許敬暉,喬百杰,*,滕光蓉,楊志勃,陳雪峰

1.西安交通大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院,西安 710049

2.西安交通大學(xué) 機(jī)械制造系統(tǒng)工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,西安 710049

3.中國航空發(fā)動(dòng)機(jī)有限公司 四川燃?xì)鉁u輪研究院,成都 610500

轉(zhuǎn)子葉片是航空發(fā)動(dòng)機(jī)的重要零部件。航空發(fā)動(dòng)機(jī)工作時(shí)高溫、高壓、高轉(zhuǎn)速的惡劣環(huán)境極易引起葉片振動(dòng),進(jìn)而導(dǎo)致葉片產(chǎn)生高周疲勞裂紋,危害飛機(jī)的運(yùn)行安全[1-2]。對(duì)葉片的振動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行監(jiān)測(cè),實(shí)時(shí)測(cè)量葉片危險(xiǎn)位置的應(yīng)力狀態(tài)是保障航空發(fā)動(dòng)機(jī)運(yùn)行安全的有效手段。傳統(tǒng)的葉片狀態(tài)監(jiān)測(cè)手段主要通過在葉片表面粘貼應(yīng)變片,將應(yīng)變片信號(hào)通過滑環(huán)引電器引出再進(jìn)行采集[3]。然而,由于滑環(huán)引電器的結(jié)構(gòu)限制,若長時(shí)間測(cè)量處于高速旋轉(zhuǎn)狀態(tài)下的航空發(fā)動(dòng)機(jī)葉片,滑環(huán)引電器必然會(huì)因摩擦而損壞,難以做到葉片的長期在線監(jiān)測(cè)。目前,葉端定時(shí)技術(shù)作為一種非接觸式測(cè)量手段逐漸受到了學(xué)術(shù)界和工業(yè)界的重視[4-5]。

葉端定時(shí)技術(shù)通過測(cè)量葉片到達(dá)葉端定時(shí)傳感器的時(shí)間差來計(jì)算葉片的振動(dòng)位移。共振態(tài)下葉片振動(dòng)幅值與應(yīng)變之間具有確定的比值關(guān)系[6],因此葉片振動(dòng)幅值的準(zhǔn)確辨識(shí)是葉端定時(shí)技術(shù)取代應(yīng)變片,實(shí)現(xiàn)葉片關(guān)鍵位置應(yīng)力非接觸測(cè)量的先決條件。由于一個(gè)葉片在一圈之內(nèi)僅經(jīng)過同一傳感器一次,因此葉端定時(shí)信號(hào)的采樣頻率與葉片轉(zhuǎn)速和傳感器數(shù)目相關(guān)。通常情況下,葉端定時(shí)系統(tǒng)采集到的葉片振動(dòng)位移信號(hào)不滿足奈奎斯特采樣定理,為欠采樣信號(hào)[7]。為了從葉端定時(shí)欠采樣位移信號(hào)中辨識(shí)出葉片振動(dòng)頻率、幅值等參數(shù),許多針對(duì)葉端定時(shí)信號(hào)的處理方法應(yīng)運(yùn)而生。單參數(shù)法針對(duì)葉片的同步振動(dòng)情況,利用一支葉端定時(shí)傳感器測(cè)量葉片變轉(zhuǎn)速工況下的振動(dòng)幅值、共振轉(zhuǎn)速[8]；在此基礎(chǔ)上,雙參數(shù)法增加了一支葉端定時(shí)傳感器,可以進(jìn)一步識(shí)別葉片的共振頻率信息[9]；自回歸法則通過引入自回歸方程能對(duì)葉片振動(dòng)的倍頻值進(jìn)行計(jì)算[10-11]。然而上述方法均是對(duì)葉片通過共振區(qū)時(shí)的信號(hào)進(jìn)行處理,即要求葉片在變轉(zhuǎn)速的工況下進(jìn)行測(cè)量。若葉片在恒定轉(zhuǎn)速下運(yùn)行,則單個(gè)葉端定時(shí)傳感器測(cè)得的葉片同步共振幅值將不會(huì)發(fā)生明顯的變化[12]。周向傅里葉擬合算法通過假設(shè)葉片振動(dòng)形式為簡諧振動(dòng),求解最小二乘方程對(duì)幅值進(jìn)行計(jì)算[13]。但其在對(duì)振動(dòng)方程進(jìn)行假設(shè)的過程中,需要利用坎貝爾圖提供葉片振動(dòng)的先驗(yàn)信息,確定葉片在恒定轉(zhuǎn)速下可能出現(xiàn)的振動(dòng)模態(tài)和振動(dòng)階次。

