邢武策， 陳恩利,2， 常宇健

(1.石家莊鐵道大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，河北 石家莊 050043；2.石家莊鐵道大學(xué) 省部共建交通工程結(jié)構(gòu)力學(xué)行為與系統(tǒng)安全國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河北 石家莊 050043；3.石家莊鐵道大學(xué) 電氣與電子工程學(xué)院，河北 石家莊 050043)

組成懸架的機(jī)械結(jié)構(gòu)中，像空氣彈簧、磁流變減振器等減振部件具有黏彈性本構(gòu)關(guān)系，相比于傳統(tǒng)的整數(shù)階模型，分?jǐn)?shù)階模型更能準(zhǔn)確地描述黏彈性減振器的力學(xué)特性，反映懸架變形與受力之間的關(guān)系。

樊明輝等[1]對(duì)含分?jǐn)?shù)階微分的二自由度線性懸架模型在簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的幅頻特性進(jìn)行了解析和數(shù)值分析，并討論了分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)系數(shù)和階次對(duì)系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線的影響。陳炎冬等[2]研究了由分?jǐn)?shù)階磁流變阻尼和非線性彈簧組成的復(fù)雜車輛懸架系統(tǒng)的減振控制。李占龍等[3]建立了考慮幾何參數(shù)的分?jǐn)?shù)階Kelvin-Voigt黏彈性懸架模型，研究了懸架系統(tǒng)的減振特性。游浩等[4]利用粒子群算法研究了被動(dòng)分?jǐn)?shù)階汽車懸架參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)。蓋盼盼等[5]研究了具有頻率依賴性的黏彈性阻尼隔振系統(tǒng)的動(dòng)力特性及優(yōu)化設(shè)計(jì)。王軍等[6]研究了含分?jǐn)?shù)階微分單自由度分段光滑系統(tǒng)的振動(dòng)特性。Yuvapriya et al[7]采用分?jǐn)?shù)階滑模控制在Matlab/Simulink軟件中研究了懸架的振動(dòng)性能?，F(xiàn)主要研究含分?jǐn)?shù)階微分的懸架系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)特性，并分析分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)參數(shù)對(duì)懸架系統(tǒng)垂向振動(dòng)特性的影響。

1 含分?jǐn)?shù)階微分的懸架系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

具有分?jǐn)?shù)階微分特性的1/4車輛二自由度非線性懸架模型如圖1所示。根據(jù)牛頓第二定律，可得到懸架系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程

圖1 含分?jǐn)?shù)階微分1/4懸架模型

(1)

式中，m1、m2分別為車身、輪胎的質(zhì)量；c1為懸架阻尼系數(shù)；h為分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)系數(shù)；p為分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)階次且滿足0

表1 懸架模型各參數(shù)取值

以下研究?jī)?nèi)容均采用表1中所示懸架模型參數(shù)。

2 含分?jǐn)?shù)階懸架系統(tǒng)垂向振動(dòng)特性分析

本節(jié)對(duì)含分?jǐn)?shù)階微分的懸架系統(tǒng)在路面簡(jiǎn)諧激勵(lì)條件下的幅頻響應(yīng)特性進(jìn)行分析，并討論分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)性能的影響。將圖1中的非線性懸架模型進(jìn)行簡(jiǎn)化處理為線性懸架系統(tǒng)，即參數(shù)k3=0。根據(jù)汽車?yán)碚撝R(shí)[8]，選取車身垂向振動(dòng)加速度、輪胎動(dòng)載荷和懸架動(dòng)撓度為評(píng)價(jià)懸架系統(tǒng)振動(dòng)特性的性能指標(biāo)，對(duì)線性化后的懸架運(yùn)動(dòng)微分方程進(jìn)行拉普拉斯變換，可得出系統(tǒng)各性能指標(biāo)的幅頻響應(yīng)特性。

2.1 懸架垂向振動(dòng)幅頻特性

考慮線性懸架系統(tǒng)，即參數(shù)k3=0。對(duì)式(1)進(jìn)行拉普拉斯變換，得

(2)

車身垂向振動(dòng)加速度相對(duì)路面速度的頻率響應(yīng)函數(shù)為

(3)

