曾石薔，周長光，王 凱，歐 屹，韓 軍

(南京理工大學機械工程學院，江蘇 南京 210094)

隨著近些年來國家裝備制造業(yè)振興計劃和數(shù)控機床發(fā)展戰(zhàn)略的實施，具有高速度、高精度的高性能滾珠絲杠副已成為滾珠絲杠副的必然發(fā)展趨勢。滾珠絲杠副的載荷分布，對滾珠絲杠副的傳動精度、傳動效率及滾珠絲杠副服役壽命有著重大影響[1-2]。因此，在對滾珠絲杠副進行優(yōu)化設計、提高滾珠絲杠副定位精度時，精確地計算滾珠絲杠副載荷分布是必不可少的。

滾珠絲杠副的靜態(tài)載荷分布直接決定了滾珠絲杠副靜態(tài)承載能力和精度，常作為分析滾珠絲杠副某些動態(tài)特性的基礎，在滾珠絲杠副載荷分布中顯得尤其重要。然而，典型的滾珠絲杠副系統(tǒng)很難直接測量一定軸向載荷下滾珠的受力。一些學者將絲杠、螺母視為二維板，試圖通過實驗方法測量滾珠絲杠副的靜態(tài)載荷分布[3]，這種簡化方式很難精確地測量實際的滾珠和滾道力及變形關系。鑒于實驗測量滾珠絲杠副載荷分布的難度很大，大多數(shù)學者采用仿真的方法來預測載荷分布。但現(xiàn)有滾珠絲杠副載荷分布模型的建立[4-5]都忽略了滾道誤差，對滾動體誤差的研究也存在很大不足。趙國平[6]、張佐營[7]和甄妮[8]等以軸向載荷均勻分布在每個受載滾珠上為前提進行數(shù)學建模，分別提出了滾珠絲杠副的滾珠與滾道接觸力及接觸變形的計算方法，但最后得到的數(shù)學計算模型均沒有考慮到不同位置的絲杠螺母單元變形量變化對滾珠與滾道接觸變形的影響；Mei等[9]在研究滾珠誤差對載荷分布影響時，認為滾珠與滾道接觸角對載荷分布影響可以忽略，在建立載荷分布計算模型時將接觸角視為常量45°，這與滾珠與滾道實際接觸狀態(tài)不符；Xu等[10]對文獻[9]提出的滾珠誤差模型進行改進,考慮到滾珠與滾道接觸角的變化, 提出先將大滾珠尺寸壓縮成最小滾珠尺寸，再采用文獻[9]的模型進行載荷分布計算，這種處理方式?jīng)]有考慮到赫茲力和赫茲變形的非線性關系。

針對現(xiàn)有關于滾珠絲杠副靜態(tài)載荷分布研究的不足，本文提出了考慮滾動體誤差、滾道誤差的載荷分布計算模型，探究了不同加工精度下滾珠對滾珠絲杠副載荷分布的影響，并結合國內(nèi)廠家實際加工絲杠過程中產(chǎn)生的滾道誤差，分析滾道誤差對滾珠絲杠副載荷分布的影響，驗證了滾動體和滾道加工精度對產(chǎn)品性能的重要性。

1 影響滾珠絲杠副載荷分布的誤差來源

影響滾珠絲杠副載荷分布的因素主要有滾動體的幾何誤差和滾道的幾何誤差。

1.1 滾動體的幾何誤差對載荷分布的影響

實際滾動體生產(chǎn)中，滾珠實際值和標準值之間會存在偏差。當滾珠尺寸不存在偏差時，可認為滾珠與滾道初始接觸角為45°；當滾珠誤差為正時，滾珠與滾道的初始接觸角將減??；同理當滾珠誤差為負時，滾珠與滾道之間接觸角變大。接觸角的變化直接改變了滾珠與滾道接觸點的位置，也改變了滾珠與滾道接觸力大小。