隨著現(xiàn)代信號(hào)處理技術(shù)的發(fā)展,一些針對(duì)欠采樣信號(hào)的處理方法被自然而然的應(yīng)用于葉端定時(shí)信號(hào)處理領(lǐng)域。Donoho等提出的壓縮感知理論通過構(gòu)建能夠反映信號(hào)特征的字典矩陣使得欠采樣信號(hào)的重構(gòu)成為可能[14]。國防科技大學(xué)楊擁民教授團(tuán)隊(duì)提出了一種重構(gòu)葉片振動(dòng)頻率的壓縮感知模型[15]。西安交通大學(xué)吳淑明等提出了增強(qiáng)稀疏方法,與傳統(tǒng)的稀疏分解方式相比,該方法得到了更為稀疏的解,避免了頻率混疊,并得到了更為清晰的譜圖[16]。然而在求解葉端定時(shí)信號(hào)的稀疏表示的過程中,由于引入了正則化項(xiàng),故重構(gòu)信號(hào)幅值精度難以得到保障。在上述文獻(xiàn)中,側(cè)重利用壓縮感知實(shí)現(xiàn)葉片振動(dòng)頻率的精確辨識(shí),而未涉及葉片振動(dòng)幅值高精度重構(gòu)。而葉片振動(dòng)幅值參數(shù)作為衡量葉片狀態(tài)的重要指標(biāo),逐漸開始受到重視[17]。

本文針對(duì)壓縮感知重構(gòu)信號(hào)幅值精度較低以及傳統(tǒng)葉端定時(shí)算法無法求解恒定轉(zhuǎn)速下葉片共振幅值,而周向傅里葉擬合方法求解葉片振動(dòng)幅值需要先驗(yàn)信息的不足。根據(jù)振動(dòng)方程中需要利用先驗(yàn)信息構(gòu)建的設(shè)計(jì)矩陣的形式,構(gòu)造壓縮感知求解葉端定時(shí)稀疏表示過程中的字典矩陣。通過壓縮感知求解結(jié)果中非零元素所在位置,從字典矩陣中提取對(duì)應(yīng)原子組成設(shè)計(jì)矩陣,實(shí)現(xiàn)無先驗(yàn)信息條件下葉片振動(dòng)方程的參數(shù)辨識(shí)。葉端定時(shí)仿真和試驗(yàn)結(jié)果表明,該方法能夠有效識(shí)別葉片振動(dòng)的頻率和幅值參數(shù)。

1 葉端定時(shí)信號(hào)處理

1.1 葉端定時(shí)測(cè)量原理

葉端定時(shí)系統(tǒng)以轉(zhuǎn)軸上的轉(zhuǎn)速傳感器測(cè)得的時(shí)間信號(hào)為參考基準(zhǔn),通過在機(jī)匣上安裝葉端定時(shí)傳感器測(cè)得每個(gè)葉片到達(dá)傳感器的時(shí)間。利用葉片與轉(zhuǎn)軸上基準(zhǔn)位置之間的夾角以及葉片的轉(zhuǎn)速,可以計(jì)算出理想狀況下,葉片無振動(dòng)旋轉(zhuǎn)時(shí)到達(dá)葉端定時(shí)傳感器的理論時(shí)間。對(duì)比實(shí)測(cè)的到達(dá)傳感器時(shí)間,得到的時(shí)間差用于計(jì)算葉片的振動(dòng)位移。其原理如圖1所示。葉片振動(dòng)位移y與時(shí)間差Δt之間的關(guān)系為

y=2πfω×R×Δt

(1)

式中：fω為葉片旋轉(zhuǎn)頻率；R為葉片旋轉(zhuǎn)半徑。

由圖1(b)可知,一個(gè)葉片在一圈之內(nèi)僅經(jīng)過一個(gè)傳感器一次,因此葉端定時(shí)系統(tǒng)的采樣頻率可以寫為

圖1 葉端定時(shí)原理圖

fbtt=P×fr

(2)

式中：P為機(jī)匣周向葉端定時(shí)傳感器的安裝數(shù)量;fr為在葉片旋轉(zhuǎn)頻率恒定的條件下,要想增大葉端定時(shí)系統(tǒng)的采樣頻率就必須增加傳感器數(shù)目。然而受機(jī)匣安裝空間限制,安裝的傳感器數(shù)目通常無法使得葉端定時(shí)系統(tǒng)的采樣頻率滿足奈奎斯特采樣定理,因此葉端定時(shí)信號(hào)通常為欠采樣信號(hào),而傳感器的非均勻布置以及轉(zhuǎn)速波動(dòng)使得所采集的信號(hào)為非均勻采樣,非均勻欠采樣的信號(hào)使得傳統(tǒng)的信號(hào)處理方法難以辨識(shí)葉端定時(shí)信號(hào)中所包含的葉片振動(dòng)參數(shù)。

