湖南人文科技學(xué)院數(shù)學(xué)與金融學(xué)院 曾偉華 龍承星

數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，是反映自然規(guī)律的一種基本數(shù)學(xué)模型,是高中數(shù)學(xué)教學(xué)與高考考查的重要內(nèi)容。數(shù)列通項公式an=f（n）表明了數(shù)列中項an與項數(shù)n之間的關(guān)系，對闡明數(shù)列整體結(jié)構(gòu)及每一項的特點具有重要意義。

一、公式法

二、累加法

對形如an=an-1+f（n）型的遞推式，我們能通過移項得到相鄰兩項的差為一個特殊的函數(shù)關(guān)系an-an-1=f（n），再用代入法將所有式子累加起來相互抵消，就可得到只含有a1、an的式子(在化解過程中，通常要使用等差數(shù)列求和、等比數(shù)列求和、裂項相消、錯位相減等方法)，最后通過整理得出所求數(shù)列的通項公式。

三、累乘法

四、數(shù)學(xué)歸納法

通過計算數(shù)列的前面幾項，再觀察數(shù)列中an與項數(shù)n的關(guān)系，猜想數(shù)列通項公式的表達(dá)式，最后再利用數(shù)學(xué)歸納法來證明所猜想的表達(dá)式對任意項數(shù)n都成立，即所猜想的表達(dá)式為所求數(shù)列的通項公式。

五、對數(shù)變換法

解題分析：關(guān)于此類只含有乘法的遞推公式，要想辦法將乘法轉(zhuǎn)化成加法，就可以運用取對數(shù)的思想，由此處理遞推公式更容易構(gòu)造特殊函數(shù)進(jìn)行求解，該方法體現(xiàn)了算法思想和轉(zhuǎn)換思想。此類方法的優(yōu)點是將復(fù)雜的運算簡單化，降低推理難度，不足之處是要求遞推式左右兩邊只含有乘法運算，且取值范圍大于零。

六、構(gòu)造法

運用常用的構(gòu)造引理構(gòu)造新的數(shù)列求解，將陌生的數(shù)列轉(zhuǎn)換為兩類特殊的數(shù)列，再來進(jìn)行處理。該方法就是不斷地將“未知”轉(zhuǎn)換成“已知”，極富技巧性和創(chuàng)造性，難度系數(shù)很高，難以把控，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)換化歸的數(shù)學(xué)思想，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性和發(fā)散性思維。

七、倒數(shù)變換法

對于分子簡單而分母相對復(fù)雜的等式分式，可以考慮等式兩邊同時取倒數(shù)，再分離常數(shù)，構(gòu)造新的等比數(shù)列來過渡，從而得到數(shù)列通項公式。要注意的是分母不能為零，遇到特殊的就需要進(jìn)行說明。

本文總結(jié)了七種求解數(shù)列通項公式的方法，其中，公式法中體現(xiàn)了分類討論思想，數(shù)學(xué)歸納法體現(xiàn)了由特殊到一般的思想和歸納總結(jié)的數(shù)學(xué)思想，累加法、累乘法、構(gòu)造法、對數(shù)變換法和倒數(shù)變換法則體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化劃歸思想，特征方程法與導(dǎo)數(shù)積分法體現(xiàn)了函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)換思想。由此可以看出數(shù)列通項公式的求解考題之靈活多變，所以數(shù)學(xué)方法的積累和數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)及其重要，希望老師和學(xué)生都能在這方面多下功夫，提高自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。