廣東省惠州市第一中學 (516007) 郭煜輝

有關導數(shù)壓軸題一直是高考研究的熱點.與往年相比，2018年的文科導數(shù)題少了一份彷徨，多了一分親切.初次嘗試，使人興趣盎然；細細體會，讓人意猶未盡；再三品味，解法多種，欲罷不能.可從這一道題，展現(xiàn)出證明導數(shù)不等式的多種常用解題思路.

一、題目

評注：本題與2016年廣州一模文科壓軸題幾乎如出一轍，讓人倍感親切.哪怕沒有做過，但本題的函數(shù)是考試中最常見的“ex”與“l(fā)nx”的結合，對考生而言，實在是“最熟悉的陌生人”.

二、解法分析

評注：本解法單刀直入，進行放縮，構造出形式較簡單的函數(shù).但學生較難掌握放縮的度，普遍對放縮法存在畏懼，學生反而不易想到.

評注：當需要求解參數(shù)取值范圍時，優(yōu)先考慮將式子參變分離，得到平行于x軸的函數(shù)圖像y=a，容易畫圖解決問題.本題中，經(jīng)參變分離后的函數(shù)表達式結構不復雜，對分子進行二次求導求最值點.

評注：本題采用虛設零點的解法，即在導數(shù)問題中，遇到導函數(shù)有零點，但無法求出時，則可將零點只設不求，利用一階導數(shù)為零的等式，在原函數(shù)中進行整體代換.其步驟有三：(1)構造合適的可導函數(shù)(若原函數(shù)結構復雜，可將一階導數(shù)的局部函數(shù)構造新函數(shù))；(2)利用零點存在性定理，判定一階導函數(shù)零點的大致位置，尋找到使函數(shù)值一正一負的區(qū)間；(3)利用方程f′(x)=0為零，用x0或含x0的式子進行整體代換，轉化成便于求最值的函數(shù).

本題運用這種解法的關鍵，是能挖掘出存在零點.解題中有2處難點：一是利用極限探求出零點的大致位置；二是利用一階導數(shù)為零的方程整體代換.本題為虛設零點的解法作出了很好的示范.

評注：解法四和解法五中的不等式“ex≥x+1”和“l(fā)nx≤x+1”是函數(shù)不等式中的重要結論.課本中該不等式并沒有以定理形式呈現(xiàn)的，所以在規(guī)范性的答題中結論還需先證明，再使用.

解法六：由于a·ex-lnx-1≥0?a·ex≥lnx+1，令h(x)=lnx+1，過(0,0)作切線為y=kx，設切點為(x0,y0)，

圖1

評注：構造切線比較大小，是利用函數(shù)圖象的幾何意義證明不等式，是證明不等式的常用手段.本解法恰是對法四在幾何意義上的具體運用：即y=ex的圖象在切線y=x+1之上(y=lnx的圖象在切線y=x-1之下).

在比較大小的題目中，往往尋找中間量進行對比，得出大小.本解法恰恰是以切線作為中間量，通過對比兩條切線的位置，比較得出.此法也可理解為對法一放縮法的幾何運用.(放縮成切線對比.)

本解法步驟主要有三步：(1)尋找易于求切線的點(對數(shù)函數(shù)常找(0,0)、(0,1)，指數(shù)函數(shù)常找(1,0))，過該點求出已知曲線的切線；(2)利用平行關系，求出另一函數(shù)的平行切線；(3)把兩切線作為中間變量，對比兩者位置關系比較大小.

高考試題都是匠心之作，是核心素養(yǎng)和數(shù)學知識的綜合載體.除具備選拔功能，也具備良好的教學功能.作為教師，不僅僅需要解題，更需要對問題深入探究，挖掘出隱藏在題目中的內涵，找到解決問題在思想和方法上的共性.研究高考試題亦是把握高考方向的重要途徑.從2019、2020年的高考命題規(guī)律來看，導數(shù)題難度下降，已不再是壓軸題的必然選擇.回頭來看，2018年的這道文數(shù)21題，亦像是對以往導數(shù)壓軸題的致敬，集通法于一身，為日后高三的導數(shù)復習，作出示范和鋪墊.