金 宇，龔?fù)?，?蓓

（南昌航空大學(xué) 通航學(xué)院，南昌 330063）

0 引言

在眾多機(jī)械部件中，齒輪箱作為一種典型的傳動(dòng)通用零部件，其在運(yùn)輸機(jī)械、電力裝備、冶金機(jī)械、航空等領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用。齒輪一般工作于交變的工況下，隨著時(shí)間的推移，其失效無(wú)法避免，進(jìn)而影響到整個(gè)設(shè)備的安全和制造企業(yè)的經(jīng)濟(jì)效益。及時(shí)、有效地診斷出齒輪故障診斷在理論和工程應(yīng)用中顯得尤為重要[1-2]。

在齒輪故障診斷領(lǐng)域，基于振動(dòng)信號(hào)處理的方法已有眾多的研究和應(yīng)用。小波理論通過(guò)在不同時(shí)間以不同頻率的一系列振蕩函數(shù)來(lái)解析信號(hào)，可以將原始信號(hào)的時(shí)頻特性更好地表征出來(lái)，廣泛用于檢測(cè)軸承故障及齒輪箱故障[3-6]。但是，這種方法具有一定的局限性，包括干擾項(xiàng)、邊界失真和能量泄漏等，這些都會(huì)產(chǎn)生很多微小的不可預(yù)測(cè)的尖峰，難以解釋和分析所得到的結(jié)果[7]。目前，經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸庾鳛橐环N自適應(yīng)信號(hào)解調(diào)方法在故障診斷領(lǐng)域得到了廣泛的關(guān)注[8-10]，該理論認(rèn)為復(fù)雜信號(hào)可分解為一組完整的、幾乎單調(diào)的本征模態(tài)函數(shù)，其中某些函數(shù)比原始信號(hào)包含了更多的故障信息。然而，這種方法都存在著模式混合、敏感于噪聲和采樣率等問(wèn)題[11]。

作為一種非線性差分算子，Teager 能量算子能夠?qū)⑿盘?hào)的瞬態(tài)特性顯現(xiàn)出來(lái)，對(duì)被檢信號(hào)中的沖擊分量更為敏感，具有較好的時(shí)間分辨率。針對(duì)滾動(dòng)軸承故障診斷問(wèn)題，王洪明[12]提出了一種基于本征時(shí)間尺度分解和矢Teager 能量算子的解調(diào)新方法，從構(gòu)建的仿真信號(hào)來(lái)看，該方法是有效的，將該方法與Hilbert 包絡(luò)解調(diào)法相比較，從解調(diào)結(jié)果可知兩方法的一致性良好。李浪[13]提出一種基于VMD 與Teager 能量算子的風(fēng)電機(jī)組軸承故障診斷方法，即先使用VMD 處理振動(dòng)信號(hào)并根據(jù)峭度指標(biāo)篩選得到敏感本征模態(tài)函數(shù)，將敏感本征模態(tài)函數(shù)經(jīng)Teager 能量算子和傅里葉變換處理，得到其Teager 能量譜，進(jìn)而得到故障特征頻率。王鳳利等[14]考慮到集經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解中的參數(shù)選擇和軸承故障解調(diào)問(wèn)題，構(gòu)建了一種基于參數(shù)優(yōu)化集合經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸夂蚑eager 能量算子的復(fù)合算法，并應(yīng)用于滾動(dòng)軸承的內(nèi)、外圈失效識(shí)別。上述研究發(fā)現(xiàn)，Teager 能量算子解調(diào)應(yīng)用中常借用其他方法作為輔助工具，其原因主要是由于強(qiáng)噪聲對(duì)于分析的干擾了該解調(diào)方法的分析結(jié)果，進(jìn)而先通過(guò)相應(yīng)信號(hào)方法進(jìn)行預(yù)處理，以便突出原始信號(hào)中的故障特征內(nèi)容，最終實(shí)現(xiàn)更好的故障特征解調(diào)效果。

