劉顯明,劉友煒

(1.華中師范大學 物理科學與技術學院，武漢 430079; 2.湖北民族大學 信息工程學院，湖北 恩施 445000)

長期以來，研究人員一直高度關注在非相對論和相對論量子力學系統(tǒng)中不同勢能函數形式的波動方程的解[1-2].高維的波動方程的解也常應用于物理化學和高能物理學的研究[3].Klein-Gordon方程是相對論量子力學和量子場論中，描述不帶自旋結構粒子的運動的相對論波動方程，是薛定諤方程的相對論形式[4].在研究具有特定勢的波動方程時，研究人員提出了大量的有效方法并推廣應用到了求解Klein-Gordon方程和Dirac方程這些相對論形式的薛定諤方程的求解.其中，典型方法有因式分解法[5-6]，特殊函數法(FAA)[7]，超對稱法(SUSY)[8]，Nikiforov-Uvarov(NU)法[9]，漸近迭代法(AIM)[10]，等.

近年來，人們在研究非相對論和相對論波動方程中對Manning-Rosen勢和Yukawa勢進行了深入研究.Onate和Ojonubah[11]引入一種一般的Yukawa勢并應用超對稱法討論了薛定諤方程的能量本征值.Ita等[12]第一次引入了一類由Manning-Rosen勢和Yukawa勢組合的疊加勢，利用參數化的NU法求解了薛定諤方程的近似解析解.同時，研究人員進一步討論了具有Manning-Rosen勢和Yukawa勢的相對論波動方程.文獻[13-14]求解了具有一般的Yukawa勢的Dirac方程的束縛態(tài)和散射態(tài)問題.文獻[15-16]計算了具有Manning-Rosen勢和Yukawa勢這類指數勢的Klein-Gordon方程的解析近似解.本文正是基于對Manning-Rosen勢和Yukawa勢的特別的研究興趣，在文獻[15-16]基礎上提出一類由具有更加一般形式的Manning-Rosen勢和Yukawa勢的線性組合而得到的新的疊加勢，并進而研究含有此類勢的高維Klein-Gordon方程的散射態(tài)解.引入的新疊加勢的形式為：

(1)

1 D維Klein-Gordon方程的分離變量

在球坐標系中，D維的Klein-Gordon方程可以寫為：

(2)

(3)

(4)

(5)

2 散射態(tài)的解析近似解

方程(5)中取S(r)=V(r)，同時引入Manning-Rosen勢和Yukawa勢的線性疊加勢(1)，Klein-Gordon徑向方程可寫成：

(6)

(7)

和Pekeris近似[18]：

(8)

考慮到Pekeris近似公式中c0參數的存在不適宜求散射態(tài)，本文將采用Greene-Aldrich近似公式，即：

(9)

圖中應用Greene-Aldrich公式選取了不同的參數值α=0.1，0.3，0.5,0.7，0.9作圖與離心項精確值進行比較.圖1 離心項Greene-Aldrich近似函數Fig.1 The centrifugal term with Greene- Aldrich approximation function

正如圖1所示，當αr較小時，式(9)和離心項的精確值符合得非常好，因而這類近似可以很好地研究粒子之間的短程相互作用.

將方程(9)代入方程(6)可得：

(10)

然后，對上式自變量做指數變換，引入新的自變量z=1-e-2αr(r∈(0,∞),z∈(0,1))，并代入方程(10)，化簡可得：

(11)

其中，

(12)

對于滿足邊界條件(11)的方程的徑向波函數，可以按“K/2π標度”標度的歸一化超幾何函數表示.現在可以設波函數的形式為：

uvJ(r)=(1-z)-iβzλu(z).

(13)

其中，

(14)

(15)

把方程(13)代入式(11)可得：

z(1-z)u″(z)+(2-2λ-z(3+2β-2λ))u′(z)-(a2+(1+β-λ)2)u(z)=0.

(16)

方程(16)為超幾何微分方程，其解可以表示為：

(17)

其中參數為：

(18)

利用方程(13)、(14)、(15)、(17)和(18),可以得到徑向波函數的散射態(tài)解為：

(19)

其中，Ν是歸一化常數.

接下來，將利用散射態(tài)波函數的漸進行為確定歸一化常數Ν和相移δl的解析表達式.根據超幾何函數2F1(a,b;ε;z)的性質：

(20)

和2F1(a,b;ε;0)=1，可以得到：

(21)

利用關系式

(22)

和方程(18),可以得到:

(23)

其中，θ為常數.

下面，把方程(22)、(23)代入方程(19),可以得到：

(24)

(25)

(26)

接下來，根據散射態(tài)和束縛態(tài)的關系，利用方程(25)中伽馬函數的性質，可計算得到能量本征值滿足方程:

(27)

把(12)、(14)、(15)、(18)代入(27)，可以得到:

(28)

此即為相對論情況下能量束縛態(tài)所滿足的方程.考慮到ν≡n=0,1,2,3,…，可見式(28)與附A中利用參數化NU法計算得到的束縛態(tài)結果(37)一致.

于是，利用相對論和非相對論的對應關系

(29)

可以很容易計算得到非相對論的束縛態(tài)轉動振動能量譜滿足的方程:

(30)

3 結論

本文提出了一種新的Manning-Rosen勢和Yukawa勢的線性疊加勢，應用超幾何方法得到了D維Klein-Gordon方程散射態(tài)的解析近似解和束縛態(tài)能量譜.本文的計算方法極大地簡化了求解類薛定諤波動方程的散射態(tài)和束縛態(tài)的求解過程.文中在解析推導的過程中采用了Greene-Aldrich提出的優(yōu)化的指數近似公式來模擬離心項勢能.這種解析的近似與α較小的短程相互作用勢能吻合的較好，因而本文的結果還可以進一步用來研究高能物理中強子的相互作用.

附A 參數化NU法計算束縛態(tài)

本節(jié)中作為不同的方法的比較，將應用參數化NU法計算束縛態(tài)，相關計算公式和詳細的計算過程見參考文獻[19].

考慮到具有如下簡化形式的波動方程:

(31)

利用參數化的NU法[19]，可以得到其能量本征值滿足方程:

(32)

這里n=0,1,2,3,….相關參數定義如下：

(33)

利用上述公式可以求解本文中的D維Klein-Gordon方程(11)對應的束縛態(tài)解.首先，比較式(11)和式(31)可確定參數：

(34)

把(34)與(33)聯(lián)合代入(32)，可得:

(35)

通過(35)式可以化簡得到:

(36)

把式(12)代入式(36)，然后化簡得到:

(37)

此即束縛態(tài)的能量本征值所滿足的方程.