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        中子星的形成機(jī)理在固體物理教學(xué)中的應(yīng)用

        2021-06-10 01:23:48王拴虎田穎異代富平
        大學(xué)物理 2021年6期
        關(guān)鍵詞:白矮星中子星星體

        王拴虎,田穎異,王 民,代富平

        (西北工業(yè)大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,陜西 西安 710129)

        固體物理是大多數(shù)國(guó)內(nèi)高校物理學(xué)專業(yè)和材料學(xué)專業(yè)均開設(shè)的本科必修課[1].學(xué)生在學(xué)習(xí)固體物理的過程中,不僅會(huì)學(xué)到很多將來在科研中非常重要的實(shí)用知識(shí),而且還會(huì)加深對(duì)先前所學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí)[2].

        深入分析固體物理研究電子行為的方法,不難看出,固體物理學(xué)處理電子的問題依然是基于非相對(duì)論量子力學(xué),即薛定諤方程展開的.只是在固體物理中,薛定諤方程的勢(shì)能項(xiàng)較為復(fù)雜,通常需要采取各種近似加以求解,才能獲得電子的色散關(guān)系,再結(jié)合能態(tài)密度的分析,從而討論固體中電子的各種特性和行為.因?yàn)楣腆w中電子的速度遠(yuǎn)小于光速,因此電子的相對(duì)論行為通常忽略不計(jì).然而在實(shí)際研究中,一些相對(duì)論效應(yīng)有時(shí)不能忽略,例如電子的自旋軌道耦合[3]或拓?fù)浣^緣體[4,5]中的電子輸運(yùn)行為等.但對(duì)于本科生而言,要深入掌握這些特殊情況的電子相對(duì)論效應(yīng)有一定難度.

        筆者在本科物理的教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn),天體物理[6]中的中子星形成機(jī)理涉及的物理問題可以很輕松地將電子的相對(duì)論行為引入到固體物理中,讓學(xué)生對(duì)相對(duì)論量子力學(xué)有所認(rèn)識(shí).同時(shí)該問題融合了部分電動(dòng)力學(xué)中狹義相對(duì)論的知識(shí),以及一些熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)力學(xué)的知識(shí),將它和固體物理中電子行為相互融合和比較,不僅可以鞏固已有的四大力學(xué)的知識(shí),還能加深學(xué)生對(duì)電子這種費(fèi)米子特性的認(rèn)識(shí),更重要的是能豐富學(xué)生的物理學(xué)知識(shí),拓展學(xué)生的視野.

        1 非相對(duì)論下的質(zhì)量與體積關(guān)系

        在固體物理的索末菲模型(作為零級(jí)近似,把電子當(dāng)做被關(guān)閉在箱體中的自由電子)中[7-9],由于電子的費(fèi)米速度遠(yuǎn)小于光速,因此不考慮相對(duì)論特性,其色散關(guān)系通常可以簡(jiǎn)單地表述為

        (1)

        其中me為電子的質(zhì)量,對(duì)于一些可以對(duì)電子做有效質(zhì)量近似的材料,也可以代表電子的有效質(zhì)量.?為狄拉克常數(shù),k為電子波矢,下角標(biāo)non代表非相對(duì)論,考慮到電子的準(zhǔn)動(dòng)量p=?k,則式(1)也可表示為

        (2)

        這是我們熟知的晶體中在非相對(duì)論情況下電子動(dòng)量和能量的關(guān)系式.

        而在狹義相對(duì)論中,電子的動(dòng)能為

        (3)

        其中c為真空光速,me為電子的靜質(zhì)量,當(dāng)溫度較低,即電子的速度較低時(shí),靜止質(zhì)量遠(yuǎn)大于電子動(dòng)能,mec2>>pc,即為非相對(duì)論情況,式(3)變?yōu)槭?1).

        根據(jù)固體物理對(duì)倒空間的定義,可知倒空間的狀態(tài)密度為V/(2π)3,E與E+ΔE等能面之間的體積記為ΔVk,易知

        (4)

        其中,dSdk⊥為E與E+ΔE等能面之間的體積元,顯然有

        dk⊥|kE|=ΔE

        (5)

        (6)

        Δω為E與E+ΔE等能面之間可容納的電子數(shù),從公式(1)可以看出,能量為各向同性,因此積分后的等能面可取球面,即

        dS=4πk2

        (7)

        根據(jù)式(1)用E表示k,并帶入式(6),可得非相對(duì)論下電子的態(tài)密度表達(dá)式為

        (8)

        在T=0時(shí),費(fèi)米面以下的費(fèi)米分布函數(shù)恒為1,則總電子數(shù)Ne為

        (9)

        其中f(E)為費(fèi)米狄拉克分布函數(shù),表達(dá)式為

        (10)

        (11)

        (12)

        從而每個(gè)電子的平均能量與電子濃度的關(guān)系為

        (13)

        同時(shí)在非相對(duì)論情況下,能量與壓強(qiáng)p的關(guān)系如下

        (14)

        因此

        (15)

        以上內(nèi)容均是固體物理學(xué)在本科課程中涉及的內(nèi)容,由此可以看出電子的簡(jiǎn)并壓力與濃度的5/3次方成正比.對(duì)于半徑為R質(zhì)量為M的白矮星,其內(nèi)部受到的引力是非常巨大的,如此巨大的壓力只能由電子向外熱膨脹的力與之抗衡,當(dāng)二者平衡時(shí),則有

        (16)

        其中α為數(shù)量級(jí)為1的數(shù)值系數(shù),取決于星體的密度分布.