在Teager 能量算子處理低信噪比的齒輪故障數(shù)據(jù)時(shí)，提取故障特征頻率存在困難。針對(duì)該問(wèn)題，本研究構(gòu)造了自適應(yīng)Teager 能量算子算法，并通過(guò)仿真信號(hào)和實(shí)際振動(dòng)信號(hào)的故障識(shí)別和診斷證明其有效性。

1 Teager 能量算子理論

一般而言，將信號(hào)的幅值平方再積分，所得稱(chēng)為信號(hào)能量，它代表的是系統(tǒng)的勢(shì)能或者動(dòng)能，是信號(hào)幅值的平方的積分，無(wú)法表征系統(tǒng)的總能量。當(dāng)系統(tǒng)產(chǎn)生沖擊時(shí)，會(huì)引起系統(tǒng)的總能量變化。此時(shí)，若是通過(guò)信號(hào)能量來(lái)觀察沖擊特征，會(huì)存在一定的困難。因?yàn)楫?dāng)沖擊特征的幅值較小，噪聲能量在信號(hào)整體能量中比率較大，從而使得有用信號(hào)能量被淹沒(méi)。

Teager 能量算子的定義是信號(hào)幅值的平方和振動(dòng)頻率平方的乘積，其跟蹤的是沖擊的總能量（包括勢(shì)能和動(dòng)能）。相比信號(hào)能量，Teager 能量算子額外乘上了頻率的平方。另一方面，當(dāng)齒輪失效時(shí)所產(chǎn)生的脈沖信號(hào)具有較高的幅值，且頻率高。相對(duì)信號(hào)能量，Teager 能量算子能夠更好地抑制噪聲能量對(duì)于信號(hào)整體能量的影響，突出原始振動(dòng)信號(hào)中的沖擊特征成分。

將Teager 能量算子記為 ψ，對(duì)任意的連續(xù)信號(hào)x(t)，設(shè)定該信號(hào)的Teager 能量算子：

另一方面，對(duì)于勁度為k的彈簧及質(zhì)量為m的物塊構(gòu)成的線性無(wú)阻尼振動(dòng)系統(tǒng)，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律建立其運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型：

式中：x(t) 是相對(duì)于平衡點(diǎn)的位移，是x(t)對(duì)時(shí)間的二階微分（加速度），解此二階微分方程可得：

計(jì)算式(3)對(duì)時(shí)間變量t的一階與二階導(dǎo)數(shù)，得到物塊的速度和加速度：

式中：A為振動(dòng)幅值，ω=(k/m)1/2為 固有頻率，φ為初始相位。無(wú)阻尼振動(dòng)系統(tǒng)在任意的時(shí)刻下，其機(jī)械能等于物塊的動(dòng)能和彈性勢(shì)能的和：

將式(3)、式(4)代入式(6)，可得：

由此得出，簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)任意時(shí)刻的總能量和頻率的平方及振動(dòng)幅值成正比的關(guān)系。

將式(4)、式(5)代入Teager 能量算子的式(1)，可得：

將式(7)、式(8)對(duì)比可得：兩式只相差m/2，即系統(tǒng)的瞬時(shí)總能量和Teager 能量算子 ψ僅相差常數(shù)m/2。因而系統(tǒng)總能量是能被Teager 能量算子跟隨。對(duì)于離散信號(hào)x(n)，式(1)離散化的差分方程為：

據(jù)式(9)可知：對(duì)于任意時(shí)刻n，僅需3 個(gè)采樣數(shù)據(jù)點(diǎn)就可計(jì)算離散信號(hào)的Teager 能量算子。而且，Teager 能量算子能跟蹤系統(tǒng)總能量，所以Teager能量算子 ψ對(duì)信號(hào)的突變敏感，計(jì)算簡(jiǎn)單，能夠很好地顯現(xiàn)信號(hào)的瞬態(tài)分量，對(duì)信號(hào)進(jìn)行解調(diào)。

