李曉霞,王雪,馮志新,張啟宇

(1河北工業(yè)大學(xué)省部共建電工裝備可靠性與智能化國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,天津 300130;2河北工業(yè)大學(xué)河北省電磁場與電器可靠性重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,天津 300130)

0 引言

1971年,Chua[1]預(yù)測了一種本質(zhì)為非線性電阻,且其電阻值可以通過流經(jīng)的磁通或電荷的變化而發(fā)生變化的元器件,且定名為憶阻器。憶阻器是表征磁通量與電荷的元器件[2,3],其非線性[4]使它可以代替眾多電路器件來構(gòu)造非線性函數(shù),且憶阻器的伏安特性曲線具有傾斜“8”字型的緊捏滯回線特性,在電路中易于引起振蕩與混沌,這十分有利于混沌電路的搭建與實(shí)際應(yīng)用,科研人員基于這一點(diǎn)構(gòu)建了非線性電路。特別地,在基于憶阻器的混沌電路[5,6]與基于憶阻器的神經(jīng)突觸電路[7,8]方面取得了很大進(jìn)展。

混沌現(xiàn)象已經(jīng)被廣泛研究了幾十年,其中在混沌化[9]、混沌的控制[10?12]、混沌的同步與應(yīng)用等方面[13?16]有很多重要的研究成果?；煦缁傅氖钱a(chǎn)生或者增強(qiáng)系統(tǒng)的混沌性這一過程,混沌化的增強(qiáng)可以提高網(wǎng)絡(luò)的復(fù)雜性與難預(yù)測性,符合保密通訊領(lǐng)域?qū)ο到y(tǒng)安全性的要求。一般來說,用三階或者高階的非線性常微分方程可以實(shí)現(xiàn)連續(xù)系統(tǒng)的混沌。除了常見的Lorenz系統(tǒng)[17?20],Sprott創(chuàng)造的19種含有非線性二次項(xiàng)的網(wǎng)絡(luò)[21,22]也逐漸成為研究熱點(diǎn)。這一系列Sprott系統(tǒng)的不同之處在于,包含常數(shù)項(xiàng)及多個(gè)非線性項(xiàng)在內(nèi)的一系列微分方程組增加了系統(tǒng)的復(fù)雜性,滿足科研過程中對于多種難以預(yù)測的混沌狀態(tài)的需求。近年來對于該系統(tǒng)的研究大多針對其應(yīng)用,如同步控制等[23,24]。對于Sprott系統(tǒng)本身混沌化增強(qiáng)的研究很少,并且鮮有對含常數(shù)的系統(tǒng)進(jìn)行的電路實(shí)現(xiàn)分析。本文基于Sprott-B系統(tǒng)進(jìn)行了包括混沌性驗(yàn)證、系統(tǒng)特性研究、動(dòng)力學(xué)分析及電路實(shí)現(xiàn)在內(nèi)的一系列研究。

當(dāng)前應(yīng)用于混沌電路系統(tǒng)中的憶阻器引進(jìn)方法包括以下幾種:1)基于現(xiàn)有經(jīng)典系統(tǒng),利用憶阻作為某一或多維的反饋項(xiàng)或直接增加一維憶阻變量來增強(qiáng)憶阻混沌特性[25?27];2)在混沌電路中選擇一個(gè)非線性元件,然后用憶阻器將其替換[28,29]。

本文利用第一種憶阻器引進(jìn)方法,基于Sprott-B系統(tǒng),通過增加一個(gè)磁控憶阻器反饋量和一維憶阻變量,構(gòu)建了一個(gè)新型超混沌四階系統(tǒng),并觀察到了超混沌現(xiàn)象,與原Sprott-B系統(tǒng)相比,大大增強(qiáng)了混沌復(fù)雜特性及信號(hào)產(chǎn)生的隨機(jī)性。然后進(jìn)行了新型系統(tǒng)的特性分析,包括Lyapunov指數(shù)和維數(shù)、耗散性、無限多平衡點(diǎn)集與穩(wěn)定性。接著分析了超混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性,其中通過分析隨參數(shù)變化的分岔圖,清楚地看到了通向混沌的過程,并觀察到了瞬態(tài)混沌現(xiàn)象;通過對比隨初始值變化的分岔圖與Lyapunov指數(shù)譜,觀察到多吸引子共存現(xiàn)象。最后,通過系統(tǒng)方程設(shè)計(jì)出相應(yīng)電子模擬電路,實(shí)驗(yàn)相圖與數(shù)值仿真結(jié)果一致,表明本系統(tǒng)可以應(yīng)用于實(shí)際生產(chǎn)生活中。據(jù)了解,尚無文獻(xiàn)討論有關(guān)含常數(shù)項(xiàng)混沌系統(tǒng)的瞬態(tài)混沌與多吸引子共存等情況,本文創(chuàng)新性地構(gòu)建了包含常數(shù)項(xiàng)的憶阻混沌系統(tǒng),為高性能多復(fù)雜性的通訊保密網(wǎng)絡(luò)奠定了基礎(chǔ)。

