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        方程的兩個根的和差積商的上下界

        2021-06-05 07:36:16華南農(nóng)業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院黃一德田秀蓉
        數(shù)學(xué)大世界 2021年10期

        華南農(nóng)業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院 黃一德 田秀蓉

        一、主要結(jié)果

        我們把本文的主要結(jié)果寫成一個定理。

        (一)定理

        (二)不等式(1)的證明

        證明不等式(1),需要用到下面幾條事實。

        當0<t<1時,

        e(1-t)<e1-t,

        2-t<e1-t。

        這些不等式可以直接證明,也可以參考文獻 [2] 的5.3節(jié)不等式1,18,40,41。

        四次多項式

        p1(t)=(e-2)+(3e-2)t-3et2+et3-2et4

        有兩個實數(shù)根:

        r'1=-0.1023,r1=0.7658

        和一對共軛復(fù)根:

        -0.0818-1.2962i,-0.0818+1.2962i。

        當r'1<t<r1時,p1(t)>0。

        六次多項式

        p2(t)=3e-8+(6e-8)t-11et2+8et3-7et4+2et5-et6

        有兩個實數(shù)根:

        r'2=-0.0175,r2=0.3591

        和兩對共軛復(fù)根:

        0.7229-1.3983i,0.7229+1.3983i;

        0.1063-1.9087i,0.1063+1.9087i。

        當r'2<t<r2時,p2(t)>0。

        三次多項式

        p3(t)=-1+4t-4t2+2t3

        有一個實數(shù)根:

        r3=0.3522

        和一對共軛復(fù)根:

        0.8239+0.8607i,0.8239-0.8607i。

        當t>r3時,p3(t)>0。

        五次多項式

        p4(t)=-4+19t-21t2+15t3-6t4+t5

        有一個實數(shù)根:

        r4=0.2832

        和兩對共軛復(fù)根:

        0.5296-1.4198i,0.5296+1.4198i;

        2.3289-0.8534i,2.3289+0.8534i。

        當t>r4時,p4(t)>0。

        我們不需要知道多項式p1(t),p2(t),p3(t),p4(t)的根的準確值,只需要知道r'1<r'2<0<r4<r3<r2<r1就夠了。

        令x1=et,0<t<1,那么a=e-tt,上條不等式可以改寫為:

        下面證明當0<t<1時,F(xiàn)'(t)<0,即證明F1(t)>0。

        情形1:0<t<r2,

        因此,在[r3,1]上F1(t)是減函數(shù),從而當r3≤t<1時,F(xiàn)1(t)>F1(1)=0。

        上面證明了當0<t<1時,F(xiàn)'(t)<0,所以在區(qū)間(0,1)上,F(xiàn)(t)是減函數(shù),從而當0<t<1時,F(xiàn)(t)>F(1)=0。

        所以在區(qū)間(0,1)上,f(t)是減函數(shù),從而當0<t<1時,f(t)>f(1)=0。

        (四)不等式(3)的證明

        把δ作用于不等式(1)的不等號兩邊,再開平方,即得不等式(3)。

        (五)不等式(4)的證明

        因為函數(shù)θ(x)=eax,x∈(-∞,+∞)是增函數(shù),所以把θ作用于不等式(3)的不等號兩邊,即得不等式(4)。

        二、對主要結(jié)果的簡略補充

        (1)x2-x1的上下界還有

        但不等式(3)的最弱的上下界都分別比這個上下界強。

        (2)x1x2和x1+x2的大小有如下關(guān)系:

        利用這個不等式,可以從x1+x2的上下界得到x1x2的上下界,或從x1x2的上下界得到x1+x2的上下界。但經(jīng)驗證,這種方法對定理的結(jié)果幾乎沒有改進作用,因此本文不詳細討論這個不等式。唯一略有改進的地方是,從不等式(2)的下界可得x1x2的一個新下界:

        僅當a<0.0747486400610507時,

        即僅當此時,這個新下界比不等式(1)的下界好。

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