李潘玉，游世輝,2，李 維，張圣東,3，曾憲任

(1. 湘潭大學(xué) 土木工程與力學(xué)學(xué)院，湖南 湘潭 411105； 2. 棗莊學(xué)院 機(jī)電工程學(xué)院，山東 棗莊 277000；3. 九江學(xué)院 機(jī)械與材料工程學(xué)院，江西 九江 332005)

0 引 言

量子霍爾效應(yīng)[1]、量子自旋霍爾效應(yīng)[2-3]和拓?fù)浣^緣層[4-5]的發(fā)現(xiàn)為經(jīng)典波的拓?fù)湫再|(zhì)的探索奠定了基礎(chǔ)。彈性波作為經(jīng)典波之一，發(fā)展了聲學(xué)超材料[6-7]、超表面[8]等許多人工的周期結(jié)構(gòu)以達(dá)到對(duì)彈性波傳播的控制與引導(dǎo)。隨著基于量子自旋霍爾效應(yīng)的拓?fù)涓拍畹囊?，聲學(xué)超材料在彈性波的精確控制[8]、聲學(xué)拓?fù)浣^緣體[9]、聲學(xué)拓?fù)涓綦x器[10]、拓?fù)涔葌鬏擺11]等方面的探索引起了廣大學(xué)者的高度關(guān)注，這些拓?fù)溥吔绫Ｗo(hù)特性不受邊界缺陷和材料雜質(zhì)的影響。形成拓?fù)溥吔绲囊环N方法是引入有源分量或外場(chǎng)等打破時(shí)間反演對(duì)稱性[12-14]，或者旋轉(zhuǎn)陀螺儀打破時(shí)間反演對(duì)稱性[15]；另外一種是類比量子自旋霍爾效應(yīng)實(shí)現(xiàn)拓?fù)溥吔鐟B(tài)[16-18]，Lu等[11]，利用量子谷霍爾效應(yīng)通過(guò)打破空間對(duì)稱性來(lái)實(shí)現(xiàn)聲的拓?fù)涔葌鬏敗?015年，陳子亭課題組[19]利用能帶反轉(zhuǎn)和拓?fù)湎嘧儯状卧诼晫W(xué)系統(tǒng)中引入拓?fù)涓拍?，?gòu)造了結(jié)構(gòu)中心截面鏡像對(duì)稱的圓管狀聲子晶體，并通過(guò)改變結(jié)構(gòu)參數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)禁帶的拓?fù)湫再|(zhì)的變化，發(fā)現(xiàn)了在兩種不同拓?fù)湫阅艿穆曌泳w組合的邊界處有界面態(tài)的存在；同年，德克薩斯大學(xué)奧斯汀分校 Wang Z課題組通過(guò)打破超材料板的空間反演對(duì)稱性，實(shí)現(xiàn)了對(duì)稱和反對(duì)稱蘭姆波二重簡(jiǎn)并能帶打開(kāi)—閉合—再打開(kāi)的能帶反轉(zhuǎn)的拓?fù)湎嘧冞^(guò)程[20-21]；2016年，劉正猷課題組首次在基于聲子晶體研究領(lǐng)域中引入電子系統(tǒng)中的谷態(tài)的概念，通過(guò)旋轉(zhuǎn)具有C3v對(duì)稱性的元胞來(lái)構(gòu)建谷自旋，達(dá)到實(shí)現(xiàn)量子谷自旋霍爾效應(yīng)類比[22-23]；同年，陳延峰課題組構(gòu)造了鋼柱—空氣聲子晶體，找到了Γ點(diǎn)處的偶然雙狄拉克點(diǎn)并通過(guò)調(diào)整鋼柱半徑實(shí)現(xiàn)了能帶反轉(zhuǎn)[24]；2017年，劉曉俊課題組理論證明了在不加流速背景下通過(guò)聲子晶體構(gòu)造聲學(xué)贗自旋偶極子和四極子，實(shí)現(xiàn)了彈性波的拓?fù)鋫鬏擺17]；同年，Vila Javier和Pal Raj Kumar 設(shè)計(jì)了二維彈性六角晶格。采用模擬和實(shí)驗(yàn)的方法，通過(guò)在不同節(jié)點(diǎn)上引入質(zhì)量差，成功地打開(kāi)了位于布里淵區(qū)中 K 點(diǎn)的狄拉克點(diǎn)，并觀測(cè)到了不同構(gòu)型的元胞界面處的邊界態(tài)[25]。

