張衡，倪振松，鄭漢垣

（1.福建技術(shù)師范學(xué)院a.大數(shù)據(jù)與人工智能學(xué)院；b.無損檢測技術(shù)福建省高等學(xué)校重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，福建福清 350300；2.龍巖學(xué)院傳播與設(shè)計(jì)學(xué)院，福建龍巖 364012）

偏微分方程的離散系統(tǒng)往往是如下的大型稀疏病態(tài)（高條件數(shù)）線性方程組[1-2]

其病態(tài)問題是制約求解效率和精度的瓶頸[3]，因此，求解之前，需要使用預(yù)條件技術(shù)[4]139-151來減少系統(tǒng)的病態(tài).

預(yù)條件技術(shù)[4]139-151的關(guān)鍵是構(gòu)造適當(dāng)?shù)念A(yù)條件子[4]93-98，理想的結(jié)果是構(gòu)造出通用的、最優(yōu)預(yù)條件子[5].

目前，病態(tài)問題的解決仍然處在治標(biāo)不治本的狀態(tài).一是缺少對病因的研究，難以針對病因提出科學(xué)的預(yù)處理方法，不能從根本上消除病態(tài)[6-8]；二是預(yù)條件子的設(shè)計(jì)缺乏科學(xué)依據(jù)，多用實(shí)驗(yàn)的方法探索和驗(yàn)證；三是對預(yù)處理子的功能多用實(shí)驗(yàn)結(jié)果說明，難以進(jìn)行科學(xué)的定量分析[9-15].目前關(guān)于針對病因的預(yù)處理方法鮮見有成果發(fā)表.

文獻(xiàn)[16][17]針對基于非均勻網(wǎng)格有限差分方法形成的二維泊松方程邊值問題離散系統(tǒng)，研究病態(tài)原理和預(yù)處理方法.針對該方程研究病態(tài)結(jié)構(gòu)、病態(tài)因子、去病因子；利用病態(tài)因子估計(jì)方程的條件數(shù)，利用去病因子消除病態(tài)因子的作用，論證了去病因子是最優(yōu)預(yù)條件子[5].

本文針對病因，提出病因抑制策略，來解決三維泊松方程邊值問題差分方法大規(guī)模求解中的病態(tài)問題.針對不同精度差分格式形成的三種離散系統(tǒng)，基于結(jié)構(gòu)分析的策略[17-20]，確定病因.根據(jù)病態(tài)結(jié)構(gòu)和病態(tài)因子的條件數(shù)評估方程的原發(fā)病態(tài)和繼發(fā)病態(tài)；使用去病因子抑制或者消除病態(tài)因子的致病作用，消除原發(fā)病態(tài).最后的結(jié)論說明，不同的離散系統(tǒng)有類似的病態(tài)結(jié)構(gòu)、相同病態(tài)因子和去病因子，去病因子依然有最優(yōu)、通用的特性，預(yù)處理的過程幾乎不增加求解的成本.

1 病態(tài)方程的病因抑制方法

利用文獻(xiàn)[16][17]提出病態(tài)因子、去病因子、病態(tài)結(jié)構(gòu)、病態(tài)主體等概念，提出如下關(guān)于離散系統(tǒng)病態(tài)問題預(yù)處理的病因抑制策略如下：

1）分析矩陣A的結(jié)構(gòu)，分離出病態(tài)因子Z[16-17]，確定矩陣的病態(tài)結(jié)構(gòu)[16-17]如下；

其中Z是α×β病態(tài)因子[16-17]，A,Q∈Rα×α,P∈Rβ×β，ZPZTT可逆，Cond(P)關(guān)于A的階數(shù)一致有界，Cond(ZPZT)是A的階數(shù)α的增函數(shù)，

3）確定去病因子H[16-17]，即設(shè)計(jì)簡單的可逆矩陣H.滿足ZZTT=HHTT；

4）使用去病因子H作為預(yù)條件子，將方程(1)化成

因?yàn)镃ond(P)關(guān)于A的階數(shù)一致有界，這說明HHTT是最優(yōu)預(yù)條件子[5].

上述病因抑制策略是基于病態(tài)結(jié)構(gòu)、針對病因的，病態(tài)因子就是病因的表達(dá)，去病因子的作用是消除或者抑制病因的發(fā)作.因此，預(yù)處理的關(guān)鍵是確定病態(tài)因子和去病因子，本文將針對三維泊松方程邊值問題不同精度三種有限差分格式的離散系統(tǒng)，研究病態(tài)因子和去病因子，并討論去病因子的通用性.

2 三維泊松方程邊值問題非均勻網(wǎng)格的有限差分方程

2.1 基于非均勻網(wǎng)格的有限差分離散格式

考慮如下三維泊松方程求解問題[4]