1 基于憶阻器的Sprott-B超混沌憶阻系統(tǒng)

1.1 Sprott-B簡單系統(tǒng)模型

簡單Sprott-B模型可表示為

式中:狀態(tài)變量為x=(x1,x2,x3)T∈R3,系統(tǒng)參數(shù)a=1,b=2,c=5,且當(dāng)x1、x2、x3的初始值分別選取為(1,1,1)時(shí),方程組(1)得到一個(gè)如圖1所示的吸引子,經(jīng)計(jì)算,系統(tǒng)(1)的Lyapunov指數(shù)為0.4753,0.0004,?2.4757。

圖1 Sprott-B系統(tǒng)的吸引子Fig.1 Chaotic attractor of Sprott-B system

1.2 超混沌憶阻系統(tǒng)模型

在系統(tǒng)(1)的基礎(chǔ)上,分別在第二項(xiàng)上增加了一個(gè)憶阻反饋項(xiàng),第三項(xiàng)增加了一個(gè)憶阻變量,并增加了一個(gè)第四項(xiàng),得到了四階憶阻系統(tǒng)

式中:k是表征與憶阻器有關(guān)的系數(shù);W(x4)=?d+e|x4|是系統(tǒng)引入的憶阻性質(zhì)的函數(shù)方程,此處選用磁控二次型憶阻器[30],且定義參數(shù)d=3,e=0.1。需要注意的是W(x4)雖與前述中憶導(dǎo)相同,但卻是無量綱的。由憶阻器相關(guān)定義可知,磁控性憶阻器兩端電流電壓關(guān)系可表示為i=W(φ)v,˙φ=v,其中W(φ)表示由磁通量控制的方程,代表憶導(dǎo)值;φ代表磁通量。這里定義流經(jīng)憶阻器的電荷為q,那么磁控二次型憶阻器的模型可表示為

式中a、b均為正常數(shù),(3)式兩端對時(shí)間t進(jìn)行微分可得

式中W(φ)是二次型磁控憶阻器的憶導(dǎo),dq/dt=i(t),dφ/dt=v(t),即得到

對于憶阻型電路來說,其動(dòng)力學(xué)輸出必定依賴于記憶變量的初始值,此處為磁通,對于不同的記憶變量初始值,會(huì)導(dǎo)致混沌系統(tǒng)在混沌與周期態(tài)之間相互的轉(zhuǎn)化。當(dāng)給定磁通初值φ0=0,施加電壓v=sin(πt)時(shí),得到如圖2所示憶阻器的伏安特性曲線。由圖2可知,引入增量確為憶阻性質(zhì)的量,并且由捏滯回線落于伏安平面的第二和第四象限可知,v(t)i(t)<0,此處引入的是一個(gè)類似能量源的有源憶阻器。

圖2 憶阻器的伏安特性曲線Fig.2 Voltage-ampere characteristic of the memristor

選取參數(shù)a=3,b=15,c=30,k=1,初始條件(33,15,14,12),系統(tǒng)(2)產(chǎn)生的吸引子相圖如圖3所示。由吸引子圖像觀察得出本系統(tǒng)為超混沌狀態(tài)系統(tǒng),下面進(jìn)行系統(tǒng)混沌性驗(yàn)證。

圖3 系統(tǒng)(2)的吸引子。(a)x1-x2平面;(b)x1-x3平面;(c)x2-x3平面;(d)三維圖Fig.3 Chaotic attractor of the system(2).(a)x1-x2plane;(b)x1-x3plane;(c)x2-x3plane;(d)Three-dimensional graphic

1.3 系統(tǒng)特性分析

1.3.1 Lyapunov指數(shù)和維數(shù)

正的Lyapunov指數(shù)是造成系統(tǒng)軌線以指數(shù)倍進(jìn)行分離的根本原因。對于四階超混沌系統(tǒng),必有2個(gè)正的Lyapunov指數(shù)。經(jīng)計(jì)算,系統(tǒng)(2)的4個(gè)Lyapunov指數(shù)LE1、LE2、LE3、LE4分別為3.0785、0.0132、?0.0253、?18.0664。最大的Lyapunov指數(shù)LE1遠(yuǎn)大于系統(tǒng)(1)的最大Lyapunov指數(shù)。說明本系統(tǒng)混沌特性大大增強(qiáng)。

