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        四個(gè)平行共軸等大載流方線圈磁場(chǎng)的均勻性分析

        2021-06-09 09:21:50昝會(huì)萍張引科
        大學(xué)物理 2021年6期
        關(guān)鍵詞:共軸磁感應(yīng)夾角

        昝會(huì)萍,張引科

        (西安建筑科技大學(xué) 理學(xué)院,陜西 西安 710055)

        勻強(qiáng)磁場(chǎng)在科學(xué)研究和工程領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用[1,2].常用亥姆霍茲線圈在小區(qū)域產(chǎn)生近似均勻的磁場(chǎng)[3],該磁場(chǎng)在線圈軸線上線圈半徑大小的范圍內(nèi)有大于5%的起伏[4].昝會(huì)萍等[5,6]及曾曉英[7]提出了用3個(gè)平行共軸圓線圈產(chǎn)生勻強(qiáng)磁場(chǎng)的設(shè)想,3線圈系統(tǒng)的磁場(chǎng)在軸線上線圈半徑范圍內(nèi)的起伏小于1%.鄭珂等[8]與趙立強(qiáng)等[9]提出了方形亥姆霍茲線圈方案,當(dāng)2個(gè)線圈之間的距離是線圈邊長(zhǎng)的0.5445倍時(shí),在線圈中心附近沿線圈軸線方向0.343倍線圈邊長(zhǎng)、垂直線圈軸線方向0.384倍線圈邊長(zhǎng)的區(qū)域內(nèi),磁感應(yīng)強(qiáng)度的相對(duì)偏差小于1%;在軸線方向0.190倍線圈邊長(zhǎng)、垂直線圈軸線方向0.222倍線圈邊長(zhǎng)的區(qū)域內(nèi),磁感應(yīng)強(qiáng)度的相對(duì)偏差小于1‰[10].吳亞冬等[11]提出了用3個(gè)平行共軸方線圈產(chǎn)生勻強(qiáng)磁場(chǎng)的方法.本文建立了4個(gè)平行共軸等大載流方線圈磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度的表達(dá)式,得出了系統(tǒng)磁場(chǎng)均勻性最好的條件,對(duì)系統(tǒng)在3種具體情況下形成磁場(chǎng)的均勻性進(jìn)行了分析.與方形亥姆霍茲線圈的磁場(chǎng)相比,4個(gè)平行共軸等大載流方線圈的磁場(chǎng)均勻性更好、均勻區(qū)域范圍更大.

        1 4個(gè)平行共軸等大載流方線圈的磁場(chǎng)

        圖1所示為4個(gè)平行共軸等大載流方線圈,它由4個(gè)邊長(zhǎng)均為2a的方線圈組成,方線圈平行于坐標(biāo)系的xOy坐標(biāo)面、中心在z軸上、各邊與x軸或y軸平行,中間兩個(gè)線圈距離xOy坐標(biāo)面均為d1、電流強(qiáng)度為I1,左右兩個(gè)線圈距離xOy坐標(biāo)面均為d2、電流強(qiáng)度為I2.

        圖1 4個(gè)平行共軸等大載流方線圈

        根據(jù)磁場(chǎng)疊加原理及方形亥姆霍茲線圈磁感應(yīng)強(qiáng)度的表達(dá)式,4個(gè)平行共軸等大載流方線圈磁感應(yīng)強(qiáng)度的3個(gè)分量分別是:

        Bfx(x,y,z)=Btx(I1,d1;x,y,z)+
        Btx(I2,d2;x,y,z)

        (1)

        Bfy(x,y,z)=Bty(I1,d1;x,y,z)+

        Bty(I2,d2;x,y,z)

        (2)

        Bfz(x,y,z)=Btz(I1,d1;x,y,z)+

        Btz(I2,d2;x,y,z)

        (3)

        在這3式中,Btx(I,d;x,y,z),Bty(I,d;x,y,z)和Btz(I,d;x,y,z)分別是邊長(zhǎng)為2a、間距為2d、電流強(qiáng)度為I的正方形亥姆霍茲線圈磁感應(yīng)強(qiáng)度的3個(gè)分

        量,具體表達(dá)式參見(jiàn)文獻(xiàn)[12]中的式(1)—式(3).在z軸上的各點(diǎn),4個(gè)線圈的磁場(chǎng)只有z分量,磁感應(yīng)強(qiáng)度為

        (4)

        其中

        (5)

        坐標(biāo)原點(diǎn)(即線圈系統(tǒng)中心)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

        (6)

        2 4個(gè)平行共軸等大載流方線圈形成勻強(qiáng)磁場(chǎng)的條件

        4個(gè)平行共軸等大載流方線圈軸線上磁感應(yīng)強(qiáng)度函數(shù)Bfz0(z′)是z′的偶函數(shù).為了使線圈系統(tǒng)中心區(qū)域的磁場(chǎng)均勻性最好,可以使Bfz0(z′)對(duì)z′的低次偶數(shù)階導(dǎo)數(shù)在z′=0處的值等于零,由此確定參量α1,α2和β的取值,進(jìn)而得到4個(gè)方線圈形成最均勻磁場(chǎng)時(shí)線圈中的電流及線圈之間的距離必須滿足的關(guān)系,這就是4個(gè)平行共軸等大載流方線圈形成勻強(qiáng)磁場(chǎng)的條件.把函數(shù)Bfz0(z′)在z′=0處用泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi),有