然而傳統(tǒng)的聲學(xué)超材料在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)完成后不具有帶隙可調(diào)的性質(zhì)，因此無(wú)法滿足不同工作環(huán)境的要求，限制了其應(yīng)用范圍。隨著對(duì)超材料的研究更加深入，帶隙可調(diào)的聲學(xué)超材料成為了研究者們熱衷研究方向。Goffaux和 Vigneron通過(guò)旋轉(zhuǎn)二維聲子晶體中的正方形散射體的角度對(duì)帶隙的寬度進(jìn)行調(diào)控[26]；Wang和Kushwaha[27]通過(guò)調(diào)節(jié)方柱形波導(dǎo)的方柱幾何尺寸來(lái)調(diào)節(jié)帶隙；Bertoldi等[28]通過(guò)改變晶格與散射體形狀來(lái)調(diào)節(jié)帶隙；Zhou 等[29]提出了多包覆層局域共振單元結(jié)構(gòu),并討論了包覆層數(shù)量及厚度對(duì)帶隙的影響。以上方法的局限性在于聲學(xué)超材料制備完成后無(wú)法對(duì)帶隙實(shí)現(xiàn)主動(dòng)調(diào)控，智能材料的引入實(shí)現(xiàn)了對(duì)聲學(xué)超材料參數(shù)的主動(dòng)調(diào)控。Yeh[30]以電流變彈(Electrorheological Elastomer)材料作為基體，環(huán)氧樹(shù)脂作為散射體組成二維聲子晶體，通過(guò)研究發(fā)現(xiàn)外加電場(chǎng)對(duì)帶隙的寬度和位置產(chǎn)生影響；Xiao等[31]設(shè)計(jì)了薄膜聲學(xué)超材料；用薄膜上電極與另一側(cè)網(wǎng)狀電極構(gòu)成電容器，通過(guò)調(diào)節(jié)電容兩端電壓改變薄膜的共振頻率和相位從而實(shí)現(xiàn)彈性波傳輸過(guò)程中帶隙的主動(dòng)調(diào)節(jié)；磁流變彈(Magnetorheological Elastomers,MREs)性體作為一種智能材料，可以通過(guò)改變外加磁場(chǎng)的方式調(diào)控材料的力學(xué)性能，并具有響應(yīng)快、可逆性好、可控能力強(qiáng)等特點(diǎn)[32-33]。Chen等[34]將MREs薄膜覆蓋于鋁制環(huán)上設(shè)計(jì)了一種磁—聲超材料，Xu 等[35]使用MREs 包覆層共振單元實(shí)現(xiàn)了三維局域共振聲學(xué)超材料的設(shè)計(jì)，兩者均可以通過(guò)改變外部磁場(chǎng)調(diào)節(jié)聲學(xué)超材料的頻率帶隙；劉少剛等[36]使用MREs設(shè)計(jì)了單、雙包覆層的聲子晶體元胞結(jié)構(gòu)，也可通過(guò)磁場(chǎng)改變調(diào)節(jié)帶隙以及傳輸譜特性。

雖然研究者們?cè)诼晫W(xué)拓?fù)浣^緣體和聲子晶體帶隙的主動(dòng)調(diào)控方面都做出了深入的研究并取得了大量的成果，但是在彈性波拓?fù)渫ǖ赖姆墙佑|式智能調(diào)控的研究卻比較少。以往的研究以重芯體分布在基體材料中組成聲子晶體，本文利用磁流變彈性體可以通過(guò)外加磁場(chǎng)連續(xù)控制其力學(xué)性能的特點(diǎn)，在前人研究的基礎(chǔ)上，以硅膠作為基體，磁流變彈性體材料包覆金屬鎢作為散射體設(shè)計(jì)了一種二維蜂窩狀聲學(xué)智能超材料，通過(guò)打破元胞的空間對(duì)稱性并引入質(zhì)量差的方式來(lái)實(shí)現(xiàn)能帶反轉(zhuǎn)，結(jié)合基于聲子晶體的類似量子霍爾效應(yīng)的贗自旋態(tài)，實(shí)現(xiàn)了彈性波的拓?fù)鋫鬏斀^通道的構(gòu)造；并通過(guò)外加磁場(chǎng)調(diào)節(jié)包覆層MREs的剪切模量等力學(xué)參數(shù)，實(shí)現(xiàn)了拓?fù)渫ǖ揽蓚鬏旑l率大小及范圍的智能調(diào)控，此外還討論了芯體材料密度對(duì)拓?fù)渫ǖ纻鬏旑l率的影響。本文的研究可以為新型智能材料的研究及彈性波的精確引導(dǎo)等提供相應(yīng)的參考。

