嚴 涵，王 偉，周路群

(北京大學 物理學院，北京 100871 )

豎直方向的周期性驅(qū)動力作用于液體，可使其表面產(chǎn)生有序的周期性結(jié)構(gòu)——這一現(xiàn)象最早被法拉第研究[1]，稱為“法拉第斑圖”.

理論上，為定量研究這一現(xiàn)象，需要在流體動力學的納維-斯托克斯(Navier-Stokes)方程中加入表面張力和黏滯阻力的貢獻項.20世紀中葉，Benjamin和Ursell分析了不含黏滯阻力項的情形，得到了振幅隨時間演化的方程，并表述為Mathieu方程的標準形式.由此，他們定量地預言了依賴于外界的驅(qū)動振幅和驅(qū)動頻率的法拉第斑圖的生成條件[2].其生成機制為溶液系統(tǒng)在特定邊界條件下的本征模式與外界驅(qū)動參數(shù)作用下達到參數(shù)共振，這一理論框架在低頻條件下被較充分地進行了實驗檢驗(根據(jù)實驗觀察經(jīng)驗及前人研究[3]，在本實驗條件下，“低頻”即可用線性理論近似描述的區(qū)域大致在40 Hz以下，高頻大致在60 Hz以上)，并得到了理論和實驗上的推廣[4].然而，在較高的驅(qū)動頻率下，非線性效應更為顯著，前述理論的預言能力較為有限.實驗觀察表明，在高頻驅(qū)動條件下，法拉第斑圖生成的參數(shù)條件受溶液系統(tǒng)邊界條件的影響較小，其生成和選擇問題極大地依賴溶液本身的特性.

本實驗關(guān)注高頻驅(qū)動條件下黃原膠溶液生成法拉第斑圖的臨界參數(shù)關(guān)系，發(fā)現(xiàn)最大驅(qū)動加速度Acc與驅(qū)動頻率f存在準線性變化關(guān)系，這個線性關(guān)系預示著驅(qū)動加速度和驅(qū)動頻率的比值存在常量的可能，即某種速率特征量可能是描述法拉第斑圖生成行為的特征量.之后，本文嘗試使用修改后的納維-斯托克斯方程，得到基于溶液系統(tǒng)能量耗散和外界能量輸入達到平衡的有關(guān)臨界參數(shù)的半定量理論關(guān)系預言.然后，根據(jù)實驗結(jié)果和理論預言的對比，提出液面速率可能是描述系統(tǒng)斑圖生成行為的特征量，并指出了進行進一步研究的可能.

1 儀器及測量方案介紹

1.1 實驗儀器介紹

實驗儀器由模態(tài)激振器(JZK-100)、掃頻信號發(fā)生器(YE1311)、功率放大器(YE5878)、壓電式加速度傳感器(GA-YD-107)、電荷放大器(YE5852)(這五部分購自江蘇聯(lián)能電子技術(shù)有限公司)以及示波器(TDS1002，泰克科技中國有限公司)和高速攝像機(AOS S-MOTION，瑞士AOS公司，AOS Technologies AG)組成.掃頻信號發(fā)生器輸出特定頻率f、特定振幅Am的交變信號，經(jīng)功率放大器放大后，輸入模態(tài)激振器，使固連于其上的平板以及無蓋圓形容器在豎直方向上周期性振動.固定在平板上的加速度傳感器將加速度信號經(jīng)電荷放大器輸入示波器，通過讀出示波器電壓峰-峰值(記為U)可知平臺振動的最大驅(qū)動加速度值A(chǔ)cc∝U(比例系數(shù)受電荷放大器控制，為一常數(shù)，單位ms-2V-1).在實驗過程中，可使用安裝在圓形容器上方的高速攝像機觀察液體表面的圖樣.實驗裝置示意圖如圖1所示，該圖參考自同一實驗平臺進行實驗的亓瑞時等人的論文[3].

圖1 實驗裝置示意圖

本實驗中，溶液系統(tǒng)為具有一定黏稠性的黃原膠溶液.黃原膠溶液是有黏性的非理想流體，應用于法拉第斑圖的研究，能獲得更豐富穩(wěn)定的非線性物理效應.另外，本實驗希望關(guān)注黃原膠溶液的表面性質(zhì)，希望盡可能減少系統(tǒng)整體幾何屬性如容器邊界、液體深度的影響.之前低頻段的研究表明：液體深度較大(遠大于重力波波長)時，深度對液面結(jié)構(gòu)的影響近似可以忽略；而高頻段的定性實驗則表明，容器口徑較大時邊界的影響較小.因此，本文選用較大口徑(直徑D=14 cm)的圓形容器，分別加入150 ml、250 ml溶液(深度分別為0.97 cm、1.62 cm)進行實驗.根據(jù)預實驗，選取斑圖易于產(chǎn)生、便于觀察的典型濃度c=5 mg/ml進行實驗.