根據(jù)Yorke公式[31]可求出Lyapunov維數(shù),即

根據(jù)計(jì)算得出系統(tǒng)(2)的Lyapunov維數(shù)是3.1697,分?jǐn)?shù)維的出現(xiàn)不僅代表本系統(tǒng)具有復(fù)雜的分形結(jié)構(gòu),還表示該系統(tǒng)會(huì)使附近的軌道產(chǎn)生分岔現(xiàn)象,也說明混沌現(xiàn)象確存在于本動(dòng)力系統(tǒng)中。

1.3.2 耗散性

對于系統(tǒng)(2),有

說明系統(tǒng)具有耗散性,且以指數(shù)形式收斂,可表示為

即體積元在t時(shí)收縮至體積元V0e?15t,當(dāng)t→∞時(shí),含有軌跡的每一個(gè)體積元都將以指數(shù)率?15收縮至0,故本系統(tǒng)的所有運(yùn)動(dòng)都將固定至一個(gè)吸引子上。

1.3.3 Poincare截面與功率譜分析

Poincare截面分析是指在多維空間內(nèi)選取一個(gè)截面,當(dāng)Poincare截面上的圖形是一定范圍內(nèi)的連續(xù)曲線或成片密集點(diǎn)的時(shí)候,運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為混沌。在系統(tǒng)(2)中,分別截取了x1=0與x2=1時(shí)的Poincare截面,如圖4所示。觀察到兩個(gè)截面均為成片的密集點(diǎn),故可判定系統(tǒng)(2)為混沌狀態(tài)。

圖4 Poinacer截面。(a)x1=0;(b)x2=1Fig.4 Poincare section.(a)x1=0;(b)x2=1

混沌運(yùn)動(dòng)的內(nèi)在周期性導(dǎo)致其功率譜是連續(xù)的,呈現(xiàn)寬峰狀態(tài),沒有明顯波峰,并呈現(xiàn)類噪聲和沖擊式特點(diǎn)。系統(tǒng)(2)的功率譜如圖5所示,由圖可見系統(tǒng)(2)符合這些特點(diǎn),說明新系統(tǒng)是一個(gè)混沌系統(tǒng)。

圖5 系統(tǒng)(2)的功率譜Fig.5 Power spectrum of system(2)

1.3.4 平衡點(diǎn)集與穩(wěn)定性分析

令系統(tǒng)(2)中˙x1=˙x2=˙x3=˙x4=0,即

得到系統(tǒng)的平衡點(diǎn)集為E={(x1,x2,x3,x4)|x1=x2=0,x3=α,x4=?30},其中α是任意實(shí)數(shù),即系統(tǒng)(2)存在無盡的平衡點(diǎn)集,線性化系統(tǒng)(2)后可得Jacobian矩陣

將平衡點(diǎn)集代入JE后求得Jacobian矩陣的特征值與特征向量,第一個(gè)特征值λ1=0,特征向量e1=[0 0 0 1]T,表示系統(tǒng)在該平衡點(diǎn)集上處于亞穩(wěn)態(tài);第二個(gè)特征值λ2=0,特征向量e2=[0 0 1 0]T,表示本系統(tǒng)在z軸上呈收縮狀態(tài)。第三和第四個(gè)特征值分別為

相應(yīng)的e3,e4分別為

令(11)、(12)式的Δc=225+180α,其決定了λ3、λ4是實(shí)數(shù)還是復(fù)數(shù),因此需要分情況討論。當(dāng)Δc>0時(shí),此時(shí) α > ?1.25,λ3、λ4均為實(shí)數(shù),系統(tǒng)的平衡點(diǎn)呈穩(wěn)定狀態(tài);當(dāng) Δc<0時(shí),此時(shí) α < ?1.25,λ3、λ4均為虛數(shù),系統(tǒng)平衡點(diǎn)呈不穩(wěn)定狀態(tài);當(dāng)Δc=0時(shí),α=?1.25處于臨界點(diǎn)狀態(tài)。綜上,α>?1.25時(shí),平衡點(diǎn)集穩(wěn)定,其余情況不穩(wěn)定。