2 齒輪故障振動(dòng)信號(hào)分析

2.1 仿真信號(hào)分析

在齒輪箱發(fā)生故障的時(shí)候，周期性的嚙合振動(dòng)信號(hào)將會(huì)發(fā)生調(diào)制現(xiàn)象，且在實(shí)際情況中齒輪箱振動(dòng)信號(hào)一般會(huì)同時(shí)發(fā)生調(diào)頻和調(diào)幅現(xiàn)象，從而在實(shí)際的信號(hào)頻譜中，中心為固有頻率或嚙合頻率的邊頻帶是調(diào)頻與調(diào)幅同時(shí)作用的結(jié)果。在僅有調(diào)頻或調(diào)幅作用時(shí)，振動(dòng)信號(hào)的頻譜圖中，邊頻帶一般是關(guān)于嚙合頻率或固有頻率對(duì)稱(chēng)的。但在調(diào)頻與調(diào)幅同時(shí)作用時(shí)，這種對(duì)稱(chēng)性將會(huì)被破壞，因而在觀察實(shí)際測(cè)得的振動(dòng)信號(hào)時(shí)，邊頻帶總是不對(duì)稱(chēng)的[15]。

依據(jù)上述分析，仿真信號(hào)數(shù)學(xué)模型為：

式中參數(shù)設(shè)定為：信號(hào)幅值A(chǔ)=1，調(diào)幅調(diào)制參數(shù)B=1，調(diào)頻調(diào)制參數(shù) β=0.5，載波嚙合頻率fm=400、特征頻率fn=23。

由于本研究針對(duì)低信噪比的齒輪箱振動(dòng)信號(hào)，該調(diào)幅調(diào)頻信號(hào)添加高斯白噪聲，信噪比為?10 dB，形成齒輪箱振動(dòng)仿真信號(hào)，采樣點(diǎn)數(shù)為4096，信號(hào)采樣率為2048 Hz。如圖1 所示，此為仿真信號(hào)的時(shí)域圖和頻域圖。通過(guò)觀察頻域圖1b可知，頻域中載波頻率fm和特征頻率23 Hz 成分因強(qiáng)噪聲干擾而未被提取，因此通過(guò)建議方法對(duì)其進(jìn)行處理。

圖1 仿真信號(hào)時(shí)域圖頻譜圖Fig.1 Waveform and frequency spectrum of simulated signals

通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)，該方法在進(jìn)行到第3 次計(jì)算后獲得了最大峭度值4.13，即優(yōu)化過(guò)程結(jié)束，相應(yīng)的解調(diào)結(jié)果如圖2 所示。圖2a 中能夠較清晰地看出原始仿真信號(hào)的突變處，同時(shí)，圖2b 中頻譜內(nèi)容的主要峰值出現(xiàn)在特征頻率fn處，該仿真信號(hào)分析表明這個(gè)優(yōu)化方法能夠有效消除強(qiáng)噪聲影響，突出特征信息成分。

圖2 仿真信號(hào)二次能量算子處理后時(shí)域圖和頻譜圖Fig.2 Waveform and frequency spectrum of simulated signals obtained by second-order Teager

2.2 風(fēng)電機(jī)組齒輪箱故障診斷

該風(fēng)電機(jī)組額定功率為3 MW，故障齒輪齒數(shù)為32，輸出轉(zhuǎn)速1800 r/min，采樣時(shí)間為2 s，采樣率為97 656 Hz，嚙合頻率fm為960 Hz，故障特征頻率為28.3 Hz。齒輪故障振動(dòng)信號(hào)的時(shí)域波形（圖3a）中存在著明顯的噪聲成分，造成信號(hào)的信噪比較低，其頻域圖（圖3b）中低頻范圍中沒(méi)有發(fā)現(xiàn)故障特征頻率及其諧波成分，同時(shí)以嚙合頻率為中心的兩旁也未出現(xiàn)以特征頻率為間隔的邊頻調(diào)制現(xiàn)象。因此，使用自適應(yīng)Teager 能量算子對(duì)該信號(hào)進(jìn)行處理，進(jìn)行二次運(yùn)算后，信號(hào)的峭度值為最大的12.5。其時(shí)域圖（圖4a）中已經(jīng)可以發(fā)現(xiàn)明顯的沖擊信號(hào)，頻域圖（圖4b）中也可以觀察到故障特征頻率及其諧波，所以該方法對(duì)這個(gè)風(fēng)電機(jī)組齒輪箱的故障診斷是有效的。