1.2 絲杠滾道加工誤差對載荷分布的影響

國內(nèi)絲杠生產(chǎn)廠家在進行絲杠滾道加工時，大多采用先車削再磨削的方法。每次磨削前用金剛石刀具對砂輪進行修整，然后再進行砂輪定位。上述絲杠滾道加工方式產(chǎn)生的滾道誤差主要分為以下3種。

1)砂輪幾何誤差導致的滾道左右圓弧半徑誤差。為了得到理想的砂輪廓形，需要進行多次打磨完成砂輪廓形的修正，每次打磨后利用投影儀將砂輪廓形放大，通過與標準廓形進行對比得到誤差。這種打磨方式能夠極大降低砂輪廓形的誤差，但是人為因素影響較大，實際上砂輪左右圓弧半徑仍存在誤差。如圖1所示，忽略砂輪在單次磨削時的磨損量，滾道半徑誤差大小和砂輪廓形誤差將保持一致。當絲杠滾道半徑存在誤差時，滾珠與滾道接觸點發(fā)生改變，導致滾珠絲杠副載荷分布發(fā)生改變。

圖1 絲杠滾道半徑大小誤差圖

2)滾道圓弧中心位置的波動誤差。由于砂輪定位精度和各加工元件剛度的影響，砂輪中心在多次磨削過程中并不能完全重合，砂輪中心在絲杠軸向產(chǎn)生的波動導致絲杠滾道圓弧中心在軸向產(chǎn)生波動，如圖2所示。當滾道中心位置發(fā)生偏移時，部分滾珠因為受到螺母的擠壓導致變形量和接觸力變大。

圖2 絲杠圓弧滾道中心波動誤差圖

3)絲杠熱伸長產(chǎn)生的導程誤差。絲杠滾道切削和磨削加工過程中，加工絲杠會產(chǎn)生較大的熱變形，不同的冷卻方式可以在一定程度上減小熱變形的影響，但不能完全消除熱變形。在熱變形影響下，實際加工得到的絲杠導程會小于理論值，導程的減小導致滾珠被擠壓，滾珠與滾道的接觸變形及接觸力變大。

2 考慮滾動體和滾道誤差的載荷分布計算模型

2.1 考慮滾道誤差的滾珠絲杠副載荷分布計算模型

圖3 單螺母滾珠與滾道接觸狀態(tài)

設第i個滾珠和滾道法向接觸力大小為Qi,絲杠軸向力的平衡方程為：

(1)

式中：α為螺旋升角；αi為第i個滾珠和滾道的接觸角；M為滾珠個數(shù)。

由圖3可得絲杠和螺母第i個單元受到軸向力為：

(2)

根據(jù)赫茲接觸理論，滾珠和滾道法向接觸力Qi與接觸變形δi關系可表示為：

(3)

絲杠和螺母單元軸向變形量Δsi和Δni計算公式為：

(4)

(5)

式中：ΔL為絲杠螺母單元長度；Es和En分別為絲杠和螺母的彈性模量；As和An分別為絲杠和螺母的橫截面積。

圖4 滾珠球心、絲杠螺母滾道曲率中心在 承受軸向載荷后的法向平面幾何位置變化圖

由圖4可得滾珠和滾道之間的彈性變形量δi為：

(6)

Abi=(fs+fn-1)Dbsinα0+δbi

(7)

Ani=(fs+fn-1)Dbcosα0

(8)

式中：fs,fn為絲杠、螺母滾道半徑的適應度；Db為滾珠直徑；α0為未受載時滾珠與滾道的初始接觸角，在不考慮滾珠、滾道誤差時α0的值為45°；δbi為受載后絲杠滾道曲率中心在b軸方向位置變動量。

受載后滾珠與滾道接觸角可表示為：

(9)

當滾道存在半徑誤差Δr時滾珠與滾道初始接觸角α0為：

(10)

因為滾珠和螺母受到壓力，絲杠受到拉力，且三者均發(fā)生彈性變形，根據(jù)滾珠和絲杠螺母的接觸關系，可以將圖1中滾珠和滾道的接觸關系簡化成如圖5所示，得到滾珠絲杠副第i單元絲杠、螺母、滾珠三者在軸向載荷下的變形協(xié)調(diào)關系為：