1 模型與方法

1.1 二維聲學(xué)超材料結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

通過(guò)將磁流變彈性體圓環(huán)包覆的金屬圓柱以蜂窩狀晶格嵌入硅膠基體中構(gòu)造聲學(xué)超材料的原始模型如圖1(a)所示，晶格常數(shù)a=1 μm，芯體的半徑r1=0.185 μm，包覆層外徑r2=0.25 μm，對(duì)應(yīng)的能帶結(jié)構(gòu)為圖1(a)。通過(guò)元胞幾何參數(shù)的調(diào)節(jié)找到了受元胞結(jié)構(gòu)和晶格對(duì)稱性保護(hù)的K點(diǎn)必然簡(jiǎn)并點(diǎn)(圖1(a)中圓形標(biāo)記位置)。通過(guò)打破晶格空間對(duì)稱性[20-21]和引入質(zhì)量差的方法[25]調(diào)節(jié)左邊MREs環(huán)包覆層厚度并去除里面的芯體，當(dāng)左邊MREs包覆層內(nèi)環(huán)半徑為r3=0.2 μm時(shí)(如圖1(b))，k點(diǎn)簡(jiǎn)并點(diǎn)明顯打開(kāi)并在第8和第9兩條能帶之間產(chǎn)生了完全禁帶；同時(shí)，第3能帶與第4能帶之間也產(chǎn)生了局域共振型禁帶。本文主要研究對(duì)象為8、9條能帶所構(gòu)成的禁帶。

圖1 聲學(xué)超材料元胞結(jié)構(gòu)Fig 1 Acoustic metamaterial protocell structure

本文使用的硅橡膠材料參數(shù)為：密度ρs=800 kg/m3,拉梅常數(shù)λ=24.67 MPa,μ=0.772 MPa，MREs材料計(jì)算采用經(jīng)典的磁偶極子模型，橡膠和鐵粉顆粒密度分別為密度定義為ρr=1.2×103kg/m3,ρFe=7.89×103kg/m3，泊松比取0.47[37]，外磁場(chǎng)作用下MREs材料剪切模量按照式(1)變化[38-39]。

(1)

表1 芯體材料力學(xué)參數(shù)

1.2 平面波展開(kāi)法與有限元法

平面波展開(kāi)法利用晶體結(jié)構(gòu)的周期性，將彈性系數(shù)和密度等參數(shù)按照傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)，結(jié)合Bloch定理，將彈性波波動(dòng)方程在倒矢空間以平面波疊加形式展開(kāi)，將波動(dòng)方程轉(zhuǎn)化為求解本征值問(wèn)題，從而得到能帶結(jié)構(gòu)[40]。平面波展開(kāi)法在計(jì)算固/固聲子晶體能帶結(jié)構(gòu)已經(jīng)非常成熟，具體求解可以參考文獻(xiàn)[41]，在2.4節(jié)中，本文基于MATLAB編程使用平面波展開(kāi)法來(lái)計(jì)算禁帶上下邊界頻率并與有限元法計(jì)算結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證，結(jié)果一致。

有限元法基于集中質(zhì)量法思想[42]，將連續(xù)介質(zhì)中的質(zhì)量集中到有限的點(diǎn)或者面上，將無(wú)限自由度轉(zhuǎn)化為有限自由度求解。能帶結(jié)構(gòu)的計(jì)算收斂性不受聲子晶體中不同介質(zhì)彈性常數(shù)差的影響，在計(jì)算大彈性常數(shù)差聲子晶體能帶結(jié)構(gòu)擁有比平面波展開(kāi)法等其他方法更高的計(jì)算精度和較好的收斂性。本文使用多物理場(chǎng)仿真軟件COMSOL Multiphysics?對(duì)聲學(xué)超材料的能帶結(jié)構(gòu)進(jìn)行計(jì)算以及對(duì)拓?fù)溥吔鐟B(tài)的頻域傳輸現(xiàn)象進(jìn)行仿真。為了在COMSOL Multiphysics?計(jì)算元胞能帶過(guò)程更方便的進(jìn)行參數(shù)化掃描，定義參數(shù)k范圍為0～3，將0～1定義為覆蓋不可約布里淵區(qū)M-K邊緣的波數(shù)；1～2定義為覆蓋K-Γ邊緣的波數(shù)；2～3定義為Γ-M邊緣的波數(shù)。

