點(diǎn)處達(dá)到C1連續(xù)，是目前應(yīng)用最廣泛的細(xì)分算法之一[18]。以Loop細(xì)分算法作為研究基礎(chǔ)來對(duì)三角網(wǎng)格進(jìn)行自適應(yīng)細(xì)分。

圖1 Loop細(xì)分過程

圖2 Loop細(xì)分規(guī)則

2 三角網(wǎng)格質(zhì)量評(píng)價(jià)方法

在虛擬牙齦軟組織形變仿真過程中，牙齦表面通常會(huì)產(chǎn)生褶皺影響仿真效果。為了對(duì)比仿真效果，提高仿真精度，并進(jìn)行后續(xù)的網(wǎng)格處理，研究三角網(wǎng)格質(zhì)量評(píng)價(jià)方法具有重要意義。三角網(wǎng)格質(zhì)量是指三角形幾何形狀的合理性，一般通過三角形單元的邊長(zhǎng)、面積、內(nèi)角等來衡量[19]。三維模型中三角網(wǎng)格的數(shù)量、網(wǎng)格的大小、網(wǎng)格的形狀以及網(wǎng)格單元拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是決定計(jì)算效率和精度的主要因素。因此網(wǎng)格質(zhì)量度量方法主要包括：基于曲率的方法、基于三角形大小的方法、基于三角形規(guī)則度的方法、基于頂點(diǎn)度數(shù)的方法和基于二面角的方法。

基于曲率的方法。曲率可以度量曲面的凹凸程度，通常用平均曲率與原曲率的差值來確定頂點(diǎn)的調(diào)整量進(jìn)而進(jìn)行網(wǎng)格光順。劉勝蘭等提出主曲率均勻的光順?biāo)惴?，以鄰點(diǎn)的主曲率和主方向的加權(quán)平均值作為光順后頂點(diǎn)的主曲率和主方向來確定頂點(diǎn)的調(diào)整量，從而較好的保持了模型的體積[20]?；谌切未笮〉姆椒āＨ切蔚拇笮∈菦Q定網(wǎng)格質(zhì)量的一個(gè)重要標(biāo)準(zhǔn)，過大的三角形會(huì)影響模型的精度，過小的三角形會(huì)增加計(jì)算負(fù)擔(dān)。潘炯波通過計(jì)算三角面片的面積與整個(gè)三角網(wǎng)格模型平均面積的比值，并比較該值與設(shè)定的閾值標(biāo)準(zhǔn)的大小來確定細(xì)分區(qū)域[21]?；谌切我?guī)則度的方法。通常三角面片越接近正三角形，三維網(wǎng)格模型的質(zhì)量越好。規(guī)則度度量最為常見的是頂點(diǎn)周圍的最小角和最大角，另外還有網(wǎng)格外接圓半徑等[22]。王忠飛等采用半徑比的方法來評(píng)價(jià)三維模型的變形效果[23]，該方法不利于判斷整個(gè)三維模型形變區(qū)域的光順性。基于頂點(diǎn)度數(shù)的方法,良好的網(wǎng)格模型不僅需要每個(gè)三角形接近正三角形，而且要求三角形之間具有良好的拓?fù)潢P(guān)系[24]。頂點(diǎn)的度數(shù)是指共享該頂點(diǎn)的邊的條數(shù)，是衡量三角網(wǎng)格模型質(zhì)量又一個(gè)重要的標(biāo)準(zhǔn)?；诙娼堑姆椒??；诙娼堑姆椒ㄍㄟ^計(jì)算三維網(wǎng)格相鄰三角面片法向量夾角來度量粗糙程度[25]。史卓等通過對(duì)三角面片兩兩之間的夾角閾值做判斷，并按一定的細(xì)分規(guī)則進(jìn)行局部細(xì)分，從而使模型局部特征明顯的部分更加精細(xì)[26]。

