昝會(huì)萍，張引科

(西安建筑科技大學(xué) 理學(xué)院,陜西 西安 710055)

勻強(qiáng)磁場(chǎng)在科學(xué)研究和工程領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用[1,2].常用亥姆霍茲線圈在小區(qū)域產(chǎn)生近似均勻的磁場(chǎng)[3]，該磁場(chǎng)在線圈軸線上線圈半徑大小的范圍內(nèi)有大于5%的起伏[4].昝會(huì)萍等[5,6]及曾曉英[7]提出了用3個(gè)平行共軸圓線圈產(chǎn)生勻強(qiáng)磁場(chǎng)的設(shè)想，3線圈系統(tǒng)的磁場(chǎng)在軸線上線圈半徑范圍內(nèi)的起伏小于1%.鄭珂等[8]與趙立強(qiáng)等[9]提出了方形亥姆霍茲線圈方案，當(dāng)2個(gè)線圈之間的距離是線圈邊長(zhǎng)的0.5445倍時(shí)，在線圈中心附近沿線圈軸線方向0.343倍線圈邊長(zhǎng)、垂直線圈軸線方向0.384倍線圈邊長(zhǎng)的區(qū)域內(nèi)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的相對(duì)偏差小于1%；在軸線方向0.190倍線圈邊長(zhǎng)、垂直線圈軸線方向0.222倍線圈邊長(zhǎng)的區(qū)域內(nèi)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的相對(duì)偏差小于1‰[10].吳亞冬等[11]提出了用3個(gè)平行共軸方線圈產(chǎn)生勻強(qiáng)磁場(chǎng)的方法.本文建立了4個(gè)平行共軸等大載流方線圈磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度的表達(dá)式，得出了系統(tǒng)磁場(chǎng)均勻性最好的條件，對(duì)系統(tǒng)在3種具體情況下形成磁場(chǎng)的均勻性進(jìn)行了分析.與方形亥姆霍茲線圈的磁場(chǎng)相比，4個(gè)平行共軸等大載流方線圈的磁場(chǎng)均勻性更好、均勻區(qū)域范圍更大.

1 4個(gè)平行共軸等大載流方線圈的磁場(chǎng)

圖1所示為4個(gè)平行共軸等大載流方線圈，它由4個(gè)邊長(zhǎng)均為2a的方線圈組成，方線圈平行于坐標(biāo)系的xOy坐標(biāo)面、中心在z軸上、各邊與x軸或y軸平行，中間兩個(gè)線圈距離xOy坐標(biāo)面均為d1、電流強(qiáng)度為I1，左右兩個(gè)線圈距離xOy坐標(biāo)面均為d2、電流強(qiáng)度為I2.

圖1 4個(gè)平行共軸等大載流方線圈

根據(jù)磁場(chǎng)疊加原理及方形亥姆霍茲線圈磁感應(yīng)強(qiáng)度的表達(dá)式，4個(gè)平行共軸等大載流方線圈磁感應(yīng)強(qiáng)度的3個(gè)分量分別是：

Bfx(x,y,z)=Btx(I1,d1;x,y,z)+
Btx(I2,d2;x,y,z)

(1)

Bfy(x,y,z)=Bty(I1,d1;x,y,z)+

Bty(I2,d2;x,y,z)

(2)

Bfz(x,y,z)=Btz(I1,d1;x,y,z)+

Btz(I2,d2;x,y,z)

(3)

在這3式中，Btx(I,d;x,y,z)，Bty(I,d;x,y,z)和Btz(I,d;x,y,z)分別是邊長(zhǎng)為2a、間距為2d、電流強(qiáng)度為I的正方形亥姆霍茲線圈磁感應(yīng)強(qiáng)度的3個(gè)分

量，具體表達(dá)式參見(jiàn)文獻(xiàn)[12]中的式(1)—式(3).在z軸上的各點(diǎn)，4個(gè)線圈的磁場(chǎng)只有z分量，磁感應(yīng)強(qiáng)度為

(4)

其中

(5)

坐標(biāo)原點(diǎn)(即線圈系統(tǒng)中心)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

(6)

2 4個(gè)平行共軸等大載流方線圈形成勻強(qiáng)磁場(chǎng)的條件

4個(gè)平行共軸等大載流方線圈軸線上磁感應(yīng)強(qiáng)度函數(shù)Bfz0(z′)是z′的偶函數(shù).為了使線圈系統(tǒng)中心區(qū)域的磁場(chǎng)均勻性最好，可以使Bfz0(z′)對(duì)z′的低次偶數(shù)階導(dǎo)數(shù)在z′=0處的值等于零，由此確定參量α1，α2和β的取值，進(jìn)而得到4個(gè)方線圈形成最均勻磁場(chǎng)時(shí)線圈中的電流及線圈之間的距離必須滿足的關(guān)系，這就是4個(gè)平行共軸等大載流方線圈形成勻強(qiáng)磁場(chǎng)的條件.把函數(shù)Bfz0(z′)在z′=0處用泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，有