2 計(jì)算結(jié)果與討論

2.1 元胞能帶反轉(zhuǎn)和拓?fù)湎嘧?/h3>

通過(guò)打破晶格的空間對(duì)稱性并引入質(zhì)量差的方法，改變左邊包覆層半徑并去除芯體材料的質(zhì)量(第一次簡(jiǎn)并點(diǎn)打開(kāi)，圖2)與改變右邊包覆層半徑并去除芯體質(zhì)量(第二次簡(jiǎn)并點(diǎn)打開(kāi)，圖3)作為兩種相反的調(diào)節(jié)方式，使k點(diǎn)必然簡(jiǎn)并狄拉克點(diǎn)從打開(kāi)—閉合—打開(kāi)并產(chǎn)生了禁帶，并且在此過(guò)程中第8條能帶與第9條能帶發(fā)生了能帶反轉(zhuǎn)。圖2(a)為第一次簡(jiǎn)并點(diǎn)打開(kāi)對(duì)應(yīng)的k=1時(shí)的高頻能帶元胞位移和能流圖，可以看出位移和能流整體呈現(xiàn)旋渦狀，具有順時(shí)針?lè)较虻氖中?；圖2(b)對(duì)應(yīng)的是第一次簡(jiǎn)并點(diǎn)打開(kāi)k=1時(shí)低頻能帶的位移和能流圖，可以看出位移和能流表現(xiàn)出逆時(shí)針的手性。圖3為第二次簡(jiǎn)并點(diǎn)打開(kāi)對(duì)應(yīng)的能帶結(jié)構(gòu)圖和低頻能帶與高頻能帶對(duì)應(yīng)的位移與能流圖，可以看出，對(duì)比圖2位移與能流都發(fā)生了相反的變化，低頻能帶具有順時(shí)針的手性，而高頻能帶表現(xiàn)出逆時(shí)針手性；可以判斷從k點(diǎn)簡(jiǎn)并點(diǎn)打開(kāi)—閉合—打開(kāi)，8、9能帶之間發(fā)生了能帶反轉(zhuǎn)。

圖2 第一次簡(jiǎn)并點(diǎn)打開(kāi)Fig 2 The first degeneracy point opens

圖3 第二次簡(jiǎn)并點(diǎn)打開(kāi)Fig 3 The second degeneracy point opens

為了進(jìn)一步證明8、9能帶之間發(fā)生了能帶反轉(zhuǎn)，參考文獻(xiàn)[43]引入了非零谷陳數(shù)的觀點(diǎn)。通過(guò)k·p微擾法，可以得到有效哈密頓量:

(2)

(3)

那么，可以通過(guò)積分布里淵半?yún)^(qū)的局部Berry曲率來(lái)計(jì)算能帶的拓?fù)潆姾桑?/p>

(4)

k簡(jiǎn)并點(diǎn)打開(kāi)時(shí)會(huì)產(chǎn)生谷贗自旋態(tài)，第一次簡(jiǎn)并點(diǎn)打開(kāi)時(shí)自旋向上的陳數(shù)C↑=-1，自旋向下陳數(shù)C↓=1；第二次簡(jiǎn)并點(diǎn)打開(kāi)時(shí)自旋向上的陳數(shù)C↑=1，自旋向下陳數(shù)C↓=-1，伴隨著陳數(shù)的改變拓?fù)湎辔话l(fā)生了轉(zhuǎn)變，證明了上述兩種不同的打開(kāi)簡(jiǎn)并點(diǎn)的方法的確發(fā)生了能帶反轉(zhuǎn)。系統(tǒng)總陳數(shù)C=C↑+C↓=0，自旋陳數(shù)CS=±(C↑-C↓)=±1 ，可以為下面構(gòu)造拓?fù)浣^緣表面的傳輸通道作為理論基礎(chǔ)。