網(wǎng)格質(zhì)量?jī)?yōu)化通過將節(jié)點(diǎn)不斷的重定位到其鄰域空間內(nèi)的最優(yōu)位置來提升曲面網(wǎng)格的質(zhì)量。其目標(biāo)是在精確地表示原始模型的基礎(chǔ)上，盡可能地輸出更為規(guī)則的網(wǎng)格，得到頂點(diǎn)分布比較均勻、三角形也盡可能接近正三角形的網(wǎng)格。但對(duì)網(wǎng)格形變操作后，衡量網(wǎng)格形變效果也是一個(gè)重要的方面。為了改善形變仿真后模型整體的仿真效果、提升網(wǎng)格質(zhì)量，網(wǎng)格光順質(zhì)量度量是必不可少的環(huán)節(jié)?；诠饣戎蚚27]，采用平均光滑度來度量網(wǎng)格光順質(zhì)量。

3 細(xì)分判定改進(jìn)

3.1 頂點(diǎn)光滑度判定

文中基于二面角準(zhǔn)則，提出頂點(diǎn)光滑度判定準(zhǔn)則來對(duì)三角網(wǎng)格進(jìn)行自適應(yīng)細(xì)分，細(xì)分方式基于Loop細(xì)分模式。

三角網(wǎng)格中各個(gè)頂點(diǎn)vi的頂點(diǎn)光滑度是通過求該頂點(diǎn)1-鄰域內(nèi)相鄰三角面片對(duì)的法向量夾角的平均值求得的，其公式為

(1)

式中k為頂點(diǎn)1-鄰域內(nèi)三角面片的個(gè)數(shù)；nj和n(j+1)%k分別為該頂點(diǎn)1-鄰域內(nèi)的相鄰三角面片對(duì)Cj和C(j+1)%k的單位法向量；α為相鄰三角面片對(duì)的法向量夾角。頂點(diǎn)1-鄰域三角面片及其法向量如圖3所示。

圖3通過設(shè)定光滑閾值來選取自適應(yīng)細(xì)分區(qū)域，光滑閾值為所有頂點(diǎn)的頂點(diǎn)光滑度的平均值，即

圖3 頂點(diǎn)1-鄰域三角面片及其法向量

(2)

式中θi為細(xì)分前每個(gè)頂點(diǎn)的頂點(diǎn)光滑度；N為細(xì)分前模型的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)。

根據(jù)頂點(diǎn)光滑度及光滑閾值的定義可知：如果頂點(diǎn)1-鄰域區(qū)域比較光滑，那么該頂點(diǎn)1-鄰域內(nèi)相鄰三角面片對(duì)的法向量夾角就越小，這樣頂點(diǎn)光滑度就越小；否則，頂點(diǎn)光滑度就越大。將頂點(diǎn)光滑度作為衡量頂點(diǎn)1-鄰域區(qū)域光滑度大小的標(biāo)準(zhǔn)，然后再將該值與光滑閾值進(jìn)行比較，從而來確定自適應(yīng)細(xì)分區(qū)域。因此，可以說頂點(diǎn)的頂點(diǎn)光滑度和設(shè)定的光滑閾值決定著整個(gè)網(wǎng)格的自適應(yīng)細(xì)分情況。采用這種細(xì)分策略，對(duì)在形變過程中遭受拉伸扭曲較為劇烈的區(qū)域中的三角面片進(jìn)行自適應(yīng)細(xì)分，可以顯著地減少網(wǎng)格的扭曲程度，獲得更好的變形效果。在三維網(wǎng)格質(zhì)量評(píng)價(jià)背景下，通過這種自適應(yīng)細(xì)分算法生成的網(wǎng)格質(zhì)量相對(duì)更優(yōu)。

3.2 改進(jìn)細(xì)分算法

在對(duì)三角網(wǎng)格進(jìn)行自適應(yīng)細(xì)分時(shí)，通過比較頂點(diǎn)的頂點(diǎn)光滑度與光滑閾值的大小，可以確定細(xì)分區(qū)域。為了降低形變時(shí)間開銷，提高形變速度，文中對(duì)判定為需要細(xì)分的區(qū)域進(jìn)行一次細(xì)分操作，對(duì)判定為不需要細(xì)分的區(qū)域不進(jìn)行細(xì)分，如果θi>θ，則表示需要對(duì)該頂點(diǎn)周圍三角面片進(jìn)行細(xì)分；如果θi≤θ，則表示不需要對(duì)該頂點(diǎn)周圍三角面片進(jìn)行細(xì)分。