(7)

式中，Bfz0(z′)對(duì)z′的二階導(dǎo)數(shù)、四階導(dǎo)數(shù)和六階導(dǎo)數(shù)在z′=0處的值分別是

(8)

(9)

(10)

式中

(11)

(12)

(13)

2.1 均勻性較低磁場(chǎng)的形成條件

為了使線圈中心區(qū)域磁場(chǎng)的均勻性較好，使Bfz0(z′)對(duì)z′的二階導(dǎo)數(shù)在z′=0處值等于零，即

g1(α1)+βg1(α2)=0

(14)

顯然

(15)

式(14)就是線圈系統(tǒng)在中心區(qū)域形成均勻性較低磁場(chǎng)的條件，在其滿足的情況下，線圈系統(tǒng)中心區(qū)域內(nèi)z軸方向的磁感應(yīng)強(qiáng)度分量表示為

(16)

其中

(17)

(18)

從數(shù)學(xué)上看，式(14)是關(guān)于α1、α2和β的超定方程，一般有無(wú)數(shù)組解.對(duì)于所研究的問(wèn)題，可以要求β>0及α2>α1，考慮到函數(shù)g1(α)的特點(diǎn)，α1和α2的解存在區(qū)間分別是(0,0.5445)和(0.5445,+∞).表1和表2分別給出了用數(shù)值方法在電流相等和線圈間距相等兩種特殊條件下得到的式(14)的幾組解，也就是這兩種條件下線圈系統(tǒng)產(chǎn)生均勻性較低磁場(chǎng)時(shí)α1，α2和β的幾組取值.

表1 電流相同(即β=1)的4個(gè)線圈產(chǎn)生均勻性較低磁場(chǎng)時(shí)α1和α2的幾組取值

表2 間距相等(即α2=2α1)的4個(gè)線圈產(chǎn)生均勻性較低磁場(chǎng)時(shí)α1和β的幾組取值

2.2 均勻性較高磁場(chǎng)的形成條件

為了使線圈中心區(qū)域磁場(chǎng)的均勻性更佳，使Bfz0(z′)對(duì)z′的二階導(dǎo)數(shù)和四階導(dǎo)數(shù)在z′=0處的值同時(shí)等于零，也就是

g1(α1)+βg1(α2)=0

(19)

g2(α1)+βg2(α2)=0

(20)

顯然

(21)

式(19)和(20)就是線圈系統(tǒng)在中心區(qū)域形成較高均勻性磁場(chǎng)的條件，在其滿足的時(shí)，線圈系統(tǒng)中心區(qū)域z軸方向的磁感應(yīng)強(qiáng)度分量可以表示為

(22)

其中

(23)

(24)

表3給出了4個(gè)平行共軸等大載流方線圈產(chǎn)生均勻性較高磁場(chǎng)時(shí)α1，α2和β的幾組取值.

表3 4個(gè)平行共軸等大載流方線圈產(chǎn)生均勻性較高磁場(chǎng)時(shí)α1、α2和β的幾組取值

3 4個(gè)平行共軸等大載流方線圈磁場(chǎng)的均勻性分析

采用磁感應(yīng)強(qiáng)度相對(duì)偏差EB(x,y,z)描述磁場(chǎng)的均勻性，EB(x,y,z)定義為

(25)

它描述磁感應(yīng)強(qiáng)度B(x,y,z)對(duì)磁感應(yīng)強(qiáng)度B(0,0,0)偏離的相對(duì)程度.

3.1 電流相同或間距相等的4個(gè)線圈產(chǎn)生的均勻性較低磁場(chǎng)分析

圖2給出了電流相同的4個(gè)線圈產(chǎn)生的均勻性較低磁場(chǎng)在xOz坐標(biāo)面上的分布.此時(shí)，3個(gè)參量的取值分別是α1=0.4500，α2=1.4144和β=1.可以看出，xOz坐標(biāo)面上，相對(duì)于線圈系統(tǒng)中心點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度，在|x|<0.35a及|z|<0.7a的范圍內(nèi)，磁感應(yīng)強(qiáng)度x分量的起伏小于5%、z分量的起伏小于1%，磁場(chǎng)的均勻性總體較低.在|x|<0.35a及|z|<0.4a的范圍內(nèi)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的相對(duì)偏差小于1%、磁場(chǎng)與z軸的夾角小于1度，磁場(chǎng)的均勻性較低；在|x|<0.2a及|z|<0.22a的范圍內(nèi)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的相對(duì)偏差小于0.1%、磁場(chǎng)與z軸的夾角小于0.1度，磁場(chǎng)的均勻性較高；在|x|<0.11a及|z|<0.13a的范圍內(nèi)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的相對(duì)偏差小于0.01%、磁場(chǎng)與z軸的夾角小于0.01度，磁場(chǎng)的均勻性極高.