2.2 超胞能帶特性分析

定義改變左邊包覆層半徑并去除芯體材料的元胞為A型元胞,改變右邊包覆層半徑并去除芯體質(zhì)量的元胞為B型元胞。接下來(lái)使用COMSOL Multiphysics? 中設(shè)置好相應(yīng)的邊界條件，分別對(duì)圖4中A×10型超胞和A×5+B×5型雜化超胞的能帶進(jìn)行計(jì)算。由圖5、6計(jì)算結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，AB雜化的超胞中在頻率freq=2.7483×107Hz和freq=3.0359×107Hz時(shí)出現(xiàn)了拓?fù)溥吔鐟B(tài)，而這種邊界態(tài)并沒(méi)有在A×10型超胞能帶圖中出現(xiàn)。進(jìn)一步分析A×5+B×5型雜化超胞在拓?fù)溥吔缣幍哪B(tài)(圖7)，可以發(fā)現(xiàn)其響應(yīng)主要局域在AB型元胞相接的部分，邊上的響應(yīng)被抑制，這就是超胞結(jié)構(gòu)中存在的拓?fù)溥吔鐟B(tài)；并且在freq=2.7483×107Hz邊界模態(tài)處超胞受力方向?yàn)轫槙r(shí)針，freq=3.0359×107Hz邊界模態(tài)處受力方向?yàn)槟鏁r(shí)針，可以說(shuō)明拓?fù)溥吔绲膫鬏斁哂蟹较蛐浴?/p>

圖4 型超胞結(jié)構(gòu)圖Fig 4 Supercell structure diagram

圖5 A×10型超胞能帶圖Fig 5 Energy band diagram of supercell typeA×10

圖6 A×5+B×5型超胞能帶圖Fig 6 Energy band diagram of supercell type A×5+B×5

圖7 A×5+B×5型超胞拓?fù)溥吔缣幠B(tài)圖Fig 7 The mode diagram at the topological boundary of type A supercell A×5+B×5

2.3 拓?fù)渫ǖ李l域傳輸分析

利用COMSOL Multiphysics?軟件的頻域模塊對(duì)有限大聲學(xué)超材料板結(jié)構(gòu)的彈性波傳輸進(jìn)行仿真計(jì)算，首先設(shè)計(jì)如圖8直線型拓?fù)鋫鬏斖ǖ?，在邊界處施加低反射邊界條件，降低反射波對(duì)計(jì)算結(jié)果精確度的影響。在模型的一端施加線激勵(lì)，通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)，彈性波在拓?fù)溥吔绶秶鷥?nèi)(2.7483×107～3.0359×107Hz)高效傳輸。由于拓?fù)溥吔鐟B(tài)的局域作用，彈性波沿著設(shè)計(jì)的通道進(jìn)行傳輸，在通道外沒(méi)有能量的散射。通過(guò)計(jì)算直線型拓?fù)渫ǖ赖耐干渥V(圖10a)，可以進(jìn)一步證實(shí)拓?fù)渫ǖ纻鬏斁哂袠O低的能量損耗。為了進(jìn)一步研究拓?fù)渫ǖ赖男再|(zhì)，設(shè)計(jì)如圖9的Z字型通道，通過(guò)在通道一側(cè)施加線激勵(lì)并計(jì)算，可以看出，彈性波的傳輸并不受拐角的影響，可以通過(guò)拐角繼續(xù)向前傳播并且在拐角處無(wú)能量泄露。同樣計(jì)算Z字型拓?fù)渫ǖ赖哪芰客干渥V，結(jié)果如圖10(b)，可以得出彈性波在拓?fù)渫ǖ纼?nèi)可以低損耗局域型高效傳輸。

圖8 直線型彈性波拓?fù)渫ǖ纻鬏擣ig 8 Transmission of linear elastic wave topology channel

圖9 Topological channel transmission of Z-shape elastic waveFig 9 Transmission of linear elastic wave topology channel

圖10 (a)直線型彈性波拓?fù)鋫鬏斖ǖ劳干渥V (b)Z字型彈性波拓?fù)渫ǖ纻鬏斖干渥VFig 10 Transmission spectrum of linear elastic wave topological transmission channel and transmission spectrum of Z-shaped elastic wave topology channel