1.2 實驗現(xiàn)象及測量方案

固定信號發(fā)生器輸出頻率，即固定驅(qū)動頻率f，緩慢調(diào)大輸出信號幅值U，可以觀測到在某一特定參數(shù)范圍內(nèi)，溶液表面迅速“生長”出一定的有序結(jié)構(gòu)，即法拉第斑圖.在低頻時，這種結(jié)構(gòu)一般分布于整個液面或其中某個對稱軸上，并展現(xiàn)出顯著的對稱性[4]；高頻時，這種結(jié)構(gòu)更傾向于表現(xiàn)出“晶格”的狀態(tài)，同時其開始出現(xiàn)的區(qū)域也不必然對稱地分布于整個液面上，而是呈現(xiàn)出更多樣的狀態(tài).圖2給出了幾個例子.

(a) f=60 Hz時的“半環(huán)”結(jié)構(gòu) (b) f=90 Hz時的“半環(huán)+半帶”結(jié)構(gòu)

待斑圖穩(wěn)定后，緩慢調(diào)低U，斑圖將消失.其對應的U不必然等于前述增大U時的“臨界值”，即展現(xiàn)出某種“滯回”現(xiàn)象.一般而言，當頻率較高時，上下兩個臨界值分辨得較為清楚，且增大時的臨界值(記為U1)一般高于降低時的臨界值(記為U2).

考慮到儀器的精度和穩(wěn)定性，驅(qū)動頻率選取信號發(fā)生器的輸出值，驅(qū)動外力選取示波器上由加速度傳感器測得的加速度峰-峰值(用電壓表示，如前所述).為盡可能提高實驗結(jié)果的可重復性，本實驗在操作時要求盡可能按照示波器可觀測的最小分辨率來調(diào)節(jié)信號發(fā)生器輸出，每調(diào)節(jié)到一個輸出值，等待5 s并利用高速攝像機傳回的畫面觀察斑圖是否出現(xiàn).

需要特別說明的是，“斑圖是否出現(xiàn)”的判定是依據(jù)肉眼對頻幕上高速攝像機傳回圖像的觀察.這種判據(jù)之所以有一定的可重復性，是因為斑圖出現(xiàn)時液體表面駐波振幅是“跳變”(迅速增長到可觀察的水平)而非緩慢增大的.當然，這種判據(jù)的引入，使得其結(jié)果必然帶有一定的主觀性，存在一定的系統(tǒng)誤差.

2 實驗結(jié)果

選用濃度固定為5 mg/ml的黃原膠溶液，分別測量溶液體積為Va=150 ml和Vb=250 ml時的上下兩個臨界電壓U1和U2.頻率以5 Hz為間隔變化，實驗結(jié)果如圖3所示.

(a) Va=150 ml

從圖3中可以看出，臨界電壓近似線性正相關(guān)地依賴于驅(qū)動頻率.需要說明的是，兩圖中曲線在65 Hz附近的明顯“凹陷”可以被解釋為儀器平臺的共振效應——在這頻率附近可觀察到整個激振器有較大的、宏觀可見的晃動，且在同一平臺上進行實驗的其他研究者也報告了相似的現(xiàn)象.由此，本文將65 Hz處的數(shù)據(jù)的“偏移”視為外界干擾導致，在之后擬合分析時舍去該點.為更準確地研究臨界電壓對驅(qū)動頻率的依賴關(guān)系，對二者均取對數(shù)，再進行分析.考慮到中頻(小于60 Hz)上下兩個臨界點可能有“倒轉(zhuǎn)”現(xiàn)象(即不符合通常所見的U1>U2情形)、且不能很好的排除在誤差范圍之外，本文參考之前研究者的做法[3]，對同一頻率的上下兩值取平均后再取對數(shù)，進行進一步分析.計算結(jié)果表明這一做法對后續(xù)的冪指數(shù)分析幾乎沒有影響.

圖4即為按上述方案進行處理的結(jié)果.圖中的兩條直線是對數(shù)取平均后的數(shù)據(jù)進行線性擬合生成的(已舍去65 Hz的點.實際上這一操作對擬合結(jié)果影響很小).線性擬合的參數(shù)如表1所示，其中σa、σb為擬合直線參數(shù)的不確定度(未考慮單次測量誤差).

令人感興趣的現(xiàn)象是圖4的線性擬合結(jié)果，因臨界電壓U正比于溶液系統(tǒng)的最大驅(qū)動加速度Acc，故有l(wèi)nAcc∝lnf，而表1顯示二者線性擬合的斜率接近1，這預示著驅(qū)動加速度和驅(qū)動頻率的比值存在是常量的可能，即某種速率特征量可能是描述法拉第斑圖生成行為的特征量.若斜率嚴格等于1，這個速率特征量就是外界驅(qū)動溶液系統(tǒng)即平臺的最大速率，也就是說，當外界周期驅(qū)動力足夠大，使得平臺帶動溶液系統(tǒng)在上下振動過程中其最大瞬時速率達到某個臨界值，斑圖就會生成，概括地說就是斑圖是否生成取決于溶液系統(tǒng)所處平臺的最大速率是否越過這個臨界值.