其中u=u(x,y,z) ,f=f(x,y,z) ,(x,y,z)∈∈D= [a1,b1]× [a2,b2]× [a3,b3]?R3

根據(jù)有限差分方法[5]，對D做非均勻網(wǎng)格剖分[5]：a=x0＜x1＜…＜xn+1=b，

2.1.1 非均勻網(wǎng)格7點(diǎn)差分格式

2.1.2 非均勻網(wǎng)格19點(diǎn)差分格式

則根據(jù)4階精度的泰勒展開式，有

2.1.3 均勻網(wǎng)格27點(diǎn)差分格式

根據(jù)6階精度的泰勒展開式，有

2.2 三維泊松方程邊值問題非均勻網(wǎng)格的有限差分方程

記On為n維零向量，In為n階單位矩陣，

2.2.1 非均勻網(wǎng)格7點(diǎn)差分格式的有限差分方程

向量是已知的，由邊界上的網(wǎng)格點(diǎn)以及邊界條件確定；因此格式(5)的矩陣形式如下

所以，由格式(5)確定的離散系統(tǒng)為

2.2.2 非均勻網(wǎng)格19點(diǎn)差分格式的有限差分方程

向量是已知的，由邊界上的網(wǎng)格點(diǎn)及邊界條件確定；格式(6)的矩陣形式如下

因此，由格式(6)確定的離散系統(tǒng)為

2.2.3 均勻網(wǎng)格27點(diǎn)差分格式的有限差分方程

則向量是已知的，由邊界上的網(wǎng)格點(diǎn)以及邊界條件確定，所以格式(7)的矩陣形式如下

因此，由格式(7)確定的離散系統(tǒng)為

3 有限差分方程的病態(tài)因子和去病因子

對于問題(4)的上述三種有限差分方程，通過結(jié)構(gòu)分析，確定它們的病態(tài)結(jié)構(gòu)、病態(tài)因子以及去病因子.

證明：直接驗(yàn)證.證畢.

命題3.

2） 易驗(yàn)證α=O(n2)，記

從而結(jié)論成立.證畢

根據(jù)命題3結(jié)論2），Zt是病態(tài)因子[16-17]；根據(jù)命題2，矩陣Ht是屬于Zt的去病因子[16-17].

命題4.

證明：1）可直接驗(yàn)證.

2）根據(jù)P19,Q的定義，容易驗(yàn)證因此結(jié)論成立.

3）由文獻(xiàn)[17]命題1的結(jié)論2）可說明結(jié)論成立.證畢

根據(jù)命題4的結(jié)論1），2），式(14)、(15)、(16)表達(dá)了At的病態(tài)結(jié)構(gòu)[16-17]，Zt是At的病態(tài)因子[16-17]；根據(jù)命題4的結(jié)論3）：Ht是At的最優(yōu)預(yù)條件子[5].

式(14)、(15)、(16)說明差分離散系統(tǒng) (9)、(11)、(13) 的病態(tài)結(jié)構(gòu)都如(2)式，其中At的主要、本質(zhì)的病態(tài)是由病態(tài)因子Zt表達(dá)的原發(fā)病態(tài)，來自微分算子，隨著離散精度提高，At的規(guī)模增加；At的其他病態(tài)是由Pt表達(dá)的繼發(fā)病態(tài)，受網(wǎng)格大小影響，可以隨著應(yīng)用問題的不同而不同，幾乎不受At的規(guī)模影響，是非本質(zhì)的，在應(yīng)用中可以調(diào)整；Q對的At病態(tài)影響很小.

4 有限差分方程去病因子的通用性

命題5：

證明：

根據(jù)命題5結(jié)論2），Hs是的最優(yōu)預(yù)條件子.這說明：基于不同精度、不同步長差分格式的離散系統(tǒng)雖然不相同，仍然有通用的最優(yōu)預(yù)條件子.

使用病因抑制方法對差分方程(9)、(11)、(13)進(jìn)行預(yù)處理，是使用它們的去病因子Hs作為預(yù)條件子，將方程(9)、(11)、(13)化為方程(3)的形式，Hs的結(jié)構(gòu)都是確定、簡單的，都是由離散正弦變換矩陣的直積Ω與對角矩陣構(gòu)成預(yù)處理中的主要計(jì)算是Hs與向量的乘積，每次需要的計(jì)算操作數(shù)都是有限次離散快速正弦變換的計(jì)算量O(mnmnll o g2(nml))，因此預(yù)條件子的構(gòu)造和預(yù)處理計(jì)算都是低成本的.

預(yù)處理后，系統(tǒng)(9)、(11)、(13)的系數(shù)矩陣仍然都以正定對稱矩陣為主體，所以適合與任何求解方法相結(jié)合，完成求解.

5 結(jié)論

1）三維泊松方程邊值問題的有限差分離散系統(tǒng)中，病態(tài)因子表達(dá)的原發(fā)性病態(tài)是微分算子造成，是主要的、本質(zhì)的，抑制了病態(tài)因子的作用，就消除了原發(fā)性病態(tài).

2）對于同一個(gè)微分算子，使用相同的網(wǎng)格，不同精度差分格式產(chǎn)生的有限差分方程組雖然不同，但是它們有類似的病態(tài)因子，對應(yīng)的去病因子也類似，因此它們消除原發(fā)性病態(tài)的預(yù)處理方法與成本一致，基本不受差分格式的精度影響.

3）繼發(fā)性病態(tài)由P7,P19,P27表達(dá)，它們的條件數(shù)由網(wǎng)格比的大小和邊值條件決定，幾乎不受方程階數(shù)的影響，當(dāng)使用一致網(wǎng)格時(shí)，都是常數(shù)，Q=0，因此，可以通過調(diào)整網(wǎng)格的大小比減少或者消除繼發(fā)性病態(tài).

4）從病態(tài)因子和去病因子的構(gòu)成可以看出，病態(tài)因子和去病因子都是相對獨(dú)立的，它的元素與邊值條件、網(wǎng)格大小都沒有關(guān)系，不同的差分方程，可以有類似的病態(tài)因子，因此去病因子可以通用.