2 超混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性分析

2.1 分岔特性與瞬態(tài)混沌

系統(tǒng)(2)擁有無限的平衡點(diǎn)集,故擁有無限的穩(wěn)定與不穩(wěn)定的平衡點(diǎn),因此本系統(tǒng)具有多種復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為,例如極限環(huán)、混沌、超混沌等現(xiàn)象。系統(tǒng)參數(shù)改變會(huì)對平衡點(diǎn)穩(wěn)定產(chǎn)生影響,為了更進(jìn)一步地研究系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)特性,觀察系統(tǒng)逐步通向混沌等的過程,研究了參數(shù)a與e改變時(shí)系統(tǒng)分岔圖的變化情況,如圖6所示。

固定參數(shù)b=15、c=30、d=3、e=0.1、k=1,取系統(tǒng)參數(shù)a∈(0.52,0.62),步長為0.0001,初始值選取(33,15,14,12),分岔圖如圖6(a)所示,揭示了本系統(tǒng)逐步走向混沌的過程?？梢婋S參數(shù)a的增大,系統(tǒng)從周期狀態(tài)出發(fā)經(jīng)過多個(gè)倍周期分岔后,進(jìn)入短暫的混沌狀態(tài),接著又重新進(jìn)入類似周期狀態(tài),經(jīng)過一段時(shí)間后進(jìn)入永久混沌狀態(tài)。這一階段的有限時(shí)間尺度的混沌現(xiàn)象稱為瞬態(tài)混沌現(xiàn)象,此現(xiàn)象是由于參數(shù)的變化,使得吸引子與吸引盆之間邊界的距離慢慢變小,直到一個(gè)彼此相遇的臨界值出現(xiàn),這個(gè)過程使得吸引子碰觸到了一個(gè)不穩(wěn)定的周期軌道并引發(fā)了邊界危機(jī)。

固定參數(shù)a=3,b=15,c=30,d=3,k=1,取系統(tǒng)參數(shù)e∈(?0.2,?0.1),步長為0.0001,初始值選取(33,15,14,12),分岔圖如圖6(b)所示,可見,e從?0.2出發(fā)經(jīng)歷了周期狀態(tài)后直接進(jìn)入了混沌狀態(tài),從圖中可以非常明了地看到系統(tǒng)通向混沌的過程。

圖6 隨參數(shù)(a)a,(b)e變化的分岔圖Fig.6 Bifurcation diagram with parameters(a)a and(b)e

2.2 多吸引子共存現(xiàn)象

固定原系統(tǒng)各參數(shù),將初始值w作為分岔參數(shù),當(dāng)w在區(qū)域[?32,12]內(nèi)變化時(shí),得到如圖7所示的Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖。從圖中對比可以看出,圖7(a)、(b)兩圖證明系統(tǒng)隨初值w變化狀態(tài)相吻合,系統(tǒng)從初始的發(fā)散狀態(tài)出發(fā)(w=?30之前),逐步進(jìn)入周期狀態(tài)(w∈[?30,6]),最終進(jìn)入混沌狀態(tài),表明本系統(tǒng)在不同的憶阻初始值狀態(tài)下有著完全不同的動(dòng)力學(xué)行為,這也是導(dǎo)致多吸引子共存現(xiàn)象的原因。為了更進(jìn)一步證明多吸引子共存現(xiàn)象的存在,從該范圍內(nèi)取w=?22.6作吸引子相圖,如圖8(a)所示,為周期態(tài);取w=10,為混沌態(tài),如圖8(b);取w=12,為超混沌狀態(tài),如圖8(c)?？梢姰?dāng)系統(tǒng)各參數(shù)不變時(shí),系統(tǒng)狀態(tài)隨著初始值的變化而改變。

圖7 (a)隨w變化的Lyapunov指數(shù);(b)w∈[?32,12]的分岔圖Fig.7 (a)Lyapunov exponent with w;(b)Bifurcation diagram with w ∈ [?32,12]

圖8 隨w變化的吸引子xy平面相圖。(a)w=?22.6;(b)w=10;(c)w=12Fig.8 Phase portraits of attractor on xy plane with w.(a)w=?22.6;(b)w=10;(c)w=12

3 憶阻超混沌系統(tǒng)的電路實(shí)現(xiàn)