1.2 葉片振動(dòng)參數(shù)辨識(shí)

在單模態(tài)下,可假設(shè)葉片發(fā)生簡諧振動(dòng)[18],葉片的振動(dòng)方程可以表示為

y=Asin(2πft)+Bcos(2πft)+C

(3)

式中：f為葉片振動(dòng)的頻率；A、B、C為葉片振動(dòng)方程的系數(shù)。當(dāng)葉片發(fā)生同步共振,即葉片振動(dòng)頻率與轉(zhuǎn)頻成整數(shù)倍關(guān)系時(shí),恒定轉(zhuǎn)速下葉端定時(shí)傳感器采集到的數(shù)據(jù)點(diǎn)如圖2所示。同一傳感器在同步振動(dòng)時(shí)測(cè)得的葉片振動(dòng)位移是完全相同的導(dǎo)致信號(hào)中包含的信息更加稀少,傳統(tǒng)的信號(hào)處理方法難以得到其中隱含的振動(dòng)信息。但是如果將不同傳感器測(cè)得的M個(gè)振動(dòng)位移數(shù)據(jù)點(diǎn)按照時(shí)間的順序排列為一個(gè)矢量y=[y1,y2,…,yM]T,振動(dòng)方程的系數(shù)表示為矢量x=[A,B,C]T,則式(3)可寫作矩陣形式：

圖2 同步共振葉端定時(shí)采集數(shù)據(jù)點(diǎn)

y=Hx

(4)

式中：H為設(shè)計(jì)矩陣,與葉片的振動(dòng)頻率以及傳感器測(cè)得的位移時(shí)刻有關(guān),其具體表達(dá)式為

(5)

通過求解設(shè)計(jì)矩陣H的偽逆,即可求得振動(dòng)方程中的系數(shù)

x=H?y

(6)

求得系數(shù)矢量x后即可得到葉片振動(dòng)幅值。該求解過程即為周向傅里葉擬合方法(Circumferential Fourier Fit, CFF)。由于同一傳感器在同步振動(dòng)時(shí)測(cè)得的葉片振動(dòng)位移完全相同,因此采用傳感器的數(shù)目應(yīng)大于等于振動(dòng)方程中待求系數(shù)的數(shù)目。由式(3)可知,設(shè)計(jì)矩陣H中的未知量為葉片振動(dòng)頻率。通常而言,這一振動(dòng)頻率由預(yù)先繪制的坎貝爾圖確定。若能通過測(cè)得的振動(dòng)位移,直接構(gòu)造出設(shè)計(jì)矩陣而不依賴于坎貝爾圖的先驗(yàn)信息,則能直接完成葉片振動(dòng)方程的參數(shù)辨識(shí),提高幅值辨識(shí)效率。

根據(jù)式(3)可以推廣得到葉片多模態(tài)下的振動(dòng)方程為

(7)

式中：Q為模態(tài)數(shù)目；fi為各階模態(tài)頻率。設(shè)計(jì)矩陣H根據(jù)計(jì)算模態(tài)數(shù)目的大小進(jìn)行列擴(kuò)展,其列數(shù)與計(jì)算的模態(tài)數(shù)目之間滿足關(guān)系P≥2Q+1。

2 葉端定時(shí)信號(hào)壓縮感知模型

任意信號(hào)通常都能被表示為一系列基函數(shù)的線性組合。在稀疏框架下,這些基函數(shù)的集合稱作字典,每個(gè)基函數(shù)則被稱為字典中的原子[19]。若在某個(gè)字典下,使用很少的原子就能將信號(hào)的特征完全表示出來,則稱信號(hào)在這個(gè)字典下的表示是稀疏的,使用的原子數(shù)量越少,則說明字典中原子的結(jié)構(gòu)與信號(hào)越為相似。

假設(shè)在機(jī)匣上布置I個(gè)虛擬的葉端定時(shí)傳感器,使葉端定時(shí)系統(tǒng)的采樣頻率能滿足奈奎斯特采樣定理。用N個(gè)點(diǎn)表示I個(gè)虛擬傳感器在一段時(shí)間內(nèi)測(cè)得的葉片振動(dòng)非欠采樣信號(hào)YN×1,若在該段時(shí)間內(nèi)葉片轉(zhuǎn)過了W圈,則N=W·I,若YN×1在某個(gè)字典DN×N下的表示稀疏,則葉片振動(dòng)信號(hào)可以表示為

YN×1=DN×N·sN×1

(8)