圖3 齒輪箱振動(dòng)信號(hào)時(shí)域圖和頻譜圖Fig.3 Waveform and frequency spectrum of fault gear signals

圖4 齒輪箱振動(dòng)信號(hào)二次能量算子處理后時(shí)域圖和頻譜圖Fig.4 Waveform and frequency spectrum of fault gear signals obtained by second-order Teager

為了論證ATEO 算法的合理性，繼續(xù)對(duì)同一故障振動(dòng)信號(hào)分別進(jìn)行一次和三次計(jì)算。圖5 為一次Teager 能量算子處理的時(shí)域圖和頻域圖，圖中仍然存在著大量的噪聲，因此其頻率圖中只有故障特征頻率fn被微弱地提取，此時(shí)峭度值為5.23。這個(gè)結(jié)果表明，因噪聲干擾，造成一次Teager算子故障解調(diào)能力較弱。三次分析后信號(hào)的峭度值為6.56，時(shí)域波形和頻域波形見(jiàn)圖6，盡管圖中可以觀察到齒輪故障特征，但二次分析結(jié)果相比較，該結(jié)果的故障特征提取效果明顯減弱。上述對(duì)比結(jié)果表明：根據(jù)Teager 能量算子的差分方程式(9)，對(duì)于離散信號(hào)而言，在計(jì)算第n個(gè)采樣點(diǎn)的Teager 能量算子時(shí)，只需使用n?1、n、n+1共3 個(gè)采樣點(diǎn)。當(dāng)所計(jì)算的第n個(gè)采樣點(diǎn)為齒輪箱故障沖擊的峰值點(diǎn)時(shí)（即此時(shí)處于故障沖擊），齒輪箱振動(dòng)水平大，x(n)與x(n?1)、x(n+1)之間的差值較大，[x(n)]2的 值與x(n?1)·x(n+1)的值差距會(huì)較大，具有解調(diào)沖擊特征的作用。當(dāng)所計(jì)算的第n個(gè)采樣點(diǎn)為齒輪箱嚙合振動(dòng)信號(hào)的點(diǎn)時(shí)或?yàn)樵肼曅盘?hào)時(shí)（即此時(shí)無(wú)故障沖擊），齒輪箱振動(dòng)強(qiáng)度較弱，x(n)與x(n?1) 的差值及與x(n+1)的差值較小，因此，[x(n)]2的值與x(n?1)·x(n+1)的值較為接近，計(jì)算得到的Teager 能量算子 ψ[x(n)]的值較小。通過(guò)這種自適應(yīng)方式，經(jīng)過(guò)多次計(jì)算逐步減少噪聲干擾問(wèn)題，并通過(guò)峭度參數(shù)作為計(jì)算次數(shù)的選取依據(jù)，最終實(shí)現(xiàn)故障特征的有效識(shí)別。

圖5 齒輪箱振動(dòng)信號(hào)一次能量算子處理后時(shí)域圖和頻譜圖Fig.5 Waveform and frequency spectrum of fault gear signals obtained by first-order Teager

圖6 齒輪箱振動(dòng)信號(hào)三次能量算子處理后時(shí)域圖和頻譜圖Fig.6 Waveform and frequency spectrum of fault gear signals obtained by third-order Teager

3 結(jié)論

1）針對(duì)齒輪箱故障狀態(tài)下低信噪比信號(hào)的故障識(shí)別問(wèn)題，提出自適應(yīng)Teager 能量算子方法，即通過(guò)多次Teager 算子計(jì)算來(lái)降低噪聲對(duì)于故障解調(diào)的影響。

2）對(duì)仿真信號(hào)和風(fēng)電機(jī)組齒輪箱的故障振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行分析后發(fā)現(xiàn)，處理后的信號(hào)峭度值約提升了1 倍，進(jìn)一步改善了齒輪微弱故障診斷精度。