改進(jìn)細(xì)分算法如下

Step 1.初始狀態(tài)下將形變區(qū)域中所有頂點(diǎn)、邊、面都標(biāo)記為False，表示不需要進(jìn)行細(xì)分。

Step 2.計(jì)算頂點(diǎn)光滑度，設(shè)定光滑閾值。

Step 3.將每個(gè)頂點(diǎn)的頂點(diǎn)光滑度與初始設(shè)定的光滑閾值進(jìn)行比較。

Step 3.1.若頂點(diǎn)光滑度大于光滑閾值，則將該頂點(diǎn)標(biāo)記為true。

Step 3.2.若一條邊上2個(gè)頂點(diǎn)都為True，則該邊標(biāo)記為True。

Step 3.3.若一個(gè)三角面片上3個(gè)頂點(diǎn)都為True，則該面標(biāo)記為True。標(biāo)記為True表示該元素需要進(jìn)行細(xì)分。

Step 4.對(duì)標(biāo)記為True的三角面進(jìn)行Loop細(xì)分。

Step 4.1.計(jì)算每個(gè)三角網(wǎng)格上增加的新E-頂點(diǎn)的位置；更新原始三角網(wǎng)格頂點(diǎn)的位置作為新V-頂點(diǎn)。

Step 4.2.順次連接新E-頂點(diǎn)，連接新E-頂點(diǎn)與新V-頂點(diǎn)，重新建立連接信息，并計(jì)算每個(gè)新頂點(diǎn)的法向量和每個(gè)新面的法向量，得到新的控制網(wǎng)格。

Step 4.3.將新生成的頂點(diǎn)、邊、面標(biāo)記為False，表示完成對(duì)原始三角面片的一次細(xì)分操作。

Step 5.當(dāng)所有頂點(diǎn)、邊、面都標(biāo)記為False時(shí)，說明此時(shí)的細(xì)分曲面滿足了細(xì)分需求，完成細(xì)分操作，生成細(xì)分曲面。

采用平均光滑度來度量自適應(yīng)細(xì)分效果，平均光滑度為細(xì)分后所有頂點(diǎn)的頂點(diǎn)光滑度之和與模型頂點(diǎn)個(gè)數(shù)之商，其公式為

(3)

式中θi為細(xì)分后每個(gè)頂點(diǎn)的頂點(diǎn)光滑度；M為細(xì)分后模型的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)。這種方法綜合考慮了細(xì)分后網(wǎng)格頂點(diǎn)個(gè)數(shù)對(duì)判斷細(xì)分網(wǎng)格質(zhì)量的影響，因而可以更加合理的評(píng)價(jià)細(xì)分算法的性能。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

4.1 實(shí)驗(yàn)環(huán)境及實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

實(shí)驗(yàn)基于Intel(R)Core(TM)i5-3230 M CPU 2.60 GHz處理器，Intel(R)HD Graphics 4000顯卡的筆記本電腦，在Windows 7操作系統(tǒng)，Visual Studio 2019開發(fā)環(huán)境下，采用C++語言并利用VTK開源庫(kù)，將文中改進(jìn)的基于頂點(diǎn)光滑度的三角網(wǎng)格自適應(yīng)細(xì)分算法應(yīng)用在牙齦軟組織的形變仿真上。

通過查閱國(guó)內(nèi)外關(guān)于自適應(yīng)細(xì)分算法研究的文獻(xiàn)發(fā)現(xiàn)：近年來對(duì)三維網(wǎng)格構(gòu)成的牙齦軟組織進(jìn)行自適應(yīng)細(xì)分的研究較少，對(duì)于軟組織方面的文獻(xiàn)也較少且不具有代表性；許多自適應(yīng)細(xì)分算法是應(yīng)用在機(jī)械零件或者布料仿真鄰域。布料相對(duì)機(jī)械零件來說，與軟組織較為相似，都不屬于剛體。因此，選擇鐘李濤等應(yīng)用在布料上的自適應(yīng)細(xì)分算法與本章改進(jìn)的自適應(yīng)細(xì)分算法進(jìn)行對(duì)比[16]。這篇文章雖然將自適應(yīng)細(xì)分算法應(yīng)用在布料仿真上，但主要是為了對(duì)三維模型進(jìn)行自適應(yīng)細(xì)分，因此算法應(yīng)該都是相通的。