式中：sN×1為非欠采樣信號(hào)YN×1在字典DN×N下的稀疏矢量,其僅有幾個(gè)非零元素。實(shí)際葉端定時(shí)系統(tǒng)的傳感器安裝位置可以視作是從I個(gè)虛擬傳感器中選取的J個(gè)位置,且J?I。因此,實(shí)際葉端定時(shí)系統(tǒng)測(cè)量結(jié)果可以看作是從理想的非欠采樣信號(hào)YN×1中抽取M個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)組成的YM×1,其中M?N,且若在該段時(shí)間內(nèi)葉片轉(zhuǎn)過了W圈,則M=W·J。這一抽取過程可以轉(zhuǎn)化為矩陣乘積的形式：

YM×1=ΦM×N·YN×1

(9)

式中：ΦM×N為觀測(cè)矩陣,由N×N大小的單位矩陣通過抽取特定的行元素組成。抽取的行元素位置是通過實(shí)際安裝葉端定時(shí)傳感器的位置在虛擬葉端定時(shí)傳感器中的位置決定。

若能通過葉端定時(shí)系統(tǒng)測(cè)得的欠采樣信號(hào)YM×1得到葉片振動(dòng)信號(hào)在某個(gè)字典下的稀疏表示,則就能重構(gòu)葉片振動(dòng)的非欠采樣信號(hào)。根據(jù)式(8)與式(9),求解葉端定時(shí)信號(hào)在某個(gè)字典下的稀疏表示的方程為

(10)

式(10)的求解屬于NP難題,無法在可接受的時(shí)間內(nèi)求得全局最優(yōu)解。故通常情況下,需要將其轉(zhuǎn)化為凸優(yōu)化問題進(jìn)行求解[20]。則式(10)可重新寫作：

(11)

式中：二范數(shù)代表的是數(shù)據(jù)保真項(xiàng),其占比越大求解結(jié)果的幅值精度越高,一范數(shù)代表的正則化項(xiàng),其占比越大求解結(jié)果越稀疏但幅值精度會(huì)下降。λ為正則化參數(shù),主要用于平衡保真項(xiàng)和正則項(xiàng)所占比重從而影響求解結(jié)果的稀疏程度與幅值精度。線性規(guī)劃LP算法[21]、內(nèi)點(diǎn)法[22]等均可求得凸優(yōu)化問題的全局最優(yōu)解。

求得葉端定時(shí)欠采樣信號(hào)的稀疏表示sN×1后,將其代入式(8)即可實(shí)現(xiàn)葉片振動(dòng)非欠采樣信號(hào)的重構(gòu)。而式(11)中正則化參數(shù)λ的使用,強(qiáng)化了求解過程中信號(hào)的稀疏性條件,其重構(gòu)信號(hào)往往難以保證幅值精度。由式(3)可知,若能求得葉片振動(dòng)方程中的系數(shù)并確定設(shè)計(jì)矩陣中的頻率分量,即可不直接重構(gòu)葉片振動(dòng)信號(hào),而是通過計(jì)算葉片的振動(dòng)方程來得到更準(zhǔn)確的葉片振動(dòng)幅值。

為了不依賴坎貝爾圖等先驗(yàn)信息,直接構(gòu)造葉片振動(dòng)方程的設(shè)計(jì)矩陣,將設(shè)計(jì)矩陣中的主要元素作為葉端定時(shí)壓縮感知模型中字典的原子。根據(jù)式(5),構(gòu)造壓縮感知字典為增廣設(shè)計(jì)矩陣

(12)

式中：t1,t2,…,tN是由設(shè)定的非欠采樣信號(hào)的采樣頻率fs確定的時(shí)間間隔；f1,f2,…,fN/2是等間隔分布的頻率成分,且其最大頻率分量與設(shè)定的理想采樣頻率的一半,即為最大奈奎斯特采樣頻率,fN/2=fs/2。增廣設(shè)計(jì)矩陣在一定范圍內(nèi),列舉了振動(dòng)方程可能存在的頻率,且由于其元素結(jié)構(gòu)與振動(dòng)方程相同,故在保證解存在的同時(shí)使其盡可能稀疏。通過求解式(11)得到的葉端定時(shí)信號(hào)的稀疏表示確定其非零元素所在位置,進(jìn)而在壓縮感知字典中找到對(duì)應(yīng)頻率分量,這一過程的示意圖如圖3所示。由于式(5)與式(12)在矩陣元素的形式上完全相同,故可將字典中對(duì)應(yīng)原子取出,與觀測(cè)矩陣ΦM×N相乘后直接代入設(shè)計(jì)矩陣,進(jìn)而通過式(6)對(duì)葉片振動(dòng)方程中的系數(shù)直接進(jìn)行計(jì)算。

