周 游,劉 嵩，邱 達(dá)

(1.湖北民族大學(xué) 信息工程學(xué)院，湖北 恩施 445000； 2.湖北民族大學(xué) 新材料與機(jī)電工程學(xué)院，湖北 恩施 445000)

1971年Chua教授預(yù)測了第四種基本元器件的存在，同時(shí)首次提出了憶阻器的概念[1].憶阻器是一種具有記憶特性的二端元件，表征了磁通量與電荷量的函數(shù)關(guān)系.2008年惠普團(tuán)隊(duì)制備出了憶阻器的實(shí)物模型[2].2016年孫克輝團(tuán)隊(duì)[3]引入憶阻器模型至Lorenz混沌系統(tǒng)，產(chǎn)生了兩翼超混沌吸引子.2017年包伯成團(tuán)隊(duì)[4]同時(shí)加入兩個(gè)憶阻器模型至蔡氏混沌電路,產(chǎn)生了單渦卷超混沌吸引子.基于憶阻器的混沌電路研究與應(yīng)用已經(jīng)成為當(dāng)下的一個(gè)研究熱點(diǎn)，引入憶阻器的混沌電路通常具有非常豐富的動力學(xué)行為，表現(xiàn)為對初始值十分敏感，也易受元件參數(shù)影響.這些特性使得憶阻器在電路系統(tǒng)[5-7]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[8-10]、圖像加密[11-12]、信號處理[13]及混沌振蕩[14-16]等領(lǐng)域得到了重要的應(yīng)用.

共存吸引子是指混沌系統(tǒng)在原有參數(shù)一定的情況下，僅通過更改狀態(tài)變量的初值，而得到不同吸引子的現(xiàn)象.共存吸引子存在增加了系統(tǒng)的不確定性，在保密通信和信息安全等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用前景，因此，構(gòu)建一個(gè)含有共存吸引子的混沌系統(tǒng)有著非常重要的工程價(jià)值.本文基于Liu和Chen提出的偽四翼三維混沌系統(tǒng)[17]，通過引入結(jié)構(gòu)簡單的分段線性憶阻器至該系統(tǒng)，設(shè)計(jì)了一個(gè)新的四維混沌系統(tǒng).同一般的混沌系統(tǒng)相比，該系統(tǒng)具有無窮多個(gè)平衡點(diǎn)，且其動力學(xué)行為豐富，存在多種吸引子共存現(xiàn)象.

1 憶阻器和憶阻系統(tǒng)

構(gòu)建的四維混沌憶阻系統(tǒng)模型如：

(1)

其中，a,b,c,d,e,f,k均為常數(shù)，x,y,z,u是系統(tǒng)中的狀態(tài)變量,u為引入憶阻器反饋的狀態(tài)變量，憶阻器的憶導(dǎo)值W(u)=m|u|+n(n<0,m>0)[18].

1.1 平衡點(diǎn)與穩(wěn)定性

令式(1)左邊為零，可得：

(2)

由式(2)可得系統(tǒng)平衡點(diǎn)為：

U={(x,y,z,u)|x=y=z=0,u=α},

(3)

由于α可取任意常數(shù)，表明該憶阻系統(tǒng)具有無限個(gè)平衡點(diǎn).

系統(tǒng)(1)在平衡點(diǎn)U處的雅克比矩陣為：

(4)

由det(λI-Jo)=0得4個(gè)特征根，分別為λ1=0，λ2=f，λ3=a，λ4=c.當(dāng)取參數(shù)系統(tǒng)a=2.6,c=-5,f=-1,系統(tǒng)(1)的平衡點(diǎn)為不穩(wěn)定鞍點(diǎn).

1.2 對稱性

系統(tǒng)(1)有關(guān)于z軸的旋轉(zhuǎn)對稱性，即在變換(x,y,z,u)→(-x,-y,z,-u)后，系統(tǒng)保持不變，為出現(xiàn)共存吸引子提供了可能性.

1.3 耗散性

系統(tǒng)(1)的散度計(jì)算如：

(5)

考慮前述不穩(wěn)定鞍點(diǎn)的斂散性，此時(shí)a=2.6,c=-5,f=-1,系統(tǒng)(1)的散度?V<0，系統(tǒng)(1)是耗散的，同時(shí)也證明了系統(tǒng)吸引子的存在性.

1.4 Lyapunov指數(shù)分析

當(dāng)a=2.6，b=-3，c=-5，d=1，e=1，f=1，k=-0.5，m=1，n=-0.1時(shí)，初值為(0.1,0,0.1,0)，計(jì)算得Lyapunov指數(shù)L1=0.628 6，L2=0，L3=-0.004 0，L4=-4.023 1.Lyapunov維數(shù)DL[19]計(jì)算如 ：

(6)

由式(6)可知系統(tǒng)存在分?jǐn)?shù)維，即系統(tǒng)處于混沌狀態(tài).基于上述參數(shù)構(gòu)建系統(tǒng)Simulink模型，如圖1所示.仿真得到的相圖如圖2所示.