將改進(jìn)的細(xì)分算法(簡(jiǎn)記為文中算法)與鐘李濤等采用的基于頂點(diǎn)權(quán)重變形度的細(xì)分算法(文獻(xiàn)[16])分別應(yīng)用在牙齦軟組織形變仿真上并進(jìn)行對(duì)比。為了能準(zhǔn)確地對(duì)比仿真結(jié)果，文中選用頂點(diǎn)個(gè)數(shù)、面片個(gè)數(shù)、總形變時(shí)間、細(xì)分時(shí)間、細(xì)分時(shí)間占比以及平均光滑度6個(gè)指標(biāo)來進(jìn)行分析。實(shí)驗(yàn)中對(duì)牙齒施加較小的力使牙齒平移或旋轉(zhuǎn)，在大量牙頜模型測(cè)試的基礎(chǔ)上選取一口牙頜模型中下頜的3顆牙齒(磨牙、前磨牙、切牙)進(jìn)行數(shù)據(jù)展示分析，下頜牙齒模型如圖4所示，頂點(diǎn)數(shù)60 171，面片數(shù)120 338。

圖4 下頜牙齒模型

4.2 數(shù)值度量結(jié)果分析

牙齦形變過程包括前期外力作用下的形變和自適應(yīng)細(xì)分下的形變2個(gè)步驟，因此總形變時(shí)間包括外力作用下的形變時(shí)間和細(xì)分時(shí)間2部分。其中，前期外力作用下的形變?cè)谖墨I(xiàn)[27]中已經(jīng)進(jìn)行分析，主要分析自適應(yīng)細(xì)分產(chǎn)生的形變。圖5～圖8為對(duì)形變區(qū)域采用不同自適應(yīng)細(xì)分算法細(xì)分三角網(wǎng)格后，形變區(qū)域頂點(diǎn)個(gè)數(shù)和面片個(gè)數(shù)的對(duì)比情況。從圖5、6、7、8可以看出，自適應(yīng)細(xì)分增加了頂點(diǎn)個(gè)數(shù)以及面片個(gè)數(shù)，并且改進(jìn)算法相對(duì)文獻(xiàn)[16]算法細(xì)分后頂點(diǎn)個(gè)數(shù)和面片個(gè)數(shù)都較大。因此，相比未進(jìn)行自適應(yīng)細(xì)分的情況來說，增加自適應(yīng)細(xì)分算法會(huì)使整個(gè)牙齦形變時(shí)間增加，即總形變時(shí)間增加。為了更好的對(duì)比細(xì)分算法，這里主要對(duì)比自適應(yīng)細(xì)分時(shí)的網(wǎng)格細(xì)分時(shí)間。通過對(duì)比不同細(xì)分算法的細(xì)分效率和細(xì)分效果，對(duì)改進(jìn)算法進(jìn)行分析。牙齦網(wǎng)格的細(xì)分速度通過細(xì)分時(shí)間占比來度量，細(xì)分時(shí)間占總形變時(shí)間越小，細(xì)分速度越快，細(xì)分效率越高；牙齦網(wǎng)格的細(xì)分效果通過平均光滑度來度量，平均光滑度越小，細(xì)分后牙齦褶皺越少，細(xì)分效果越好。