圖5 滾珠與滾道接觸關系簡化模型

(11)

在不考慮螺母加工誤差的情況下，當與滾珠i處絲杠滾道中心偏移量為Δe時(絲杠滾道中心向左偏移時Δe為正，向右偏移時為負)，滾珠和絲杠螺母接觸關系如圖6所示。根據(jù)圖6易得滾珠絲杠副第i及第(i+1)單元絲杠、螺母、滾珠三者在軸向載荷下變形協(xié)調(diào)關系為：

圖6 滾珠絲杠副第i與(i+1) 單元滾珠和絲杠、螺母接觸簡化圖

(12)

(13)

同理，當絲杠在加工過程中由于熱變形導致導程減小Δp時，滾珠絲杠副第i及第(i+1)單元絲

杠、螺母、滾珠三者在軸向載荷下變形協(xié)調(diào)關系為：

(14)

(15)

將式(12)～式(15)合并可得滾道加工誤差影響下滾珠絲杠副第i及第(i+1)單元絲杠、螺母、滾珠三者在軸向載荷下變形協(xié)調(diào)關系為：

(16)

(17)

將式(2)～式(5)代入式(16)、(17)可得：

(18)

(19)

其中：

2.2 考慮滾動體尺寸誤差的載荷分布計算模型

設第i個滾珠的尺寸偏差為Ti，Ti為正代表滾珠尺寸存在正誤差，Ti為負代表滾珠尺寸存在負誤差。假設滾珠絲杠副有3個不同大小的滾珠和滾道接觸產(chǎn)生接觸變形，如圖7所示，其中Ti<0

圖7 滾珠與滾道接觸簡化圖

根據(jù)滾珠大小關系，將非最大滾珠j(j=i-1,i)放大成最大滾珠大小(即第(i+1)個滾珠大小)，滾珠j在軸向載荷作用下產(chǎn)生的變形過程分為兩個階段：當滾珠與滾道法向接觸變形量小于(Ti+1-Tj)時，滾珠與滾道之間未產(chǎn)生接觸力；當滾珠與滾道法向接觸變形量大于等于(Ti+1-Tj)時，滾珠和滾道發(fā)生彈性變形，產(chǎn)生接觸力。

絲杠、螺母的第i、(i+1)單元與第(i-1)、i

和(i+1)個滾珠形成的變形協(xié)調(diào)關系為：

(20)

(21)

將式(2)～式(5)代入式(20)、(21)中得：

(22)

(23)

滾珠和滾道初始接觸角α0為:

(24)

當?shù)趇個球很小時，第i個滾珠在軸向載荷下可能并未發(fā)生接觸變形，滾珠和滾道接觸變形量δi=0，此時可將第(i-1)和第(i+1)個滾珠及其之間的絲杠螺母部分構成第i個受力單元。第i單元滾珠及絲杠長度為：

(25)

第i單元軸向變形協(xié)調(diào)方程為:

(26)

判斷在一定軸向載荷下滾珠的受載情況，可以采用如下方法：

1)將滾珠按照尺寸從小到大排列，得到Tk1

2)從最小的第k1(j=1)個滾珠開始，依次判斷kj是否滿足不等式：

(27)

直到找到滿足不等式的最小kj值；

3) 滾珠kj，kj+1，…，kM受載，滾珠k1，k2，…，kj-1不受載。

結合公式(1)、(3)、(6)～(11)、(20)～(24)，可以得到4M個非線性等式，分別對應滾珠與滾道接觸力Qi、滾珠與滾道法向接觸變形量δi、不同位置處絲杠滾道曲率中心在b軸方向位置變動量δbi、滾珠與滾道接觸角αi(i=1，2，…，M)共4M個未知數(shù)，因此可以通過MATLAB數(shù)值迭代的方法求得滾珠與滾道接觸力、接觸角、變形量的大小。