(a) | Bx|/Bf00m的分布

圖3是間距相等的4個(gè)線圈產(chǎn)生的均勻性較低磁場(chǎng)在xOz坐標(biāo)面上的分布.此時(shí)，3個(gè)參量的取值分別是α1=0.3500、α2=0.7000和β=2.1695.可以發(fā)現(xiàn)，xOz坐標(biāo)面上，相對(duì)于線圈系統(tǒng)中心點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度，在|x|<0.2a及|z|<0.7a的范圍內(nèi)，磁感應(yīng)強(qiáng)度x分量的起伏小于5%、z分量的起伏小于1%，磁場(chǎng)的均勻性總體較低；在|x|<0.32a及|z|<0.38a的范圍內(nèi)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的相對(duì)偏差小于1%、磁場(chǎng)與z軸的夾角小于1度，磁場(chǎng)的均勻性較低；在|x|<0.18a及|z|<0.2a的范圍內(nèi)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的相對(duì)偏差小于0.1%、磁場(chǎng)與z軸的夾角小于0.1度，磁場(chǎng)的均勻性較高；在|x|<0.13a及|z|<0.11a的范圍內(nèi)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的相對(duì)偏差小于0.01%、磁場(chǎng)與z軸的夾角小于0.01度，磁場(chǎng)的均勻性極高.

3.2 4個(gè)線圈產(chǎn)生的均勻性較高磁場(chǎng)分析

圖4為4個(gè)線圈產(chǎn)生的均勻性較高磁場(chǎng)在xOz坐標(biāo)面上的分布.此時(shí)，3個(gè)參量的取值分別是α1=0.2500、α2=0.9966和β=2.4033.可以發(fā)現(xiàn)，在xOz坐標(biāo)面上，相對(duì)于線圈系統(tǒng)中心點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度，在|x|<0.3a及|z|<0.7a的范圍內(nèi)，磁感應(yīng)強(qiáng)度x分量的起伏小于1%、z分量的起伏小于1%，磁場(chǎng)的均勻性總體較高.在|x|<0.53a及|z|<0.63a的范圍內(nèi)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的相對(duì)偏差小于1%、磁場(chǎng)與z軸的夾角小于1度，磁場(chǎng)的均勻性較低；在|x|<0.4a及|z|<0.5a的范圍內(nèi)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的相對(duì)偏差小于0.1%、磁場(chǎng)與z軸的夾角小于0.1度，磁場(chǎng)的均勻性較高；在|x|<0.3a及|z|<0.35a的范圍內(nèi)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的相對(duì)偏差小于0.01%、磁場(chǎng)與z軸的夾角小于0.01度，磁場(chǎng)的均勻性極高.可見(jiàn)，4線圈磁場(chǎng)無(wú)論在均勻性還是在方向性方面，都明顯優(yōu)于方形亥姆霍茲線圈磁場(chǎng).

(a) |Bx|/Bf00m的分布

4 結(jié)論

用4個(gè)平行共軸等大載流方線圈在小區(qū)域產(chǎn)生勻強(qiáng)磁場(chǎng)的方法簡(jiǎn)單易行，對(duì)4線圈系統(tǒng)在3種具體情況下磁場(chǎng)均勻性的分析表明，建立的4線圈系統(tǒng)磁感應(yīng)強(qiáng)度表達(dá)式和產(chǎn)生均勻性最佳磁場(chǎng)的條件是正確的和可行的.主要結(jié)論有：1)在最佳條件下，4個(gè)平行共軸等大載流方線圈在線圈中心區(qū)域內(nèi)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度對(duì)中心處磁感應(yīng)強(qiáng)度的相對(duì)偏差與(z/a)6成正比.2)在最佳狀態(tài)下，4線圈系統(tǒng)能夠在大約|z|<0.35a及|x|<0.3a的范圍內(nèi)，產(chǎn)生磁感應(yīng)強(qiáng)度相對(duì)偏差小于0.01%、磁場(chǎng)方向偏差小于0.01度的磁場(chǎng).3)與方形亥姆霍茲線圈相比，四線圈的磁場(chǎng)在均勻性、方向性等方面都有明顯優(yōu)勢(shì).

(a) |Bx|/Bf00m的分布