為進(jìn)一步證明本系統(tǒng)的可行性,避免混沌退化效應(yīng),設(shè)計(jì)出了相應(yīng)超混沌憶阻電路,并在示波器上觀察到了相應(yīng)形成的相圖。為了圖像整潔,分別給出了各支路的連線圖,并分別用x、y、z、w代替x1、x2、x3、x4。利用改進(jìn)型模塊化設(shè)計(jì)方法最大程度節(jié)省了元器件的使用與工作量,并在Multisim上進(jìn)行了電路仿真,圖中運(yùn)算放大器與電容組合實(shí)現(xiàn)了反向積分功能,與電阻組合實(shí)現(xiàn)了反相器功能,乘法器用來實(shí)現(xiàn)電路中的非線性項(xiàng)。并采用運(yùn)算放大器U1、U2(LM741)、乘法器、線性電容、線性電阻等元器件構(gòu)建電路。根據(jù)基爾霍夫定律可得(2)式對應(yīng)的電路方程為

其中反相器電路中各電阻Ri(i=2,3,7,8,11,12,14,15)=10 kΩ,Ci(i=1,2,3,4)=100 nF,選取VEE,VCC=±12 V,故運(yùn)放的線性工作范圍為±10.6 V,需作變量比例壓縮變換(此處選取10倍),令vx、vy、vz、vw代表電壓,即vx=10vx1、vy=10vy1、vz=10vz1、vw=10vw1,其中vx1、vy1、vz1、vw1是積分電容上施加的電壓,且采用倍乘因子為0.1的AD633乘法器,時(shí)間尺度變換因子τ0=100。經(jīng)過壓縮、尺度變換后的標(biāo)準(zhǔn)化方程為

計(jì)算可得到R1=333.333 Ω,R4=8.333 kΩ,R5=6.667 kΩ,R6=10 kΩ,R9=1 kΩ,R10=100 kΩ,R13=100 kΩ,R16=1 MΩ。電路原理如圖9所示,其中圖9(a)為x支路電路原理圖;圖9(b)為y支路電路原理圖,線框內(nèi)是憶阻器的等效電路圖,其中?x經(jīng)過反向積分后得到磁通量w,w經(jīng)過由R100(10 kΩ)、R101(10 kΩ)、R102(10 kΩ)、R103(5 kΩ)、R104(10 kΩ)和二極管D1、D2構(gòu)成的絕對值電路實(shí)現(xiàn)了對于憶阻器磁通量的絕對值運(yùn)算。圖9(c)為第二種憶阻器等效電路搭建方法,原理是利用符號(hào)函數(shù)電路與乘法器連接實(shí)現(xiàn)絕對值電路,其中R19=100 kΩ,C5=100 nF,R17=Esat=10.6 kΩ,R18=1 kΩ。這種方法在系統(tǒng)中使用元件較少,節(jié)省元件數(shù)量,值得進(jìn)一步研究。圖9(d)為z支路電路原理圖,將其中包含的常數(shù)項(xiàng)看成普通參數(shù)參與設(shè)計(jì),計(jì)算后選用V1=?30 V的接地電源表示。

圖9 (a)x支路電路;(b)y支路電路;(c)憶阻器第二種等價(jià)電路;(d)z支路電路Fig.9 (a)Circuit of branch x;(b)Circuit of branch y;(c)The second equivalent circuit of memristor;(d)Circuit of branch z

示波器仿真結(jié)果如圖10所示,各平面相圖均與數(shù)值仿真結(jié)果一致,驗(yàn)證了本系統(tǒng)的正確性與現(xiàn)實(shí)可用性。

圖10 示波器中得到的吸引子Fig.10 Attractors observed in analog circuit

4 結(jié)論

基于Sprott-B設(shè)計(jì)了一種新的憶阻器超混沌系統(tǒng),該系統(tǒng)通過引入二次型磁控憶阻器,極大地增加了系統(tǒng)復(fù)雜性,提高了系統(tǒng)混沌性。通過對于系統(tǒng)的包括Lyapunov指數(shù)與維數(shù)、耗散性、Poincare截面與功率譜圖、平衡點(diǎn)集與穩(wěn)定性等特性的分析,從數(shù)值仿真角度證明了本系統(tǒng)的超混沌特性;分析了包括隨參數(shù)變化的分岔圖和多吸引子共存等新動(dòng)力學(xué)行為,這是首次對于包含常數(shù)項(xiàng)的超混沌系統(tǒng)進(jìn)行的混沌形成過程和多吸引子共存的研究;最后搭建了基于Sprott-B的超混沌憶阻電路,并用示波器觀察到了吸引子相圖,驗(yàn)證了本系統(tǒng)的切實(shí)可行性。第二種憶阻器等效電路在系統(tǒng)中雖然使用元件較少,但效果并不明顯,主要表現(xiàn)在示波器圖像失真等方面,有待進(jìn)一步的研究。