路面的保持性由輪胎的動(dòng)態(tài)接觸力描述。輪胎動(dòng)載荷相對(duì)路面速度的頻率響應(yīng)函數(shù)為

(4)

懸架動(dòng)撓度相對(duì)路面位移的頻率響應(yīng)函數(shù)為

(5)

式中，符號(hào)“＾”表示拉普拉斯變換;A=-m1ω2+jωc1+k1+jpωph;B=jωc1+k1+jpωph;C=-m2ω2+jωc1+k2+k1+jpωph。

2.2 參數(shù)影響分析

將表1中的懸架系統(tǒng)參數(shù)作為基本參數(shù)，改變其中分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)的系數(shù)h和階次p，分析其對(duì)懸架車身加速度、輪胎動(dòng)載荷和懸架動(dòng)撓度的影響。分析結(jié)果如圖2～圖4所示(路面激勵(lì)幅值A(chǔ)=0.01 m)。

圖2 分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)參數(shù)對(duì)車身加速度幅頻特性影響

圖3 分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)參數(shù)對(duì)輪胎動(dòng)載荷幅頻特性影響

圖4 分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)參數(shù)對(duì)懸架動(dòng)撓度幅頻特性影響

圖2所示為分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)系數(shù)h和階次p對(duì)車身加速度幅頻特性的影響。由圖2可知，分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)系數(shù)h增加，幅頻曲線左側(cè)峰值先減小后增加，兩峰之間的幅值一直增加，對(duì)右側(cè)峰值影響很小；分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)階次p增加，幅頻曲線左側(cè)峰值減小，對(duì)右側(cè)峰值影響也很小，當(dāng)激勵(lì)頻率大于一定值時(shí)，車身加速度幅值隨階次的增加而增加。

圖3所示為分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)系數(shù)h和階次p對(duì)輪胎動(dòng)載荷幅頻特性的影響。由圖3可知，隨著分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)系數(shù)h增加，左側(cè)峰值先減小后增加，右側(cè)峰值減??；隨著分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)階次p的增加，兩側(cè)峰值都在減小，而兩峰之間數(shù)值在增加。

圖4所示為分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)系數(shù)h和階次p對(duì)懸架動(dòng)撓度幅頻特性的影響。由圖4可知，隨著分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)系數(shù)h和階次p的增加，懸架動(dòng)撓度幅頻曲線的兩側(cè)峰值均在減小。可見，通過分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)系數(shù)和階次可降低懸架撓度高頻和低頻的振動(dòng)幅值，但對(duì)中頻幅值影響較小。

通過以上分析可知，分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)的系數(shù)和階次改變會(huì)影響系統(tǒng)的剛度和阻尼，進(jìn)而影響懸架系統(tǒng)的性能。

3 非線性懸架車身振動(dòng)特性

汽車懸架系統(tǒng)的機(jī)械結(jié)構(gòu)，如懸架彈簧、阻尼器和輪胎中包含各種非線性因素，當(dāng)系統(tǒng)中存在非線性因素時(shí)，會(huì)產(chǎn)生混沌、分岔等復(fù)雜的非線性動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象，考慮系統(tǒng)中的非線性因素具有實(shí)際意義，因此，應(yīng)對(duì)具有非線性結(jié)構(gòu)車輛懸架的振動(dòng)特性進(jìn)行研究。本節(jié)以圖1中二自由度1/4懸架系統(tǒng)為研究對(duì)象，采用數(shù)值方法分析考慮非線性因素條件下分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)參數(shù)對(duì)車身振動(dòng)幅頻特性的影響。

采用冪級(jí)數(shù)展開法對(duì)懸架系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程(1)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。首先，將微分方程寫為狀態(tài)方程的形式

(6)

式中，z1為懸架車身與輪胎的相對(duì)位移；z2為輪胎的運(yùn)動(dòng)速度；z3為輪胎的運(yùn)動(dòng)位移；z4為車身的運(yùn)動(dòng)速度；z5為分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)。

通過冪級(jí)數(shù)展開法(PSE)對(duì)分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)進(jìn)行處理，該方法的計(jì)算公式(對(duì)分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)的離散化過程)為

(7)

(8)