圖3 壓縮感知字典原子選取

3 葉端定時(shí)模擬仿真分析

為了驗(yàn)證提出的壓縮感知方法葉端定時(shí)欠采樣信號(hào)的頻率和幅值重構(gòu)精度,構(gòu)造葉片振動(dòng)的單模態(tài)及多模態(tài)仿真信號(hào)。根據(jù)設(shè)定轉(zhuǎn)速與傳感器安裝角度搭建葉端定時(shí)仿真模擬器,得到仿真欠采樣葉端定時(shí)信號(hào)。通過比較仿真信號(hào)與重構(gòu)信號(hào)的時(shí)域及頻域結(jié)果,驗(yàn)證所提方法的有效性。

3.1 葉片單模態(tài)振動(dòng)仿真驗(yàn)證

對(duì)葉片恒定轉(zhuǎn)速下的同步振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行仿真分析。設(shè)定葉片的旋轉(zhuǎn)頻率fω=216.7 Hz,葉片為簡諧振動(dòng),葉片的振動(dòng)頻率f=650 Hz,葉片振動(dòng)的常偏量為1,構(gòu)造葉片的振動(dòng)仿真信號(hào)為

y=5sin(2π×650×t)+1cos(2π×650×t)+1

(13)

為了驗(yàn)證方法的魯棒性,再對(duì)仿真信號(hào)添加高斯白噪聲,使得含噪信號(hào)的信噪比為5 dB,其中信噪比的定義為

(14)

式中:Psignal和Pnoise為信號(hào)和噪聲的有效能量大小。對(duì)于如式(13)所示含有3個(gè)系數(shù)的單模態(tài)振動(dòng)方程而言,理論上采用3支葉端定時(shí)傳感器即可實(shí)現(xiàn)信號(hào)重構(gòu),但為了增強(qiáng)算法的魯棒性,可采用更多的葉端定時(shí)傳感器進(jìn)行測(cè)量,使式(5)中的矩陣為超定矩陣,減小測(cè)量噪聲等干擾因素使計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生的偏差。在仿真案例中,采用了5支葉端定時(shí)傳感器進(jìn)行測(cè)量,其安裝角度分別為0°,36.7°,84.3°,292°,326°。生成的仿真振動(dòng)信號(hào)以及各傳感器測(cè)得的葉片振動(dòng)幅值如圖4所示。其中橫線代表的是各傳感器測(cè)得的平均值大小。對(duì)比圖2可以看出,受到噪聲干擾后,各傳感器在同步振動(dòng)時(shí)測(cè)得的葉片振動(dòng)位移并不完全相同。

圖4 葉片振動(dòng)仿真信號(hào)及采樣結(jié)果

由于葉片的轉(zhuǎn)頻fω=216.7 Hz,且僅使用了五支葉端定時(shí)傳感器進(jìn)行數(shù)據(jù)采集,由式(2)可知,此時(shí)葉端定時(shí)系統(tǒng)的采樣頻率fbtt=1 083.5 Hz。根據(jù)奈奎斯特采樣定理,其最高可識(shí)別的振動(dòng)頻率為541.8 Hz。然而仿真葉片振動(dòng)頻率為650 Hz,若直接對(duì)葉端定時(shí)信號(hào)進(jìn)行傅里葉變換,其結(jié)果如圖5所示,可以看出葉端定時(shí)信號(hào)僅能測(cè)得葉片的旋轉(zhuǎn)頻率及其倍頻信號(hào),無法得到葉片實(shí)際的振動(dòng)頻率。

圖5 葉端定時(shí)信號(hào)頻譜圖

將各葉端定時(shí)傳感器測(cè)得的數(shù)據(jù)點(diǎn)按照時(shí)間順序排列為一個(gè)數(shù)據(jù)矢量YM×1。此處選取時(shí)長為0.5 s的數(shù)據(jù)點(diǎn),由于葉端定時(shí)系統(tǒng)的采樣頻率fbtt=1 083.5 Hz,因此采集到的數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)M=540。設(shè)定利用壓縮感知方法重構(gòu)信號(hào)的采樣頻率fres=2 000 Hz,即在0.5 s的時(shí)間段內(nèi),利用540個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)重構(gòu)1 000個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)。利用壓縮感知方法直接對(duì)葉端定時(shí)信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)得到的時(shí)域和頻率如圖6所示。