3 仿真分析

近年來，結構緊湊、剛性高(承載滾珠數(shù)多)的滾珠絲杠副應用越來越廣泛，因此本文的仿真分析選用漢江機床廠生產(chǎn)的HJG-S系列4010型內(nèi)循環(huán)滾珠絲杠副進行分析，其參數(shù)見表1。

表1 滾珠絲杠副參數(shù)表

所選滾珠絲杠副額定動載荷為30 kN，設滾珠絲杠副承受軸向載荷為10 kN，利用MATLAB求解載荷分布模型方程，可以得到滾珠絲杠副的載荷分布及不同位置處滾珠與滾道接觸角。在不考慮滾動體與滾道誤差的情況下，對文獻[9]提出的模型和本文建立的模型分別進行求解，得到的載荷分布對比結果如圖8所示，不同位置滾珠與滾道接觸角對比結果如圖9所示。

圖8 不同模型的滾珠絲杠副載荷分布對比

從圖8、圖9可以看出，在不考慮誤差時，本文提出的模型和文獻[9]提出的模型得到的載荷分布趨勢一致，由于本文提出的模型考慮了接觸角變化，計算得到的每個滾珠與滾道接觸力比文獻[9]提出的模型減小3.6～3.8 N，即減小了1.6%～1.7%。這也說明滾珠與滾道接觸角對載荷分布有一定的影響，忽略滾珠與滾道在承受軸向載荷后接觸角變化得到的載荷分布是存在誤差的。

圖9 不同模型的滾珠與滾道接觸角對比

3.1 滾動體精度對載荷分布的影響

1)滾動體精度對載荷分布的影響。

根據(jù)《機械設計手冊》[12]，滾珠加工精度有10個等級，不同加工精度等級下滾珠直徑誤差見表2。其中G10精度的滾珠半徑誤差在 0.250 μm以內(nèi)隨機變化，G5精度的滾珠半徑誤差在 0.125 μm以內(nèi)隨機變化。利用MATLAB隨機生成不同加工精度下滾珠半徑誤差值，在G5、G10精度下得到滾珠隨機誤差曲線如圖10所示。當滾珠絲杠副承受的軸向載荷為10 kN時，滾珠絲杠副載荷分布如圖11所示。由圖10和11可知，不考慮滾珠加工誤差時滾珠與滾道接觸力曲線可以看成是不同精度下滾珠與滾道接觸力曲線的中心線。G10精度下滾珠誤差波動大于G5精度下滾珠誤差，對應載荷分布曲線波動也大于G5精度下的載荷分布波動。這也說明滾珠加工精度越高，滾珠絲杠副的載荷分布越平穩(wěn)。

圖11 不同精度滾珠載荷分布

表2 不同加工精度滾珠對應尺寸誤差 單位：μm

滾珠絲杠副摩擦力矩主要受單個滾珠與滾道接觸處摩擦系數(shù)和接觸載荷大小的影響，在滾珠絲杠副潤滑良好的情況下，滾珠絲杠副摩擦力矩由接觸載荷大小決定[13]。由圖10和11可知，滾珠誤差導致滾珠與滾道接觸載荷產(chǎn)生波動，滾珠精度越高，滾珠與滾道接觸載荷波動越小。將不同精度滾珠承受載荷和理想滾珠承受載荷的差作為波動值來表征載荷分布波動情況，得到載荷波動圖如圖12所示。從圖12可以發(fā)現(xiàn)，當滾珠精度從G10提高到G5時，載荷波動值擴大一倍。因此，為了減小摩擦力矩波動，需要選用精度較高的滾珠。