圖5 牙齒平移時(shí)細(xì)分后頂點(diǎn)個(gè)數(shù)對(duì)比

圖6 牙齒平移時(shí)細(xì)分后面片個(gè)數(shù)對(duì)比

圖7 牙齒旋轉(zhuǎn)時(shí)細(xì)分后頂點(diǎn)個(gè)數(shù)對(duì)比

圖8 牙齒旋轉(zhuǎn)時(shí)細(xì)分后面片個(gè)數(shù)對(duì)比

牙齒平移牙齦曲面網(wǎng)格細(xì)分效率對(duì)比見表1，牙齒旋轉(zhuǎn)牙齦曲面網(wǎng)格細(xì)分效率對(duì)比見表2，2個(gè)表中分別對(duì)比了2種算法下3類牙齒平移和旋轉(zhuǎn)后的牙齦總形變時(shí)間、細(xì)分時(shí)間、細(xì)分時(shí)間占比以及平均光滑度。從表中可以看出，不論是在牙齒平移的情況下，還是在牙齒旋轉(zhuǎn)的情況下，改進(jìn)算法相對(duì)文獻(xiàn)[16]算法，雖然細(xì)分后頂點(diǎn)個(gè)數(shù)和面片個(gè)數(shù)相對(duì)稍大，但通過空間換時(shí)間使細(xì)分時(shí)間減少了。改進(jìn)算法在自適應(yīng)細(xì)分過程中通過計(jì)算頂點(diǎn)光滑度從整體上一次性對(duì)頂點(diǎn)1-鄰域區(qū)域光滑度進(jìn)行衡量，相對(duì)文獻(xiàn)[16]算法中通過計(jì)算基于三角面片面積的頂點(diǎn)權(quán)重變形度來定義高變形區(qū)、中變形區(qū)以及低變形區(qū)的方法來說，節(jié)省了自適應(yīng)細(xì)分判定時(shí)間，從而提高了細(xì)分效率。從細(xì)分時(shí)間占比一列可以看出，文獻(xiàn)[16]算法的細(xì)分時(shí)間占整個(gè)牙齦形變仿真時(shí)間平均為23.56%，而文中算法細(xì)分時(shí)間占比平均為19.44%，因此改進(jìn)算法的細(xì)分效率更高，細(xì)分時(shí)間占比平均約節(jié)約了4.12%。從平均光滑度一列可以看出，不論是對(duì)牙齒進(jìn)行平移還是旋轉(zhuǎn)，不論是對(duì)磨牙、前磨牙還是切牙進(jìn)行操作，改進(jìn)算法細(xì)分后網(wǎng)格平均光滑度更小，網(wǎng)格光順質(zhì)量更好。

表1 牙齒平移牙齦曲面網(wǎng)格細(xì)分效率對(duì)比

表2 牙齒旋轉(zhuǎn)牙齦曲面網(wǎng)格細(xì)分效率對(duì)比

4.3 視覺效果分析

圖9、圖10為對(duì)1號(hào)牙齒(磨牙)進(jìn)行平移和旋轉(zhuǎn)后的整體細(xì)分效果和局部細(xì)分效果；圖11,圖12為對(duì)2號(hào)牙齒(前磨牙)進(jìn)行平移和旋轉(zhuǎn)后的整體細(xì)分效果和局部細(xì)分效果；圖13，圖14為對(duì)3號(hào)牙齒(切牙)進(jìn)行平移和旋轉(zhuǎn)后的整體細(xì)分效果和局部細(xì)分效果。局部細(xì)分區(qū)域?yàn)檎w細(xì)分效果圖中紅色實(shí)線方框所選區(qū)域；局部細(xì)分效果圖中紅色虛線圓框所選區(qū)域?yàn)椴煌惴ㄗ赃m應(yīng)細(xì)分效果對(duì)比較為明顯的區(qū)域。圖中分別對(duì)比了細(xì)分前、文獻(xiàn)[16]算法以及改進(jìn)算法這3種算法下，牙齒平移或旋轉(zhuǎn)后的牙齦的實(shí)體模型效果和網(wǎng)格模型效果。實(shí)體模型中白色部分表示牙齒，紅色部分表示牙齦；網(wǎng)格模型中白色線條表示牙齒三角網(wǎng)格，紅色線條表示牙齦三角網(wǎng)格，細(xì)分算法就是作用于這些牙齦三角網(wǎng)格。從圖中可以看出，對(duì)3類牙齒進(jìn)行平移或旋轉(zhuǎn)操作時(shí)，改進(jìn)算法相比文獻(xiàn)[16]算法來說，能夠很好的對(duì)牙齦形變區(qū)域三角網(wǎng)格進(jìn)行細(xì)分，這是因?yàn)?，文獻(xiàn)[16]算法中采用三角面片面積作為權(quán)重來計(jì)算頂點(diǎn)權(quán)重變形度，對(duì)于面積相同且符合閾值約束的規(guī)則三角形與狹長(zhǎng)三角形難以很好的區(qū)分，在細(xì)分區(qū)域判定過程中將實(shí)際不符合光滑度條件的狹長(zhǎng)三角形當(dāng)做與其面積相同且規(guī)則的三角形來進(jìn)行處理，從而沒能進(jìn)行很好的細(xì)分。而改進(jìn)算法中采用的頂點(diǎn)光滑度，是通過計(jì)算頂點(diǎn)1-鄰域三角面片對(duì)的法向量夾角平均值來判定細(xì)分區(qū)域的，這種方法從整體上對(duì)曲面光滑度進(jìn)行衡量，因而產(chǎn)生的細(xì)分三角網(wǎng)格較為規(guī)則，生成的細(xì)分曲面較為光滑。因此，改進(jìn)算法能夠很好的識(shí)別需要細(xì)分的區(qū)域，進(jìn)而改善牙齦軟組織的形變效果，使形變后牙齦表面形變區(qū)域三角網(wǎng)格更加接近規(guī)則的正三角形、分布更加均勻，曲面光順質(zhì)量更好。