圖1 憶阻混沌系統(tǒng)的Simulink模型 圖2 Simulink模型的混沌吸引子Fig.1 Simulink model of memristor-based chaotic system Fig.2 Chaotic attractors of simulink model

2 吸引子共存

共存吸引子反映了非線性系統(tǒng)的多穩(wěn)定性，通過更改狀態(tài)變量的初值使系統(tǒng)進(jìn)入不同的軌道，從而產(chǎn)生不同的吸引子[20].在固定系統(tǒng)參數(shù)的情況下，改變初值，系統(tǒng)(1)表現(xiàn)出復(fù)雜的動力學(xué)特性，即混沌吸引子共存和混沌—周期混沌吸引子共存.當(dāng)參數(shù)為a=0.5，b=-3，c=-5，d=e=1，f=-1，k=-0.5，m=1，n=-0.1，初始值為(0,1,2.2,-0.1),(0,1,2.2,0.1),(0,1,1.5,-0.1),(0,1,1.5,0.1),(0,1,1,-0.1),(0,1,1,0.1),(0,1,0.8,-0.1),(0,1,0.8,0.1),(0,1,0.5,-0.1)，(0,1,0.5,0.1),(0,0.1,1.3,-0.1),(0,0.1,1.3,0.1),(-1,-1,3,-1),(-1,0,-11,-0.3),(-1,-1,8,-1),(-1,0,-11,-0.3)時(shí)，系統(tǒng)對應(yīng)的x-z相圖如圖3所示，計(jì)算得到的Lyapunov指數(shù)如表1所示.當(dāng)選取a為分岔參數(shù)時(shí)，狀態(tài)變量x的分岔圖如圖4所示.

表1 共存吸引子對應(yīng)的初始值和Lyapunov指數(shù)Tab.1 Initial values and Lyapunov exponents corresponding to coexisting attractors

圖3 混沌吸引子(a)、(b)、(c)、(d)、(e)、(f)和混沌周期吸引子(g)、(h)Fig.3 Chaotic attractor (a),(b),(c),(d),(e),(f) and chaotic periodic attractor (g)，(h)

圖3與圖4同種顏色代表系統(tǒng)選取的初值相同，圖3不同顏色代表的初值已經(jīng)進(jìn)行標(biāo)注說明，圖4可對比圖3確定對應(yīng)初值.在分岔圖中，圖4(g)與圖4(h)中藍(lán)色軌線隨著參數(shù)a逐漸變大，對應(yīng)的狀態(tài)變量x也逐漸過渡到密集區(qū)域.此時(shí)對應(yīng)的系統(tǒng)狀態(tài)從周期態(tài)過渡至混沌狀態(tài).結(jié)合圖3分析可以發(fā)現(xiàn)，此時(shí)藍(lán)色軌跡對應(yīng)的相圖處于周期態(tài)，與分岔圖分析結(jié)果吻合，同時(shí)對應(yīng)表1的李亞普諾夫指數(shù)沒有大于零的情況出現(xiàn)，也驗(yàn)證了周期的存在.

圖4 參數(shù)a變化下系統(tǒng)的分岔圖Fig.4 Bifurcation diagram of the system with parameter variation

3 電路實(shí)現(xiàn)

混沌系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)主要利用了運(yùn)算放大器、電阻、電容、乘法器、二極管等分立元件，搭建的模塊化電路如圖5所示，其中虛線框部分為所用的憶阻器模型.結(jié)合基爾霍夫定律以及元件的伏安特性，圖5電路對應(yīng)的狀態(tài)方程如下：

圖5 憶阻混沌電路原理圖Fig.5 Schematic diagram of memristor-based chaotic circuit

令τ=τ0t，其中τ0=100 0是時(shí)間尺度因子，結(jié)合式(1)得：

(8)

結(jié)合式(7)和式(8)，令方程右側(cè)狀態(tài)變量對應(yīng)的系數(shù)相等，可以得到式(9)：

(9)

當(dāng)a=2.6，b=-3，c=-5，d=e=1，f=-1，k=-0.5，m=1，n=-0.1時(shí)，選取電路元件參數(shù)如下：C1=C2=C3=Ca=10 nF，Rf=2 kΩ，R1=R7=Ra=100 kΩ，Rn=1 kΩ，Rb=Rc=Rd=Re=Rm=470Ω，Rg=300 kΩ.結(jié)合式(9)，可得：

R2=333.3Ω，R3=20 kΩ，R4=10 kΩ，R5=100 kΩ，R6=10 kΩ，R8=38.4 kΩ.

圖5的電路仿真相圖如圖6所示，將數(shù)值仿真圖2與相軌跡圖6對比可知，數(shù)值仿真結(jié)果與電路仿真結(jié)果基本一致，說明所提出的混沌系統(tǒng)可以物理實(shí)現(xiàn).通過改變圖5中電容的初始條件，仿真得到關(guān)于x-z平面的相圖如圖7所示.對比圖3和圖7可知，共存吸引子的數(shù)值仿真與電路仿真也基本吻合，進(jìn)一步驗(yàn)證了共存吸引子的存在.

圖6 Multisim仿真相圖Fig.6 Multisim simulation phase diagram

圖7 不同初值下平面相圖Fig.7 Plane phase diagram with different initial values

4 結(jié)語

在三維混沌系統(tǒng)上引入分段線性憶阻器，構(gòu)造了一個(gè)新的憶阻混沌系統(tǒng).該系統(tǒng)具有線平衡點(diǎn)，存在共存吸引子現(xiàn)象.利用Simulink數(shù)值仿真和Multisim電路仿真對系統(tǒng)進(jìn)行驗(yàn)證，最終得到了一致的結(jié)果，驗(yàn)證了系統(tǒng)的正確性和可實(shí)現(xiàn)性，為憶阻混沌系統(tǒng)在保密通信、圖像加密等工程領(lǐng)域的應(yīng)用提供了一定的依據(jù)，具有一定的應(yīng)用價(jià)值.