        (7)

        式中,Bfz0(z′)對(duì)z′的二階導(dǎo)數(shù)、四階導(dǎo)數(shù)和六階導(dǎo)數(shù)在z′=0處的值分別是

        (8)

        (9)

        (10)

        式中

        (11)

        (12)

        (13)

        2.1 均勻性較低磁場(chǎng)的形成條件

        為了使線圈中心區(qū)域磁場(chǎng)的均勻性較好,使Bfz0(z′)對(duì)z′的二階導(dǎo)數(shù)在z′=0處值等于零,即

        g1(α1)+βg1(α2)=0

        (14)

        顯然

        (15)

        式(14)就是線圈系統(tǒng)在中心區(qū)域形成均勻性較低磁場(chǎng)的條件,在其滿足的情況下,線圈系統(tǒng)中心區(qū)域內(nèi)z軸方向的磁感應(yīng)強(qiáng)度分量表示為

        (16)

        其中

        (17)

        (18)

        從數(shù)學(xué)上看,式(14)是關(guān)于α1、α2和β的超定方程,一般有無(wú)數(shù)組解.對(duì)于所研究的問(wèn)題,可以要求β>0及α2>α1,考慮到函數(shù)g1(α)的特點(diǎn),α1和α2的解存在區(qū)間分別是(0,0.5445)和(0.5445,+∞).表1和表2分別給出了用數(shù)值方法在電流相等和線圈間距相等兩種特殊條件下得到的式(14)的幾組解,也就是這兩種條件下線圈系統(tǒng)產(chǎn)生均勻性較低磁場(chǎng)時(shí)α1,α2和β的幾組取值.

        表1 電流相同(即β=1)的4個(gè)線圈產(chǎn)生均勻性較低磁場(chǎng)時(shí)α1和α2的幾組取值

        表2 間距相等(即α2=2α1)的4個(gè)線圈產(chǎn)生均勻性較低磁場(chǎng)時(shí)α1和β的幾組取值

        2.2 均勻性較高磁場(chǎng)的形成條件

        為了使線圈中心區(qū)域磁場(chǎng)的均勻性更佳,使Bfz0(z′)對(duì)z′的二階導(dǎo)數(shù)和四階導(dǎo)數(shù)在z′=0處的值同時(shí)等于零,也就是

        g1(α1)+βg1(α2)=0

        (19)

        g2(α1)+βg2(α2)=0

        (20)

        顯然

        (21)

        式(19)和(20)就是線圈系統(tǒng)在中心區(qū)域形成較高均勻性磁場(chǎng)的條件,在其滿足的時(shí),線圈系統(tǒng)中心區(qū)域z軸方向的磁感應(yīng)強(qiáng)度分量可以表示為

        (22)

        其中

        (23)

        (24)

        表3給出了4個(gè)平行共軸等大載流方線圈產(chǎn)生均勻性較高磁場(chǎng)時(shí)α1,α2和β的幾組取值.

        表3 4個(gè)平行共軸等大載流方線圈產(chǎn)生均勻性較高磁場(chǎng)時(shí)α1、α2和β的幾組取值

        3 4個(gè)平行共軸等大載流方線圈磁場(chǎng)的均勻性分析

        采用磁感應(yīng)強(qiáng)度相對(duì)偏差EB(x,y,z)描述磁場(chǎng)的均勻性,EB(x,y,z)定義為

        (25)

        它描述磁感應(yīng)強(qiáng)度B(x,y,z)對(duì)磁感應(yīng)強(qiáng)度B(0,0,0)偏離的相對(duì)程度.

        3.1 電流相同或間距相等的4個(gè)線圈產(chǎn)生的均勻性較低磁場(chǎng)分析

        圖2給出了電流相同的4個(gè)線圈產(chǎn)生的均勻性較低磁場(chǎng)在xOz坐標(biāo)面上的分布.此時(shí),3個(gè)參量的取值分別是α1=0.4500,α2=1.4144和β=1.可以看出,xOz坐標(biāo)面上,相對(duì)于線圈系統(tǒng)中心點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度,在|x|<0.35a及|z|<0.7a的范圍內(nèi),磁感應(yīng)強(qiáng)度x分量的起伏小于5%、z分量的起伏小于1%,磁場(chǎng)的均勻性總體較低.在|x|<0.35a及|z|<0.4a的范圍內(nèi),磁感應(yīng)強(qiáng)度的相對(duì)偏差小于1%、磁場(chǎng)與z軸的夾角小于1度,磁場(chǎng)的均勻性較低;在|x|<0.2a及|z|<0.22a的范圍內(nèi),磁感應(yīng)強(qiáng)度的相對(duì)偏差小于0.1%、磁場(chǎng)與z軸的夾角小于0.1度,磁場(chǎng)的均勻性較高;在|x|<0.11a及|z|<0.13a的范圍內(nèi),磁感應(yīng)強(qiáng)度的相對(duì)偏差小于0.01%、磁場(chǎng)與z軸的夾角小于0.01度,磁場(chǎng)的均勻性極高.