圖4 臨界點隨頻率變化的線性擬合結(jié)果

表1 臨界點隨頻率變化關(guān)系的線性擬合(lnU=a*lnf+b)結(jié)果

接下來，繼續(xù)關(guān)心擬合直線的斜率偏離1的程度，因為這反映了Acc對f的依賴關(guān)系偏離線性的程度.從實驗結(jié)果來看，擬合得到的斜率大致在1.2～1.3的范圍內(nèi)，有系統(tǒng)性的對1的偏離——不妨把這種關(guān)系稱作“準線性”關(guān)系.這種偏離表明本文的猜想“平臺最大速率存在控制斑圖生成的臨界值”不太準確.在下一節(jié)中，將嘗試對此給出一個半定量的理論解釋，并討論其可能的物理意義.

3 半定量理論分析與討論

從考慮表面張力的理想流體的納維-斯托克斯方程出發(fā)，方程的原始版本一般為關(guān)于速度勢的形式[2,5]：

(1)

式中z坐標指向豎直方向(以豎直向上為正)，ζ為液體表面的z坐標，僅為x、y、t的函數(shù)；g為(z方向的)重力加速度.該式假設(shè)了小振幅運動的理想流體(不可壓縮、不考慮粘滯).對其求梯度，并進行推廣——補充黏滯項、推廣加速度項，得到

(2)

式中最后補充的一項黏滯項為仿照教材[5]中常見寫法給出的形式；g*為推廣的、可依賴于時間變化的“重力加速度”.對于本實驗所涉及的情況，可以寫出

g*=g+Acccos(2πft+φ)

(3)

式中g(shù)、Acc均為常矢量.式(2)兩邊點乘v，再對起振的空間區(qū)域取平均，得到

(4)

對式(4)的導出，有幾個說明：首先，最后一項尖括號中并矢的定義為v:v=(?kvi)(?kvi)(重復指標需求和)；其二，式(2)中右邊第二項的空間積分可利用散度定理化為區(qū)域邊界處結(jié)果為零的積分(注意不可壓縮流體即速度場無散的假設(shè))；其三，式(2)中最后一項利用分部積分的辦法，可得到式(4)中的最后一項.

在式(2)成立的情況下，式(4)是嚴格的.然而，為與本文的實驗盡可能相對照，需再做一定假設(shè)的基礎(chǔ)上簡化式(4).本文對式(4)進行時間上的平均.這樣，左邊就可理解為某種“平均起振幅度”隨時間的變化.令其為0后，還需要得到等式右邊的簡化結(jié)果.將各振動量的幅值用下角標m表示，得到如下近似表達式

(5)

其中，k為表面張力重力波的波數(shù)，注意到無黏滯條件下重力波速度場的解析結(jié)果在各空間方向上都有對k的依賴(參見教材[5]相關(guān)內(nèi)容).在能量角度下，這等式可近似的理解為斑圖生成臨界點處的能量平衡方程，即外“重力場”的做功與起振流體黏滯耗散的能量相平衡.考慮到高頻、較大深度條件下，如下的色散關(guān)系符合得較好

(6)

由此，式(5)化為

(7)

最后，實驗結(jié)果的冪指數(shù)在1.2～1.3的范圍內(nèi)，離理論分析的結(jié)果4/3還有一定的差距.這極有可能源自黃原膠溶液是非牛頓黏性流體的特性，以及判斷斑圖生成的臨界狀態(tài)的主觀性等方面帶來的誤差.

將來，進一步的研究可以在實驗層面嘗試證實或證偽這一推論，也可以在理論角度考察這一結(jié)果的物理意義——例如，這是否包含了一類非線性系統(tǒng)的普遍特性，或者反映了某種類似標度律的屬性.

4 結(jié)束語

本實驗觀察高頻周期外力驅(qū)動的黃原膠溶液表面生成法拉第斑圖的臨界參數(shù)的情形，得到了臨界參數(shù)最大驅(qū)動加速度對驅(qū)動頻率的準線性指數(shù)依賴關(guān)系，其冪指數(shù)約為1.2～1.3.基于一種半定量的理論分析，本文得到了一個類似于能量平衡方程的關(guān)系式，且相應的理論冪指數(shù)為4/3.由此推斷，在斑圖生成的臨界狀態(tài)附近，溶液表面最大速率可能存在臨界值，也就是說，當外界驅(qū)動溶液時，溶液表面在上下振動時其最大速率若達到這個臨界值，斑圖就可能瞬間生成；同時也猜測，溶液表面最大速率可能是體系一重要的特征量.

5 致謝

本實驗得以完成，需要感謝北京大學物理學院的場地、儀器支持，周路群、王偉老師的指導、幫助，以及與趙瑞博同學的討論交流.此外，本實驗的有關(guān)想法也受到了諸多前輩包括在同一實驗室進行過實驗的學長們的啟發(fā)，在此一并表示感謝.