福建省閩清第一中學(xué) (350800) 林 婷

數(shù)學(xué)探究是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種基本方式，注重以學(xué)生為本，讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的自然生成過(guò)程，經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題的過(guò)程，是積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、發(fā)展思維培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要途徑.數(shù)學(xué)具有高度抽象性的特點(diǎn)，未經(jīng)過(guò)自主體驗(yàn)、感悟與生成的“被告知”或“被模仿”的數(shù)學(xué)知識(shí)，無(wú)法在學(xué)生的腦海中留下深刻的印象.因此，在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)立足教材，以概念、原理、公式、例題等知識(shí)為載體，營(yíng)造民主、和諧的氛圍，適時(shí)鋪設(shè)不同形式的探究之路，最大限度地開發(fā)學(xué)生的潛能，調(diào)動(dòng)學(xué)生探索的熱情，引導(dǎo)學(xué)生在不斷的思考、探究與追問(wèn)中自然地實(shí)現(xiàn)課堂的有效生成.以下筆者結(jié)合多年的數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐，談?wù)劻⒆憬滩拈_展探究性教學(xué)的幾點(diǎn)體會(huì).

1 創(chuàng)設(shè)情境，喚起探究熱情

數(shù)學(xué)知識(shí)具有高度凝練性、抽象性等特點(diǎn)，特別是數(shù)學(xué)的高度抽象性讓學(xué)生難以體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)的意蘊(yùn)，難以體會(huì)當(dāng)初數(shù)學(xué)家發(fā)明創(chuàng)造時(shí)的“火熱的思考”.創(chuàng)設(shè)源于學(xué)生生活的情境會(huì)讓學(xué)生更有親近感，以此為載體的數(shù)學(xué)知識(shí)也最能給學(xué)生留下深刻的印象.因此，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師應(yīng)在學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”精心創(chuàng)設(shè)有思考價(jià)值的問(wèn)題情境，引發(fā)學(xué)生強(qiáng)烈的“欲達(dá)彼岸”的心理需求與“樂(lè)此不彼”的求知欲，推動(dòng)學(xué)生在具體情境中參與探究，從而實(shí)現(xiàn)“精彩地鋪墊，自然地生成”.

案例1 高中數(shù)學(xué)新教材(人教A版)必修第二冊(cè)“直線與平面垂直的定義”引入.

問(wèn)題1 在“直線與平面平行”學(xué)習(xí)中，我們將“直線與平面平行”轉(zhuǎn)化成“直線與直線平行”研究，體現(xiàn)了“平面化”與“降維”思想.那么，“直線與平面垂直”是否也可以轉(zhuǎn)化成直線與某些元素之間的關(guān)系進(jìn)行研究呢？

教師將書本豎放在講臺(tái)上(如圖1)，又提出如下問(wèn)題.

圖1

問(wèn)題2 請(qǐng)同學(xué)們打開數(shù)學(xué)課本，把它直立在桌面上，觀察書脊所在的直線與桌面有怎樣的位置關(guān)系？

問(wèn)題3 為了使書脊與桌面α垂直，書脊所在直線的AB與各書頁(yè)和桌面交線具有什么樣的位置關(guān)系？

問(wèn)題4 為了使書脊與桌面α垂直，書脊所在的直線AB與桌面上任一條不過(guò)點(diǎn)A的直線有什么樣的位置關(guān)系？為什么？

問(wèn)題5 通過(guò)以上的觀察，你認(rèn)為應(yīng)怎樣定義直線與平面垂直？

設(shè)計(jì)“問(wèn)題情境”不僅僅是為了引出話題，更應(yīng)該蘊(yùn)含數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)本質(zhì).案例1精心創(chuàng)設(shè)可望、可及、直抵問(wèn)題本質(zhì)的真實(shí)情境，問(wèn)題1滲透類比、轉(zhuǎn)化與降維思想，問(wèn)題2讓學(xué)生感知直線與平面垂直的典型實(shí)例，問(wèn)題3和問(wèn)題4分別點(diǎn)出了直線AB與平面α內(nèi)的直線的兩種垂直關(guān)系(相交垂直與異面垂直)，問(wèn)題設(shè)計(jì)簡(jiǎn)潔精煉卻直抵?jǐn)?shù)學(xué)本質(zhì)，不僅讓學(xué)生找到了知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，而且有效刺激了學(xué)生的大腦，喚起了學(xué)生探究的欲望.教師在學(xué)生已有的知識(shí)水平和生活經(jīng)驗(yàn)的前提下，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)、深層次地參與到問(wèn)題解決的過(guò)程中，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、分析、抽象、概括的過(guò)程.通過(guò)師生、生生之間實(shí)質(zhì)性的探究活動(dòng)，催生了建構(gòu)概念的智慧，“直線與平面垂直”定義的生成已是水到渠成.