通過(guò)在設(shè)計(jì)拓?fù)渫ǖ乐幸肴毕萑鐖D11，來(lái)證明拓?fù)渫ǖ缹?duì)于缺陷的魯棒性。分別在直線通道和Z字型通道模型中加入缺陷并進(jìn)行彈性波傳輸仿真計(jì)算和透射譜計(jì)算。結(jié)果與圖8，9中沒(méi)有引入缺陷時(shí)的透射率一致，表明即使在通道中引入缺陷也不影響彈性波在拓?fù)渫ǖ乐械母咝鞑ァ?/p>

圖11 (a)彈性波在引入缺陷的直線型拓?fù)渫ǖ纻鬏斘灰茍D (b)彈性波在引入缺陷的Z字型拓?fù)渫ǖ赖膫鬏斘灰茍DFig 11 Displacement diagram of elastic wave propagation in a linear topological channel with a defect and transmission displacement Diagram of elastic wave in z-shaped topological channel with defect

拓?fù)渫ǖ缹?duì)彈性波的精確引導(dǎo)可以根據(jù)實(shí)際要求設(shè)計(jì)相對(duì)應(yīng)的路徑，如圖9中的Z字型路徑可以巧妙的避開(kāi)所要保護(hù)的對(duì)象，引導(dǎo)彈性波傳播到別處可以進(jìn)行能量回收二次利用；也可以根據(jù)需要設(shè)置彈性波高效率的傳輸?shù)街付繕?biāo)。

2.4 磁場(chǎng)強(qiáng)度與拓?fù)渫ǖ纻鬏旑l率范圍的關(guān)系

通過(guò)改變外加磁場(chǎng)強(qiáng)度可以調(diào)控磁流變包覆層的剪切模量等力學(xué)性能，從而調(diào)節(jié)拓?fù)渫ǖ纻鬏數(shù)念l率范圍。本文計(jì)算了磁場(chǎng)從0～796 kA/m過(guò)程中基于磁流變彈性體聲子晶體聲學(xué)超材料的能帶變化，定義第3、第4能帶為第一階帶隙的下邊界和上邊界，第8、第9條能帶為第二階帶隙的下邊界和上邊界；圖12為構(gòu)成禁帶上下邊界能帶頻率隨著磁場(chǎng)增加的變化圖，有限元法(集中質(zhì)量法)與平面波展開(kāi)法的計(jì)算結(jié)果基本一致，結(jié)果頻率差均小于30 Hz，證明了計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性。計(jì)算結(jié)果表明含有拓?fù)溥吔鐟B(tài)的禁帶(第二階帶隙)隨著磁場(chǎng)強(qiáng)度的增加整體向高頻移動(dòng)，帶隙下邊界隨著磁場(chǎng)的增大變化幅度比上邊界大，因此帶隙寬度隨著磁場(chǎng)強(qiáng)度增大逐漸減小，當(dāng)磁場(chǎng)強(qiáng)度為796 kA/m的時(shí)候，禁帶關(guān)閉；計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[44]所計(jì)算的變化趨勢(shì)一致。通過(guò)計(jì)算0、159.2、318.4、636.8 kA/m磁場(chǎng)強(qiáng)度下拓?fù)鋫鬏斖ǖ赖耐干渥V(圖13)可以發(fā)現(xiàn)隨著磁場(chǎng)強(qiáng)度的增加，透射譜的最大衰減頻率也在整體向高頻移動(dòng)，進(jìn)一步證明了第二階帶隙禁帶隨著磁場(chǎng)強(qiáng)度增大朝高頻移動(dòng)。第一階帶隙由于磁場(chǎng)強(qiáng)度增加，MREs材料的剛度增大，第一階帶隙整體向高頻移動(dòng)，由于剛度增大對(duì)帶隙上邊界的影響大于下邊界，所以第一階帶隙的禁帶寬度增加，與文獻(xiàn)[45]中的質(zhì)量彈簧模型計(jì)算的結(jié)果一致。因此可以通過(guò)調(diào)整外磁場(chǎng)的大小對(duì)拓?fù)渫ǖ赖膫鬏旑l率范圍進(jìn)行非接觸式調(diào)控。

圖12 禁帶上下邊界頻率與磁場(chǎng)強(qiáng)度變化關(guān)系(有限元法與平面波展開(kāi)法結(jié)果對(duì)比)Fig 12 Relation between upper and lower boundary frequencies of the forbidden band and magnetic field strength (comparison between results of Finite Element Method and Plane Wave Expansion method)

