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        求解非線性方程組的幾種方法及程序?qū)崿F(xiàn)

        2021-06-16 01:25:48雍龍泉

        雍龍泉

        (陜西理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院, 陜西 漢中, 723001)

        考慮非線性方程組

        (1)

        記x=(x1,x2,…,xn),向量函數(shù)F(x)=(f1(x),f2(x),…,fn(x))T,則方程組(1)等價(jià)于如下非線性方程

        F(x)=0.

        (2)

        很多復(fù)雜的問題都可以轉(zhuǎn)化為非線性方程組的求解問題,其最基本的求解方法是牛頓法[1-7]。近年來,相繼出現(xiàn)了五階牛頓迭代法[8]、七階牛頓迭代法[9-10]、八階牛頓迭代法[11-12]、九階牛頓迭代法等[13-14]。對(duì)非線性方程組而言,牛頓迭代法需要計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)矩陣,并依賴于初始點(diǎn)的選取和函數(shù)F(x)的性態(tài)[15-18],而在一些實(shí)際問題中如何選取合適的初始點(diǎn)本身是一個(gè)比較困難的問題,因此使用牛頓迭代法時(shí)具有一定的局限性[19]。

        本文假設(shè)非線性方程組的解存在,在給定初始點(diǎn)后,如何把數(shù)學(xué)公式轉(zhuǎn)變?yōu)榭梢赃\(yùn)行的代碼,讓初學(xué)者對(duì)編程不再望而生畏;進(jìn)而提高學(xué)生編程的興趣,最終能夠利用程序?qū)?shí)際問題進(jìn)行求解,培養(yǎng)與提高學(xué)生的科學(xué)計(jì)算能力。

        下面通過一個(gè)具體的非線性方程組,分別給出其Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代、Newton迭代、五階牛頓迭代;在給出迭代公式和初始點(diǎn)后,并分別給出了MATLAB代碼和對(duì)應(yīng)的計(jì)算結(jié)果。

        算例分別用Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法、Newton迭代法、五階牛頓迭代法求解如下非線性方程組

        1 Jacobi迭代

        Jacobi迭代法的迭代格式:

        表1 Jacobi迭代法的MATLAB代碼

        表2 Jacobi迭代計(jì)算結(jié)果

        2 Gauss-Seidel迭代

        Gauss-Seidel迭代法的迭代格式:

        表3 Gauss-Seidel迭代法的MATLAB代碼

        表4 Gauss-Seidel迭代計(jì)算結(jié)果

        3 Newton迭代

        Newton迭代法的迭代格式:

        Newton迭代法要求矩陣F′(x)可逆,若F′(x)奇異或接近奇異,可以采用阻尼Newton迭代法進(jìn)行處理。

        表5 Newton迭代法的MATLAB代碼

        表6 Newton迭代計(jì)算結(jié)果

        4 五階牛頓法迭代

        文獻(xiàn)[20]中給出了五階牛頓迭代法:

        表7 五階牛頓迭代法的MATLAB代碼

        表8 五階牛頓法迭代計(jì)算結(jié)果

        需要求解的非線性方程組fun1與偏導(dǎo)數(shù)矩陣dfun1的代碼見表9和表10。

        表9 非線性方程組fun1的代碼

        表10 偏導(dǎo)數(shù)矩陣dfun1的代碼

        文獻(xiàn)[20-23]中分別采用該五階牛頓迭代法求解線性規(guī)劃、線性互補(bǔ)、非線性兩點(diǎn)邊值、投資組合優(yōu)化等問題。

        更多的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明:各類迭代的收斂與否、收斂快慢均與初始點(diǎn)的選取有關(guān);收斂階數(shù)越高,需要付出的計(jì)算代價(jià)(包括占用內(nèi)存、函數(shù)調(diào)用次數(shù))也就越大;即使高階的牛頓法,也只有初始點(diǎn)與根很靠近時(shí),高階收斂性才能很好地體現(xiàn)出來。

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