圖10 不同精度下滾珠幾何誤差分布

圖12 不同精度滾珠載荷波動

2)單個滾珠精度對載荷分布的影響。

設滾珠絲杠副承受的軸向載荷為10 kN，除滾珠17加工精度較低外，其余滾珠加工精度等級均為G3。當滾珠17加工精度等級為G40時，分別取G40加工精度等級內(nèi)最大滾珠誤差±1 μm作為滾珠17的誤差，得到滾珠絲杠副載荷分布如圖13所示。由圖13可知，當滾珠17加工精度較低時，該滾珠和滾道接觸力會產(chǎn)生突變。若滾珠存在正誤差，滾珠與滾道接觸力會突然增加；若滾珠存在負誤差，滾珠與滾道接觸力會突然減小。增大或減小的接觸力由其余滾珠承擔，相鄰滾珠并不會產(chǎn)生接觸力的突變。

圖13 滾珠17加工精度等級為G40時 滾珠絲杠副載荷分布

滾珠的負誤差幾乎不改變滾珠與滾道的最大接觸力與接觸變形，滾珠的正誤差會導致滾珠與滾道的接觸力和接觸變形增大，而滾珠和滾道最大接觸力與接觸變形代表了滾珠絲杠副的剛度、摩擦力矩大小[9]，所以接下來只考慮滾珠正誤差對滾珠絲杠副載荷分布的影響。分別假設滾珠17加工精度為G60、G100、G200，取加工精度等級內(nèi)最大正誤差作為滾珠17的誤差，得到滾珠絲杠副載荷分布如圖14所示，從圖14可以得到：采用同一尺寸不同精度等級滾珠進行混合搭配時，精度較低的滾珠與滾道接觸載荷會發(fā)生突變，在軸向載荷為10 kN、滾珠17加工精度等級為G200時，滾珠17與滾道的接觸力從226.6 N變成388.8 N，即接觸力為原來的1.71倍，接觸力的成倍增加導致滾珠絲杠副的剛度迅速變差，滾珠與滾道之間摩擦力和摩擦力矩突然增加，滾珠與滾道磨損增大，滾珠絲杠副壽命降低。這說明單個滾珠加工精度對滾珠絲杠副性能有著很大的影響，為了得到穩(wěn)定的滾珠絲杠副性能，需要控制每個滾珠的加工精度。

圖14 單個低精度滾珠對滾珠絲杠副載荷分布影響

3.2 滾道誤差對載荷分布的影響

1)左右圓弧半徑誤差對載荷分布的影響。

國內(nèi)廠家在絲杠生產(chǎn)過程中，更加關注絲杠的驗收指標，如絲杠行程、誤差等參數(shù)，忽略了左右圓弧滾道的加工精度，使絲杠左右圓弧的加工精度得不到保證。以國內(nèi)T2級滾珠絲杠副為例，在保證滾珠絲杠副的行程誤差滿足出廠要求后，滾道左右圓弧實際半徑值與設計半徑值之間滾道誤差仍可能存在數(shù)十微米的誤差。假設滾道右圓弧分別存在+8 μm、+16 μm、-8 μm、-16 μm的半徑誤差，在軸向載荷10 kN下，滾珠絲杠副載荷分布如圖15所示。由圖15可知，滾道半徑誤差直接影響滾珠與滾道的初始接觸角大小。當滾道右圓弧增大時，滾珠與滾道初始接觸角增大，滾珠絲杠副載荷分布曲線向下偏移，滾珠與滾道的法向接觸力整體減小；當滾道右圓弧減小時，滾珠與滾道初始接觸角增大，滾珠絲杠副載荷分布曲線向上偏移，滾珠與滾道的法向接觸力整體增大。當滾道半徑誤差為8 μm時，每個滾珠與滾道的接觸力均發(fā)生0.9%～1.1%的變化。滾道半徑誤差變化量越大，滾珠與滾道的法向接觸力變化量越大。因此，為了得到準確的滾珠絲杠副載荷分布，需要考慮滾道左右圓弧的半徑誤差。

