劉 鋒，陳 浩，李國(guó)平

（湖南工學(xué)院，湖南 衡陽(yáng) 421002）

1 Cayley(凱萊）變換

現(xiàn)在考慮這樣一個(gè)映射：R=(E-S)-1(E+S)

其中S是反對(duì)稱(chēng)矩陣，此映射稱(chēng)為Cayley（一階）變換。對(duì)于反對(duì)稱(chēng)矩陣S，我們來(lái)討論其特征值，設(shè)x是屬于其特征值λ的特征向量，則Sx=λx

在上式兩邊左乘，得

2 旋轉(zhuǎn)矩陣的Cayley參數(shù)化

當(dāng)n=3時(shí)，即為so(3)→SO(3)，也就是說(shuō)由反對(duì)稱(chēng)矩陣可以通過(guò)Cayley變換生成一個(gè)旋轉(zhuǎn)矩陣R,即旋轉(zhuǎn)矩陣的Cayley參數(shù)化，對(duì)于R∈SO(3)，其特征多項(xiàng)式形式為

3 其他形式的凱萊變換

Cayley變換除了前邊所給的形式之外，還有其他的形式：

上邊這三種形式可由E-S與E+S可交換，從而(E-S)-1和E+S、E-S和(E+S)-1也可交換證明它們也可生成行列式為1的正交矩陣。

4 Cayley逆變換

利用上式Cayley變換可寫(xiě)成：

5 旋轉(zhuǎn)的指數(shù)表示和Cayley參數(shù)化

剛體繞軸ω→旋轉(zhuǎn)θ角的旋轉(zhuǎn)方程的指數(shù)表示為：

6 Cayley變換和旋轉(zhuǎn)矩陣Rodriguez向量參數(shù)化

為了介紹Rodriguez向量，我們先給出旋轉(zhuǎn)矩陣的Euler參數(shù)化。根據(jù)歐拉旋轉(zhuǎn)定理，我們引入Euler參數(shù)e0,e1,e2,e3，其中e0是數(shù)量，e1,e2,e3是向量的三個(gè)分量，且

7 結(jié)語(yǔ)

從前面的討論，我們可以看到Cayley變換將一個(gè)反對(duì)稱(chēng)矩陣變換為正交矩陣，從而實(shí)現(xiàn)了旋轉(zhuǎn)矩陣的三維參數(shù)化。Cayley參數(shù)化雖然非奇異，但是它不是全局的。對(duì)于有特征值為-1（相應(yīng)跡為-1）的旋轉(zhuǎn)矩陣，用Cayley參數(shù)化是不能表示的。繞任意軸旋轉(zhuǎn)180°對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矩陣的跡等于-1，Cayley參數(shù)化就不能表示。

Cayley變換是李群在其單位元附近線性化的一個(gè)很重要的工具，而且它是有理的，此變換不涉及像三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)這樣的超越函數(shù)，這在數(shù)值計(jì)算時(shí)是很重要的，因?yàn)椴恍枰馁M(fèi)大量的計(jì)算時(shí)間。Cayley變換是可逆的，當(dāng)已知旋轉(zhuǎn)矩陣時(shí)，可以利用逆變換求出相應(yīng)參數(shù)。旋轉(zhuǎn)矩陣的指數(shù)表示法和Cayley參數(shù)化在形式上也是統(tǒng)一的。Rodriguez參數(shù)化也可以由Cayley變換推出，因此不同的姿態(tài)表示方法可以通過(guò)Cayley變換實(shí)現(xiàn)統(tǒng)一。