由圖6(a)可知,葉端定時(shí)壓縮感知重構(gòu)信號(hào)無法準(zhǔn)確重構(gòu)信號(hào)幅值。其主要原因是為了使得求解式得到的結(jié)果更為稀疏,正則化參數(shù)的選取要盡可能的大,因此在消除一些不相關(guān)頻率分量的同時(shí)也使其主要頻率分量的幅值發(fā)生相應(yīng)的衰減,相較于振動(dòng)幅值而言所占比例更小的振動(dòng)方程中的常偏量也無法在重構(gòu)信號(hào)中得到體現(xiàn)。然而對(duì)重構(gòu)信號(hào)進(jìn)行傅里葉變換得到其頻譜如圖6(b)所示,重構(gòu)信號(hào)的頻率與式(13)中設(shè)定的仿真頻率相同。

求解式(11)得到的葉端定時(shí)信號(hào)稀疏表示在sN×1中,非零元素的位置在第649行。根據(jù)圖3所示方法,從壓縮感知字典DN×N中選取對(duì)應(yīng)的兩列原子dN×2,與觀測(cè)矩陣ΦM×N相乘后直接構(gòu)造振動(dòng)方程的設(shè)計(jì)矩陣,將其代入式(6)求得的葉片振動(dòng)方程系數(shù)x=[4.96, 0.85,1.04]T。由此得到葉片振動(dòng)方程為

(15)

將式(15)與仿真的葉片振動(dòng)方程式(13)進(jìn)行比較,其結(jié)果如圖7所示。對(duì)比式(13)的設(shè)定參數(shù)與式(15)的求解結(jié)果,二者的幅值相對(duì)誤差為1.14%。

圖7 單模態(tài)振動(dòng)參數(shù)辨識(shí)結(jié)果

3.2 葉片多模態(tài)振動(dòng)仿真驗(yàn)證

實(shí)際葉片作為一個(gè)連續(xù)實(shí)體理論上存在無窮多自由度,因此當(dāng)其工作環(huán)境復(fù)雜,存在多源激勵(lì)的條件下,有可能出現(xiàn)葉片的多模態(tài)振動(dòng),即葉片的不同階固有頻率在某個(gè)轉(zhuǎn)速下被同時(shí)激發(fā)出來。設(shè)定葉片的旋轉(zhuǎn)頻率fω=216.7 Hz,葉片同時(shí)產(chǎn)生3個(gè)模態(tài)的振動(dòng),其振動(dòng)頻率為650 Hz、1 100 Hz、1 320 Hz,葉片的振動(dòng)方程為

y=5sin(2π×650×t)+1cos(2π×650×t)+

2sin(2π×1 100×t)+5cos(2π×

1 100×t)+3sin(2π×1 320×t)+

4cos(2π×1 320×t)+1

(16)

對(duì)多模態(tài)仿真信號(hào)同樣添加大小為5 dB的高斯白噪聲。式(16)中含有7個(gè)系數(shù),最少需要使用7支葉端定時(shí)傳感器進(jìn)行數(shù)據(jù)采樣。同樣為了保證求解結(jié)果的魯棒性,多采用兩支傳感器進(jìn)行測(cè)量,即總共設(shè)計(jì)9個(gè)仿真葉端定時(shí)傳感器。采用隨機(jī)生成傳感器布局的方式,生成9支傳感器的安裝角度為

θ=[4.6° 35.3° 64.9° 151.3° 166.8°

174.8° 241.4° 260.9° 339.1°]

(17)

同樣選取時(shí)長為0.5 s的數(shù)據(jù)點(diǎn),利用壓縮感知方法重構(gòu)信號(hào)的采樣頻率設(shè)定為fres=4 000 Hz,采用的字典與單模態(tài)仿真相同。將葉端定時(shí)仿真采樣的數(shù)據(jù)點(diǎn)與字典代入式(11)中進(jìn)行求解,得到的葉端定時(shí)信號(hào)的稀疏表示系數(shù)如圖8所示。據(jù)此可以得到稀疏表示系數(shù)中3個(gè)非零分量所在位置,從而在字典中找到組成設(shè)計(jì)矩陣所對(duì)應(yīng)的原子所在位置。

圖8 多模態(tài)信號(hào)稀疏表示

若直接通過式(8),即利用壓縮感知方法對(duì)振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行重構(gòu),得到的重構(gòu)信號(hào)如圖9所示?？梢钥闯鲋貥?gòu)多模態(tài)信號(hào)的時(shí)域幅值與未加噪聲的原始信號(hào)之間有較大差距,但其頻譜圖較好的重構(gòu)出了葉片不同模態(tài)的振動(dòng)頻率,說明采用壓縮感知方法對(duì)振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)具有較好的魯棒性,并未因?yàn)樵肼暥绊懼貥?gòu)信號(hào)的頻譜結(jié)構(gòu)。

圖9 壓縮感知重構(gòu)多模態(tài)振動(dòng)信號(hào)