        (a) | Bx|/Bf00m的分布

        圖3是間距相等的4個(gè)線圈產(chǎn)生的均勻性較低磁場(chǎng)在xOz坐標(biāo)面上的分布.此時(shí),3個(gè)參量的取值分別是α1=0.3500、α2=0.7000和β=2.1695.可以發(fā)現(xiàn),xOz坐標(biāo)面上,相對(duì)于線圈系統(tǒng)中心點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度,在|x|<0.2a及|z|<0.7a的范圍內(nèi),磁感應(yīng)強(qiáng)度x分量的起伏小于5%、z分量的起伏小于1%,磁場(chǎng)的均勻性總體較低;在|x|<0.32a及|z|<0.38a的范圍內(nèi),磁感應(yīng)強(qiáng)度的相對(duì)偏差小于1%、磁場(chǎng)與z軸的夾角小于1度,磁場(chǎng)的均勻性較低;在|x|<0.18a及|z|<0.2a的范圍內(nèi),磁感應(yīng)強(qiáng)度的相對(duì)偏差小于0.1%、磁場(chǎng)與z軸的夾角小于0.1度,磁場(chǎng)的均勻性較高;在|x|<0.13a及|z|<0.11a的范圍內(nèi),磁感應(yīng)強(qiáng)度的相對(duì)偏差小于0.01%、磁場(chǎng)與z軸的夾角小于0.01度,磁場(chǎng)的均勻性極高.

        3.2 4個(gè)線圈產(chǎn)生的均勻性較高磁場(chǎng)分析

        圖4為4個(gè)線圈產(chǎn)生的均勻性較高磁場(chǎng)在xOz坐標(biāo)面上的分布.此時(shí),3個(gè)參量的取值分別是α1=0.2500、α2=0.9966和β=2.4033.可以發(fā)現(xiàn),在xOz坐標(biāo)面上,相對(duì)于線圈系統(tǒng)中心點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度,在|x|<0.3a及|z|<0.7a的范圍內(nèi),磁感應(yīng)強(qiáng)度x分量的起伏小于1%、z分量的起伏小于1%,磁場(chǎng)的均勻性總體較高.在|x|<0.53a及|z|<0.63a的范圍內(nèi),磁感應(yīng)強(qiáng)度的相對(duì)偏差小于1%、磁場(chǎng)與z軸的夾角小于1度,磁場(chǎng)的均勻性較低;在|x|<0.4a及|z|<0.5a的范圍內(nèi),磁感應(yīng)強(qiáng)度的相對(duì)偏差小于0.1%、磁場(chǎng)與z軸的夾角小于0.1度,磁場(chǎng)的均勻性較高;在|x|<0.3a及|z|<0.35a的范圍內(nèi),磁感應(yīng)強(qiáng)度的相對(duì)偏差小于0.01%、磁場(chǎng)與z軸的夾角小于0.01度,磁場(chǎng)的均勻性極高.可見(jiàn),4線圈磁場(chǎng)無(wú)論在均勻性還是在方向性方面,都明顯優(yōu)于方形亥姆霍茲線圈磁場(chǎng).

        (a) |Bx|/Bf00m的分布

        4 結(jié)論

        用4個(gè)平行共軸等大載流方線圈在小區(qū)域產(chǎn)生勻強(qiáng)磁場(chǎng)的方法簡(jiǎn)單易行,對(duì)4線圈系統(tǒng)在3種具體情況下磁場(chǎng)均勻性的分析表明,建立的4線圈系統(tǒng)磁感應(yīng)強(qiáng)度表達(dá)式和產(chǎn)生均勻性最佳磁場(chǎng)的條件是正確的和可行的.主要結(jié)論有:1)在最佳條件下,4個(gè)平行共軸等大載流方線圈在線圈中心區(qū)域內(nèi)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度對(duì)中心處磁感應(yīng)強(qiáng)度的相對(duì)偏差與(z/a)6成正比.2)在最佳狀態(tài)下,4線圈系統(tǒng)能夠在大約|z|<0.35a及|x|<0.3a的范圍內(nèi),產(chǎn)生磁感應(yīng)強(qiáng)度相對(duì)偏差小于0.01%、磁場(chǎng)方向偏差小于0.01度的磁場(chǎng).3)與方形亥姆霍茲線圈相比,四線圈的磁場(chǎng)在均勻性、方向性等方面都有明顯優(yōu)勢(shì).

        (a) |Bx|/Bf00m的分布

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