圖13 不同磁場(chǎng)強(qiáng)度下拓?fù)渫ǖ赖耐干渥V變化圖Fig 13 Variation of transmission spectrum of topological channel under different magnetic field intensity

2.5 芯體密度與禁帶頻率范圍的關(guān)系

分別使用表1中的材料作為聲子晶體的芯體進(jìn)行能帶結(jié)構(gòu)的計(jì)算，繪制禁帶的上下邊界頻率與芯體密度的變化關(guān)系(圖14)可以看出：第一階帶隙的隨著芯體密度的增加，帶隙下邊界減小趨勢(shì)比上邊界快，因此禁帶寬度增大，此變化趨勢(shì)也與用文獻(xiàn)[36]中質(zhì)量彈簧模型一致。對(duì)于第二階禁帶，由于芯體密度增大，剛體共振頻率朝低頻移動(dòng)且對(duì)上邊界影響較大，導(dǎo)致帶隙寬度變窄，帶隙整體朝低頻移動(dòng)?；诖私Y(jié)論可以對(duì)于拓?fù)渫ǖ赖膫鬏旑l率實(shí)現(xiàn)被動(dòng)調(diào)控。

圖14 禁帶上下邊界隨芯體密度變化關(guān)系圖Fig 14 Relationship between the upper and lower boundaries of the band gap and the density of the core

3 結(jié) 論

(1)設(shè)計(jì)了一種基于磁流變彈性體聲子晶體的元胞結(jié)構(gòu)，通過(guò)調(diào)參與計(jì)算找出元胞能帶結(jié)構(gòu)中存在的受元胞結(jié)構(gòu)和晶格對(duì)稱性保護(hù)的K點(diǎn)必然簡(jiǎn)并狄拉克點(diǎn)，并通過(guò)打破晶格結(jié)構(gòu)空間對(duì)稱性同時(shí)引入質(zhì)量差的方法使簡(jiǎn)并點(diǎn)打開(kāi)并完成拓?fù)湎嘧冞^(guò)程。

(2)利用拓?fù)湎嘧兊膬煞N類型的元胞結(jié)構(gòu)構(gòu)造超胞，通過(guò)對(duì)超胞能帶圖的計(jì)算，在超胞的雜化邊界處發(fā)現(xiàn)了拓?fù)溥吔鐟B(tài)，并通過(guò)引入了非零谷陳數(shù)的觀點(diǎn)驗(yàn)證了K點(diǎn)簡(jiǎn)并打開(kāi)并產(chǎn)生了谷贗自旋態(tài)，超胞在頻率freq=2.7483×107Hz和freq=3.0359×107Hz時(shí)出現(xiàn)了拓?fù)溥吔鐟B(tài)，拓?fù)溥吔缤忸l率響應(yīng)被抑制。

(3)通過(guò)構(gòu)造直線型和Z字型拓?fù)溥吔绮⒂肅OMSOL Multiphysics?仿真計(jì)算，證明了拓?fù)溥吔鐟B(tài)可以實(shí)現(xiàn)對(duì)彈性波的精確引導(dǎo)，按照設(shè)計(jì)的路線進(jìn)行高效傳播。同時(shí)通過(guò)對(duì)設(shè)計(jì)的通道引入缺陷并進(jìn)行仿真計(jì)算，證明了拓?fù)溥吔鐚?duì)于缺陷的魯棒性。

(4)通過(guò)改變外加磁場(chǎng)強(qiáng)度與拓?fù)渫ǖ纻鬏旑l率范圍的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)隨著磁場(chǎng)強(qiáng)度的增加，拓?fù)渫ǖ赖膫鬏旑l率朝高頻移動(dòng)，并且禁帶下邊界變化速率高于上邊界導(dǎo)致禁帶寬度減小，當(dāng)磁場(chǎng)強(qiáng)度達(dá)到796 kA/m時(shí)，禁帶關(guān)閉。通過(guò)此結(jié)論可以實(shí)現(xiàn)對(duì)拓?fù)渫ǖ纻鬏旑l率范圍實(shí)現(xiàn)非接觸式智能調(diào)控。通過(guò)研究元胞芯體材料密度與禁帶范圍的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)拓?fù)渫ǖ离S著芯體密度增加帶隙朝低頻移動(dòng)，帶隙寬度減小，此結(jié)論可以為拓?fù)渫ǖ纻鬏旑l率范圍的被動(dòng)調(diào)控提供參考。