通過圖8所示的稀疏表示非零元素所在位置,從字典中提取對(duì)應(yīng)原子構(gòu)造設(shè)計(jì)矩陣,再對(duì)振動(dòng)方程中的系數(shù)進(jìn)行求解,得到葉片的振動(dòng)方程如圖10所示。

對(duì)比圖6和圖7以及圖9和圖10可以看出,相較于使用壓縮感知方法直接重構(gòu)葉片振動(dòng)信號(hào)而言,通過融合葉片振動(dòng)方程的設(shè)計(jì)矩陣以及壓縮感知字典,進(jìn)而得到振動(dòng)方程系數(shù)的方法能夠?qū)崿F(xiàn)葉片振動(dòng)幅值的高精度辨識(shí)。對(duì)比圖10中重構(gòu)信號(hào)與原始信號(hào),所述方法的幅值相對(duì)誤差為5.76%。

圖10 多模態(tài)振動(dòng)參數(shù)辨識(shí)結(jié)果

4 旋轉(zhuǎn)葉片試驗(yàn)驗(yàn)證

4.1 試驗(yàn)臺(tái)介紹

為了進(jìn)一步驗(yàn)證所提方法在恒定轉(zhuǎn)速下的葉片振動(dòng)參數(shù)辨識(shí)效果,搭建如圖11(a)所示的模擬轉(zhuǎn)子葉片試驗(yàn)臺(tái)。通過葉端定時(shí)和應(yīng)變片兩種測(cè)試系統(tǒng)進(jìn)行測(cè)量,以應(yīng)變片測(cè)量結(jié)果為基準(zhǔn),對(duì)葉端定時(shí)參數(shù)識(shí)別結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證。

由于在試驗(yàn)臺(tái)環(huán)境下很難模擬出發(fā)動(dòng)機(jī)實(shí)際運(yùn)行時(shí)的多源激勵(lì)環(huán)境,因此大多數(shù)情況下僅能激發(fā)出葉片的一階固有頻率。葉端定時(shí)傳感器的安裝角度與安裝數(shù)量選用與3.1節(jié)中單模態(tài)仿真相同的傳感器布置方案。采用美國HOOD公司的硬件系統(tǒng)對(duì)信號(hào)進(jìn)行采集。應(yīng)變片的安裝位置如圖11(b)所示。每個(gè)葉片均安裝2個(gè)應(yīng)變片,其中A點(diǎn)的應(yīng)變片在5個(gè)葉片上均有安裝,B點(diǎn)和C點(diǎn)的應(yīng)變片為交替安裝。應(yīng)變片系統(tǒng)的采樣頻率fstrain=12 800 Hz,應(yīng)變片測(cè)量信號(hào)通過滑環(huán)引電器引出,使用法國的OROS動(dòng)態(tài)測(cè)試系統(tǒng)對(duì)應(yīng)變片信號(hào)進(jìn)行采集。

圖11 葉端定時(shí)試驗(yàn)臺(tái)

4.2 結(jié)果分析與討論

在轉(zhuǎn)軸上安裝轉(zhuǎn)速傳感器,測(cè)得葉片的轉(zhuǎn)速如圖12所示。在0.5 s內(nèi)葉片轉(zhuǎn)速均值為13 053.2 RPM(1 RPM=1 r/min),偏離均值最大值為15.5 RPM,葉片轉(zhuǎn)速波動(dòng)為15.5/13 053.2=0.12%,故可認(rèn)為葉片處于恒定轉(zhuǎn)速狀態(tài)。五支葉端定時(shí)傳感器測(cè)得的葉片振動(dòng)位移經(jīng)過消噪預(yù)處理后如圖13所示。試驗(yàn)測(cè)量過程中存在噪聲使得各傳感器測(cè)得的位移值會(huì)產(chǎn)生相應(yīng)的波動(dòng),并不是一個(gè)恒定值。

圖12 葉片轉(zhuǎn)速信號(hào)

圖13 葉端定時(shí)試驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)

利用試驗(yàn)測(cè)得時(shí)長為0.5 s的葉端定時(shí)信號(hào)進(jìn)行葉片振動(dòng)方程的參數(shù)辨識(shí),采用如式(12)所示的壓縮感知字典,設(shè)定重構(gòu)頻率fres=2 000 Hz,將各變量代入式(11),求解得到葉端定時(shí)信號(hào)的稀疏表示系數(shù)如圖14所示。