2 激活過(guò)程，體驗(yàn)探究樂(lè)趣

在課堂教學(xué)中，教師的任務(wù)不是把現(xiàn)成的知識(shí)灌輸給學(xué)生，而應(yīng)該讓學(xué)生體驗(yàn)知識(shí)的產(chǎn)生與發(fā)展過(guò)程.因此，教師要圍繞課堂教學(xué)目標(biāo)，在了解學(xué)生已有數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，通過(guò)平等對(duì)話、溝通交流，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情.通過(guò)觀察、操作、分析、比較、歸納、猜想、驗(yàn)證等數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，引領(lǐng)學(xué)生在概念的形成過(guò)程、定理的推導(dǎo)過(guò)程、結(jié)論的揭示過(guò)程中把研究的事物從某種角度看待的本質(zhì)屬性抽取出來(lái)，讓學(xué)生經(jīng)歷完整的數(shù)學(xué)抽象過(guò)程，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

案例2 高中數(shù)學(xué)新教材(人教A版)必修第二冊(cè)“二面角”概念的教學(xué)片斷.

師：同學(xué)們?cè)诔踔幸呀?jīng)學(xué)習(xí)了角的概念，回顧一下角是怎么定義的？

生(眾)：從平面上的一個(gè)定點(diǎn)引出兩條射線，這個(gè)定點(diǎn)與兩條射線所組成的圖形稱為角.

師：請(qǐng)大家模仿平面幾何中角的概念來(lái)定義二面角.

生1：把角的概念類比到空間，定點(diǎn)則變成了定直線(即棱)，由定點(diǎn)引出的兩條射線就變成從這條棱引出的兩個(gè)半平面.

師：很好！我們把角的定義中的每一個(gè)元素升級(jí)到空間中的元素，就得到了“二面角”的概念.大家來(lái)觀察一下多媒體中不同形狀的二面角模型(教師多媒體展示二面角的各種模型，以加深學(xué)生對(duì)二面角概念的理解).

師：我們應(yīng)該如何刻畫二面角的大小呢？想一想生活中有否存在二面角的實(shí)際模型？

生2：教室的墻面與地面、打開的筆記本電腦、翻開的課本都是二面角的空間模型.

師：對(duì)，請(qǐng)大家轉(zhuǎn)動(dòng)課本的書頁(yè)，思考應(yīng)該怎樣度量二面角的大小？

(學(xué)生探究、討論)

生3：二面角既然稱為“角”，就能夠用一個(gè)確定的平面角來(lái)刻畫.

師：不錯(cuò)！哪一個(gè)平面角能擔(dān)負(fù)此重任呢？

師(見(jiàn)一些學(xué)生感到茫然，教師追問(wèn))：平面角的頂點(diǎn)應(yīng)落在哪一個(gè)位置？角的兩條射線該如何放置，才能合理地刻畫二面角呢？

(教師讓每個(gè)學(xué)生拿出一張紙，引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作：紙對(duì)折后是一個(gè)二面角，過(guò)棱上的一點(diǎn)在兩個(gè)半平面內(nèi)嘗試各畫一條射線，然后讓學(xué)生觀察如何刻畫二面角的平面角.小組合作探究、交流.)

生4：如圖2，在棱l上取一點(diǎn)O，在半平面α、β內(nèi)分別作射線OA、OB，使OA⊥l，OB⊥l，則射線OA、OB所組成的∠AOB能夠度量其大小.

圖2

師：點(diǎn)O是如何確定的？能否在l上取其他的點(diǎn)呢？

圖2(b)是Fe3O4-C磁性空心微球的XRD譜圖，其中在2θ為30.06°、35.42°、43.02°、53.41°、56.92°和62.49°處出現(xiàn)了Fe3O4的6個(gè)特征衍射峰，分別對(duì)應(yīng)著標(biāo)準(zhǔn)尖晶石結(jié)構(gòu)的220、311、400、422、511和440晶面[10]，證明材料中主要是尖晶石結(jié)構(gòu)的Fe3O4組分，且結(jié)晶良好，同時(shí)也說(shuō)明硅膠核心的溶蝕過(guò)程并未造成Fe3O4組分的破壞。

生5：應(yīng)該可以，我在棱l上再取點(diǎn)O′，在半平面α、β內(nèi)作射線O′A、O′B，使O′A⊥l，O′B⊥l，依等角定理可知，∠AOB=∠AO′B，因此這樣作出的角與點(diǎn)O在棱l上的位置是無(wú)關(guān)的.

師：概括到位！如果把這個(gè)角叫做二面角的平面角，大家覺(jué)得合適嗎？

生6：我在棱l上取一點(diǎn)O，在半平面α、β內(nèi)分別作射線OA、OB，使得OA、OB與直線l的夾角都為60°，射線OA、OB所組成的∠AOB也是確定的，所以我認(rèn)為∠AOB也可以度量二面角大小.