對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)方程式(6)進(jìn)行離散化處理，并通過Matlab軟件進(jìn)行數(shù)值迭代計(jì)算。在數(shù)值迭代計(jì)算過程中，迭代步長為0.000 1，計(jì)算總時(shí)間為400 s，將計(jì)算結(jié)果的前80%(320 s)忽略，將后20%(80 s)中的最大值作為系統(tǒng)響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)幅值，激勵(lì)頻率變化步長為1 rad/s。為了驗(yàn)證式(6)中數(shù)值迭代方法的正確性，以車身位移為例，參數(shù)k3=0，分別從數(shù)值和解析角度畫出其穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的幅頻特性曲線。其中，車身位移的解析解表達(dá)式根據(jù)式(2)可得

(9)

解析解與數(shù)值解的對(duì)比結(jié)果如圖5所示。

圖5 車身位移幅頻響應(yīng)曲線

由圖5可知，數(shù)值解與解析解吻合很好，說明數(shù)值迭代計(jì)算結(jié)果精度較高。

討論非線性項(xiàng)系數(shù)k3取值分別為245 000、285 000、355 000(非線性參數(shù)k3的選取參考文獻(xiàn)[9])時(shí)，車身振動(dòng)位移的幅頻響應(yīng)曲線(懸架系統(tǒng)中其他參數(shù)均取表1中數(shù)值)。

由圖6可知，隨著懸架非線性系數(shù)k3值增加，車身位移幅頻響應(yīng)曲線的峰值向上向右移動(dòng)，曲線出現(xiàn)跳躍多解現(xiàn)象，不穩(wěn)定幅值所對(duì)應(yīng)的頻率范圍增加。此外，由圖6可看出非線性系數(shù)k3只對(duì)振動(dòng)峰值產(chǎn)生影響，高頻范圍的振動(dòng)幅值未受非線性系數(shù)k3的影響。由于數(shù)值掃頻過程中只能計(jì)算出系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解，所以不穩(wěn)定的解未能畫出。

圖6 非線性參數(shù)k3變化對(duì)懸架車身位移幅頻響應(yīng)曲線影響

以下討論當(dāng)非線性參數(shù)k3=355 000條件下，分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)系數(shù)h和階次p對(duì)車身位移幅頻響應(yīng)曲線的影響。分析結(jié)果如圖7和圖8所示。

圖7 分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)系數(shù)h對(duì)車身位移幅頻響應(yīng)曲線影響

圖8 分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)階次p對(duì)車身位移幅頻響應(yīng)曲線影響

由圖7可知，隨著分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)系數(shù)的增加，車身振動(dòng)幅值減小，說明懸架系統(tǒng)的等效阻尼增加，幅頻響應(yīng)曲線的彎曲程度提高，說明懸架系統(tǒng)的等效剛度增加。可見，分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)系數(shù)h的增加，會(huì)使系統(tǒng)中的等效剛度和等效阻尼增加。

由圖8可知，隨著分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)階次p的增加，車身振動(dòng)幅值減小，曲線的彎曲程度降低，當(dāng)階次p大于一定數(shù)值時(shí)，曲線中不再存在跳躍和多解的現(xiàn)象。研究表明，分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)階次p的提高會(huì)增加系統(tǒng)中的等效阻尼，圖8中階次p增加，振動(dòng)幅值減小符合規(guī)律。

4 結(jié)論

本文研究了含分?jǐn)?shù)階微分二自由度1/4懸架系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧激勵(lì)條件下的垂向振動(dòng)特性。

(1)針對(duì)忽略非線性因素的線性懸架模型，通過分析分?jǐn)?shù)階項(xiàng)參數(shù)對(duì)懸架車身加速度、輪胎動(dòng)載荷和懸架動(dòng)撓度幅頻特性的影響發(fā)現(xiàn)，分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)的系數(shù)和階次改變會(huì)影響懸架系統(tǒng)幅頻特性的共振峰值和共振頻率。

(2)針對(duì)考慮非線性因素的懸架系統(tǒng)，通過分析發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)參數(shù)變化會(huì)改變懸架系統(tǒng)的剛度和阻尼，進(jìn)而影響車身振動(dòng)的幅頻特性，包括振動(dòng)峰值、振動(dòng)的固有頻率和曲線的彎曲程度。