        物質(zhì)的質(zhì)量主要由中子和質(zhì)子,即核子所提供,因此星體質(zhì)量M為

        M=NNmN=γNemN

        (17)

        其中NN為質(zhì)子和中子的總數(shù),忽略二者的質(zhì)量差,將二者的質(zhì)量均記為mN,γ=NN/Ne為核子數(shù)和電子數(shù)之比.對(duì)于氫原子,γ(H)=1,對(duì)于4He,γ(4He)=2因此,半徑R為

        (18)

        由此可以看出,質(zhì)量與半徑成負(fù)相關(guān),質(zhì)量越大的白矮星,體積反倒越小.

        同時(shí)值得注意的是,為了簡(jiǎn)化計(jì)算過程,以上的討論過程中是基于星體處于絕對(duì)零度時(shí)展開的,這與實(shí)際情況有所不同.實(shí)際情況需要考慮高溫下費(fèi)米面的移動(dòng),但此處的簡(jiǎn)化并不影響最終的定性分析.

        2 相對(duì)論下的質(zhì)量與體積關(guān)系

        當(dāng)星體質(zhì)量持續(xù)增大,達(dá)到一定極限時(shí),電子需要更大的熱膨脹力才能抵消相應(yīng)增加的萬有引力,此時(shí)電子的運(yùn)動(dòng)更加劇烈,其費(fèi)米速度將逐漸趨向光速極限,就必須要考慮相對(duì)論效應(yīng)[6,10].此時(shí)mc2<

        Ere=?c|k|

        (19)

        下角標(biāo)re代表相對(duì)論.

        將公式(19)帶入式(6),此時(shí)態(tài)密度的表達(dá)式為

        (20)

        在T=0時(shí),電子總數(shù)Ne

        (21)

        可以得到此時(shí)的零點(diǎn)費(fèi)米能為

        (22)

        單個(gè)電子平均能量為

        (23)

        而在相對(duì)論情況下,能量與壓強(qiáng)p的關(guān)系如下,

        (24)

        因此,

        (25)

        此時(shí)壓強(qiáng)和質(zhì)量的關(guān)系將發(fā)生變化,得到的結(jié)果為

        (26)

        從式(26)可以看出,此時(shí)星體的質(zhì)量已經(jīng)與半徑?jīng)]有關(guān)系了,這意味著當(dāng)星體的質(zhì)量進(jìn)一步增加時(shí),星體無法通過減小體積的方式來增加壓強(qiáng),也就無法與萬有引力對(duì)抗.星體終將因?yàn)槿f有引力的作用持續(xù)坍縮下去,原子核內(nèi)的核子被最終擠壓出來,質(zhì)子與電子碰撞構(gòu)成中子,從而形成中子星.

        聯(lián)系到前式,臨界質(zhì)量Mc

        (27)

        當(dāng)γ=1且α=1時(shí),

        Mc=5×1030kg=2.5M⊙

        (28)

        其中M⊙為太陽質(zhì)量,當(dāng)γ=2時(shí),Mc=0.625M⊙.值得一提的是,以上的計(jì)算雖然較為粗糙,但白矮星存在一個(gè)質(zhì)量極限的結(jié)論是毋庸置疑的,并且與實(shí)際天文觀察到的白矮星質(zhì)量上限在同一個(gè)量級(jí)上,這一臨界質(zhì)量也被稱之為錢德拉塞卡極限.詳細(xì)的計(jì)算需要考慮α的具體數(shù)值,以及費(fèi)米面在高溫下的變化等因素.深入計(jì)算表明,如果γ=1,即白矮星是由氫構(gòu)成的,則Mc=5.6M⊙,而如果γ=2,即白矮星是由氦構(gòu)成的,則Mc=1.4M⊙.在實(shí)際天文觀察中,白矮星的質(zhì)量均小于1.4M⊙,因此可以判斷白矮星的主要成分為氦.

        3 總結(jié)

        綜上所述,不難發(fā)現(xiàn),中子星形成機(jī)理的推算過程完全可以建立在固體物理中對(duì)電子行為的討論上.在此基礎(chǔ)上引入相對(duì)論修正,即可推導(dǎo)出白矮星的質(zhì)量極限,即錢德拉塞卡極限.將此過程引入到固體物理的教學(xué)中,不僅可以加深學(xué)生對(duì)固體中電子色散關(guān)系的認(rèn)識(shí),還能極大地拓展學(xué)生對(duì)于電子相對(duì)論行為的認(rèn)識(shí),更好地將之前所學(xué)的知識(shí)融合到一起,起到很好的溫故知新的作用.

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