師：生6說(shuō)得也有道理！哪一種作法更恰當(dāng)呢？

師(見(jiàn)沒(méi)有學(xué)生發(fā)言，教師進(jìn)一步追問(wèn))：請(qǐng)大家將二面角的一個(gè)半平面放在桌面上，把另一個(gè)半平面繞著棱l轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)兩個(gè)半平面重合時(shí)，它們都落在桌面上，此時(shí)平面角分別為多少？

(學(xué)生操作、思考)

生7：當(dāng)兩個(gè)半平面都落在桌面時(shí)，平面角是180°；當(dāng)兩個(gè)半平面重合時(shí)，平面角是0°.只有當(dāng)OA⊥l，OB⊥l時(shí)，作射線OA、OB組成的角∠AOB才是0°和180°.因此當(dāng)OA⊥l，OB⊥l時(shí)，∠AOB表示二面角的平面角最合適.

“二面角”的概念是一個(gè)難點(diǎn)，突破難點(diǎn)的關(guān)鍵是利用某些具體材料進(jìn)行鋪墊，當(dāng)學(xué)生大腦中有了直觀的雛形后，教師再引導(dǎo)學(xué)生探究，從具體到抽象、從現(xiàn)象到本質(zhì)，讓學(xué)生參與概念建構(gòu)的全過(guò)程.案例2中，教師為學(xué)生營(yíng)造平等的對(duì)話時(shí)空，并扮演好“穿針引線”的角色，引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析，操作、交流，把學(xué)習(xí)新知的過(guò)程，變成學(xué)生“再發(fā)現(xiàn)”、“再創(chuàng)造”的過(guò)程.通過(guò)深度探究，一個(gè)個(gè)疑惑點(diǎn)的探析與破解，學(xué)生親身經(jīng)歷“二面角的平面角”概念的建構(gòu)過(guò)程，不僅掌握了研究問(wèn)題的方法，而且品嘗了“數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)”的心路歷程.思維對(duì)話的過(guò)程，正是學(xué)生的思想經(jīng)過(guò)激烈的分歧和斗爭(zhēng)，不斷地融合統(tǒng)一，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)升華的過(guò)程.在此過(guò)程中，實(shí)現(xiàn)了由形到數(shù)、由具體到抽象的轉(zhuǎn)化.通過(guò)這樣的深度學(xué)習(xí)，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的理解才能更自然、更深刻，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)方能落地.

3 拓展教材例習(xí)題,深化探究能力

教材中的例(習(xí))題是經(jīng)過(guò)專家精心構(gòu)思、反復(fù)推敲之后選定的，具有起點(diǎn)低、入口寬、視角開放等特點(diǎn)，為教師科學(xué)合理地實(shí)施課堂教學(xué)提供了典型范例.在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師在引導(dǎo)學(xué)生完成例(習(xí))題的學(xué)習(xí)后，要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問(wèn)題多角度、多層次地進(jìn)行引申、拓展，為學(xué)生提供教科書之外的廣闊的探究空間，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)力，使學(xué)生的思維提高到一個(gè)由例及類的檔次，達(dá)到一題串一簇，一題聯(lián)一線的境地.經(jīng)常這樣做，學(xué)生身上就能噴發(fā)出創(chuàng)新的“火花”，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)才能得到真正的提升.

案例3 高中數(shù)學(xué)新教材(人教A版)數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)第101頁(yè)復(fù)習(xí)參考題3第8題.

為了深度挖掘本題目背后所蘊(yùn)涵的思想，展現(xiàn)其本質(zhì)屬性，教師有意將該題留在學(xué)生學(xué)習(xí)了指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)后的復(fù)習(xí)課中，引導(dǎo)學(xué)生探究.學(xué)生證明了本題后，教師又列舉了幾類函數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生歸納出結(jié)論：

然后，教師請(qǐng)學(xué)生畫出這幾類函數(shù)的圖像，引導(dǎo)學(xué)生探究更一般的結(jié)論.學(xué)生通過(guò)總結(jié)，提煉出了凹凸函數(shù)的性質(zhì)：

圖3

圖4

通過(guò)挖掘習(xí)題的教學(xué)功能，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有序、科學(xué)地探究，有助于學(xué)生理解所學(xué)知識(shí)，領(lǐng)悟蘊(yùn)涵其中的數(shù)學(xué)思想方法，生成新的“生長(zhǎng)點(diǎn)”；有助于培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考、主動(dòng)探究的學(xué)習(xí)習(xí)慣，引領(lǐng)學(xué)生從表層學(xué)習(xí)走向深層學(xué)習(xí)，提升數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模型等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

數(shù)學(xué)探究為學(xué)生提供了一個(gè)協(xié)同學(xué)習(xí)、互動(dòng)交流的機(jī)會(huì)，有利于數(shù)學(xué)知識(shí)的“再發(fā)現(xiàn)”、“再創(chuàng)造”，有利于學(xué)生思維的深層參與，是現(xiàn)實(shí)且有效的學(xué)習(xí)方式.在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師應(yīng)充分發(fā)揮教材的隱性價(jià)值，富有創(chuàng)造性地使用教材資源，適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生開展有序、科學(xué)的探究活動(dòng)，引領(lǐng)學(xué)生在交流中探究，在探究中創(chuàng)新，使學(xué)生獲得非預(yù)期的生成性發(fā)展，讓數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落地生根.