圖14 試驗(yàn)葉端定時(shí)信號(hào)稀疏表示

由圖14可知,試驗(yàn)葉端定時(shí)信號(hào)的稀疏表示僅存在一個(gè)非零元素,說明試驗(yàn)中葉片產(chǎn)生的是單模態(tài)振動(dòng),這與試驗(yàn)過程中激勵(lì)源單一,難以激發(fā)葉片多模態(tài)振動(dòng)的實(shí)際情況相符合。根據(jù)信號(hào)稀疏表示中非零元素所在位置,從字典中取出對(duì)應(yīng)原子構(gòu)造葉片振動(dòng)方程的設(shè)計(jì)矩陣。為了驗(yàn)證設(shè)計(jì)矩陣元素中頻率參數(shù)的正確性,繪制重構(gòu)葉片振動(dòng)信號(hào)的頻譜如圖15所示。

圖15 試驗(yàn)壓縮感知重構(gòu)信號(hào)頻譜

將設(shè)計(jì)矩陣代入式(6)中對(duì)振動(dòng)方程系數(shù)進(jìn)行求解,最終得到葉片振動(dòng)方程為

y=0.333sin(2π×649×t)

-0.010cos(2π×649×t)-0.025 mm

(18)

為了驗(yàn)證式(18)的正確性,采用相同轉(zhuǎn)速下的A點(diǎn)應(yīng)變片測(cè)量數(shù)據(jù)對(duì)葉片振動(dòng)頻率進(jìn)行驗(yàn)證,應(yīng)變片系統(tǒng)的采樣頻率fstrain=12 800 Hz滿足奈奎斯特采樣定理,能保證計(jì)算得到的葉片振動(dòng)頻率不產(chǎn)生混疊。應(yīng)變片測(cè)得相同轉(zhuǎn)速下的葉片振動(dòng)信號(hào)長度為6 400,其頻譜如圖16所示。

圖16 應(yīng)變片信號(hào)頻譜圖

應(yīng)變片測(cè)得的葉片振動(dòng)頻率為649.9 Hz,與利用534個(gè)點(diǎn)重構(gòu)得到的葉片振動(dòng)方程相比,其頻率與應(yīng)變片測(cè)量結(jié)果的相對(duì)誤差為0.14%,說明了采用壓縮感知方法求解葉片振動(dòng)的稀疏表示結(jié)果是準(zhǔn)確的。由式(18)的葉片振動(dòng)方程可知,其振動(dòng)幅值為333.3 μm。

然而應(yīng)變片測(cè)得的幅值為應(yīng)變單位,無法直接反應(yīng)葉尖振動(dòng)幅值的大小。然而共振轉(zhuǎn)速下葉片振幅與葉根動(dòng)應(yīng)變之間存在有確定的傳遞比關(guān)系[23]。因此可以通過計(jì)算5個(gè)葉片的應(yīng)變位移傳遞比來對(duì)葉片振動(dòng)幅值準(zhǔn)確度進(jìn)行驗(yàn)證。然而由于1號(hào)葉片的應(yīng)變片在測(cè)試過程中損壞,因此剩余4個(gè)葉片的傳遞比如表1所示。

由表1可以看出,2號(hào)與3號(hào)葉片的振動(dòng)幅值較為接近,4號(hào)葉片的振動(dòng)幅值較大,而5號(hào)葉片的振動(dòng)幅值很小。導(dǎo)致葉片振動(dòng)幅值差異的可能原因是試驗(yàn)件加工過程中存在的不確定性如加工尺寸誤差,加工的殘余應(yīng)力等導(dǎo)致葉片間存在個(gè)體差異。但4個(gè)葉片的傳遞比的均值為1.631,其中偏離均值的最大百分比為2.15%,因此可以認(rèn)為葉端定時(shí)信號(hào)的幅值辨識(shí)精度較高。

表1 葉片幅值與應(yīng)變

5 結(jié) 論

1)利用噪聲水平為5 dB的葉片單模態(tài)和多模態(tài)振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行仿真分析,與直接利用壓縮感知方法重構(gòu)信號(hào)相比,本文所提方法能在保持頻率辨識(shí)精度的前提下,提高重構(gòu)信號(hào)的幅值精度。

2)通過搭建安裝有葉端定時(shí)與應(yīng)變片兩套測(cè)量系統(tǒng)的試驗(yàn)臺(tái),以應(yīng)變片測(cè)得信號(hào)為基準(zhǔn),驗(yàn)證了所得葉片振動(dòng)方程的頻率相對(duì)誤差為0.14%,利用葉片應(yīng)變幅值傳遞比恒定的特性,對(duì)比了4個(gè)葉片的傳遞比,其中偏離均值的最大百分比為2.15%。

3)與傳統(tǒng)頻譜分析相比,壓縮感知能夠突破奈奎斯特采樣定理的限制,識(shí)別欠采樣信號(hào)頻率,通過引入增廣設(shè)計(jì)矩陣作為壓縮感知字典,相較于傳統(tǒng)的離散余弦字典而言,可提高幅值辨識(shí)精度。