圖9 1號(hào)牙齒(磨牙)平移牙齦細(xì)分效果對(duì)比

圖10 1號(hào)牙齒(磨牙)旋轉(zhuǎn)牙齦細(xì)分效果對(duì)比

圖11 2號(hào)牙齒(前磨牙)平移牙齦細(xì)分效果對(duì)比

圖12 2號(hào)牙齒(前磨牙)旋轉(zhuǎn)牙齦細(xì)分效果對(duì)比

圖13 3號(hào)牙齒(切牙)平移牙齦細(xì)分效果對(duì)比

圖14 3號(hào)牙齒(切牙)旋轉(zhuǎn)牙齦細(xì)分效果對(duì)比

5 結(jié) 論

1)提出采用頂點(diǎn)光滑度作為自適應(yīng)細(xì)分區(qū)域的判定準(zhǔn)則，對(duì)虛擬牙齒矯正系統(tǒng)中牙齒移動(dòng)后牙齦的形變區(qū)域進(jìn)行自適應(yīng)細(xì)分，從而使牙齦表面三角網(wǎng)格光順質(zhì)量更好。該算法通過比較每個(gè)頂點(diǎn)周圍1-鄰域內(nèi)相鄰面片對(duì)的法向量夾角平均值與光滑閾值的大小關(guān)系，來決定細(xì)分區(qū)域，對(duì)于細(xì)分區(qū)域采用Loop細(xì)分算法細(xì)分三角網(wǎng)格。

2)在真實(shí)掃描的牙頜三維模型數(shù)據(jù)上進(jìn)行牙齦軟組織形變仿真三角網(wǎng)格細(xì)分對(duì)比實(shí)驗(yàn)的結(jié)果表明，改進(jìn)的自適應(yīng)細(xì)分算法相對(duì)基于頂點(diǎn)權(quán)重變形度的細(xì)分算法來說，能夠更好的識(shí)別需要細(xì)分的區(qū)域，細(xì)分時(shí)間占比平均約節(jié)約了4.12%；平均光滑度對(duì)細(xì)分效果的評(píng)價(jià)更合理，細(xì)分的三角網(wǎng)格更規(guī)則、分布更均勻，曲面光順質(zhì)量更好，較好地滿足了軟組織形變仿真中真實(shí)性與高效性的要求。

3)主要研究的是自適應(yīng)細(xì)分算法中的細(xì)分區(qū)域選擇問題，但在自適應(yīng)細(xì)分過程中不同細(xì)分精度的網(wǎng)格之間可能會(huì)產(chǎn)生裂縫，后續(xù)還需研究牙冠和牙齦連接處協(xié)同細(xì)分處理的問題。