圖15 不同滾道半徑誤差下滾珠絲杠副載荷分布

2)滾道中心位置波動誤差對載荷分布的影響。

表3 各公差等級下2π 弧度內(nèi)行程誤差變動量 單位：μm

圖16 絲杠不同公差等級下滾珠絲杠副載荷分布

圖17 絲杠不同公差等級下滾珠絲杠副載荷波動

3)熱伸長產(chǎn)生的導程誤差對載荷分布的影響。

以絲杠生產(chǎn)常用材料軸承鋼為例，軸承鋼溫度每升高1 ℃，每1 m軸承鋼熱伸長量為12 μm。本文選用絲杠的導程為10 mm，實際滾道磨削過程中絲杠溫度升高為4～10 ℃，通過數(shù)學計算得到絲杠導程誤差為0.48 ～1.20 μm。考慮絲杠熱伸長后得到的滾珠絲杠副載荷分布曲線如圖18所示。由圖18可知，絲杠熱伸長使?jié)L珠絲杠副載荷分布曲線趨勢從下降變成上升。產(chǎn)生這種現(xiàn)象的原因是絲杠熱伸長使得絲杠導程小于螺母導程，導致滾珠被進一步擠壓，隨著滾珠序號的增大，絲杠和螺母滾道之間存在的偏移越來越大，滾珠和滾道擠壓變形也越來越大，最終導致載荷分布呈現(xiàn)上升趨勢。當加工溫度升高4 ℃時，滾珠絲杠副載荷分布趨于平穩(wěn)，當溫度升高大于5 ℃時，載荷分布迅速變差，各位置滾珠承受載荷不均勻，滾珠絲杠副運動不平穩(wěn)，定位精度變差。因此，可以認為適當?shù)慕z杠熱變形能夠?qū)d荷分布起補償作用，但是當絲杠熱變形過大時，滾珠絲杠副載荷分布迅速變差，滾珠絲杠副性能降低。通過選擇合理的冷卻方式，調(diào)整絲杠磨削溫升值，可以得到更穩(wěn)定的載荷分布。

圖18 熱變形影響下滾珠絲杠副載荷分布

4 結論

本文考慮到滾珠與滾道接觸角變化和不同位置處絲杠螺母單元軸向變形量變化的影響，建立了軸向載荷下滾珠絲杠副載荷分布計算模型，并分析了滾動體誤差、滾道誤差對滾珠絲杠副載荷分布影響。根據(jù)仿真分析結果，可以得到結論：

1)在一定軸向載荷下，滾珠絲杠副中滾珠和滾道接觸力大小并不相等，力作用點處第一顆滾珠受力最大，其余滾珠受力依次減小。

2)滾珠與滾道接觸角的變化對載荷分布有一定影響，為了得到準確的滾珠絲杠副載荷分布，需要考慮滾珠與滾道接觸角的變化。

3)滾珠加工精度直接影響滾珠與滾道接觸力波動情況，通過控制滾珠加工精度等級，可以得到更加平穩(wěn)的載荷分布，從而減小摩擦力矩波動及滾道磨損，增加滾珠絲杠副服役壽命。

4)滾珠絲杠副中滾珠與滾道接觸力的最大值取決于加工精度最低的滾珠。當滾珠尺寸具有較大正誤差時，該滾珠與滾道接觸力迅速增大，滾珠絲杠副承載能力變差，剛度降低。因此，為了提高滾珠絲杠副的承載能力及剛度，需要控制每一個承載滾珠的加工精度。

5)絲杠的滾道加工誤差對控制滾珠絲杠副的載荷分布非常重要。滾道半徑誤差使得滾珠絲杠副載荷分布曲線發(fā)生偏移，從本文仿真結果可知，軸向載荷為10 kN時，T2級滾珠絲杠副存在的滾道中心誤差可導致單滾珠承受載荷變化量達1%；滾道中心偏移誤差決定了滾珠絲杠副行程誤差，當絲杠行程誤差滿足驗收標準時，滾道中心位置產(chǎn)生的載荷波動誤差大小可以忽略；適當?shù)臏厣鸬膶С陶`差能夠?qū)d荷波動起補償作用，而當溫升過大時，滾珠絲杠副載荷分布迅速變差，滾珠絲杠副性能降低。