陳學(xué)前， 沈展鵬， 劉信恩， 范宣華， 胡 杰

(1. 中國工程物理研究院 總體工程研究所，四川 綿陽 621999；2. 工程材料與結(jié)構(gòu)沖擊振動(dòng)四川省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 綿陽 621999)

螺栓連接是航空、航天、武器工程及各類機(jī)械結(jié)構(gòu)的主要連接形式之一，螺栓連接結(jié)合部的力學(xué)行為對整體結(jié)構(gòu)剛度及響應(yīng)的影響至關(guān)重要。但是，由于螺栓連接結(jié)合部的力學(xué)特性受結(jié)合面微觀特征、連接件的材料特性、螺栓預(yù)緊力、幾何公差等多因素影響，并且這些因素在同一批產(chǎn)品中會表現(xiàn)出一定不確定性，或者針對同一樣件，不同次裝配中其螺栓預(yù)緊力、結(jié)合面微觀接觸形成等也表現(xiàn)出一定不確定性?？偟膩碚f，結(jié)構(gòu)螺栓連接界面表現(xiàn)出復(fù)雜的非線性及不確定性力學(xué)行為。為滿足各行業(yè)結(jié)構(gòu)高精度、高可靠性的數(shù)字化設(shè)計(jì)需求，使對螺栓連接結(jié)合部力學(xué)行為的研究尤為迫切，相關(guān)力學(xué)問題已成為各行業(yè)發(fā)展過程中需要亟待研究與解決的重要基礎(chǔ)問題。

從研究方法分類，螺栓連接物理本構(gòu)模型的研究可以分為基于結(jié)合面微細(xì)觀物理機(jī)理的正向方法與基于宏觀試驗(yàn)結(jié)果反向識別結(jié)合面參數(shù)的方法。正向方法由于相關(guān)參數(shù)具有確定的物理意義，且可以建立微細(xì)觀到宏觀模型的聯(lián)系，故近些年逐漸成為研究熱點(diǎn)。如Jiang等[1]基于分形理論與赫茲理論建立了粗糙接觸面考慮彈塑性變形的法向和切向接觸剛度模型。Brake[2]基于材料特性和接觸力學(xué)研究兩個(gè)球面接觸在法向載荷下的變形，模型中根據(jù)接觸實(shí)際將接觸區(qū)域分為彈性、彈塑性和完全塑性變形三部分。Bryant等[3]根據(jù)彈塑性有限元理論，利用正弦形微凸體代替真實(shí)粗糙表面，研究從彈性到塑性變形階段的接觸過程。張學(xué)良等[4-6]考慮了微接觸大小分布的域擴(kuò)展因子的影響，建立了結(jié)合面的法向接觸剛度模型，并基于接觸分形理論研究了結(jié)合部薄層單元橫觀各向同性材料參數(shù)的計(jì)算取值。楊紅平等[7]將兩個(gè)粗糙表面的接觸簡化成一個(gè)剛性光滑平面與一個(gè)彈性粗糙表面接觸，利用分形理論和接觸力學(xué)建立結(jié)合面法向接觸剛度計(jì)算模型。田紅亮等[8-9]以修正分形幾何學(xué)理論和赫茲法向接觸力學(xué)方程為基礎(chǔ)，推導(dǎo)了柔性結(jié)合面法向接觸剛度與阻尼，以及基于接觸分形理論研究了結(jié)合部薄層單元各向同性材料參數(shù)的計(jì)算取值。王東等[10]基于Mindlin彈性接觸理論和KD模型，應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)方法研究了一種描述粗糙結(jié)合面的跨尺度黏滑摩擦行為的參數(shù)化力學(xué)模型。李玲等[11-12]通過對結(jié)合面微觀特性的表征，并從結(jié)合面微觀尺度入手，研究了結(jié)合面法向剛度與切向剛度以及不同粗糙表面對法向剛度的影響。但正向方法需要結(jié)合面表面形貌的準(zhǔn)確測量，相關(guān)參數(shù)的準(zhǔn)確測量仍具有相當(dāng)難度。因此，基于宏觀結(jié)構(gòu)試驗(yàn)結(jié)果的參數(shù)辨識在連接結(jié)合面建模的實(shí)際工程中也有較廣應(yīng)用。如蔡力鋼等[13]通過法向靜態(tài)拉伸試驗(yàn)結(jié)果，利用結(jié)合面有效作用面積與被連接件的法向剛度模型，間接識別了結(jié)合面法向靜態(tài)剛度。Schmidt等[14]通過螺栓連接結(jié)構(gòu)的切向受力試驗(yàn)，推導(dǎo)了接觸面等效剪切模量和切向剛度的關(guān)系。董冠華等[15]基于模態(tài)分析理論結(jié)合螺栓連接結(jié)構(gòu)典型模態(tài)頻率對結(jié)合部動(dòng)剛度辨識進(jìn)行了辨識。

當(dāng)前，對螺栓連接界面物理本構(gòu)建模無論是在微細(xì)觀還是在宏觀層面都得到了較大發(fā)展，但對其連接動(dòng)態(tài)特性的不確定性研究相對較少，并且對結(jié)合面阻尼特性的研究也相對較少。姜東等[16]以四螺栓搭接梁為研究對象，開展了接觸界面的薄層單元建模及不確定性參數(shù)識別方法研究，但文章所用數(shù)據(jù)為仿真得到的虛擬試驗(yàn)數(shù)據(jù)。本文基于參數(shù)反向識別思想，采用薄層單元建立典型螺栓連接件接觸界面的有限元模型，并根據(jù)結(jié)構(gòu)不同次裝配的正弦振動(dòng)試驗(yàn)結(jié)果，采用區(qū)間不確定性參數(shù)模型修正方法識別得到薄層單元的彈性模量、泊松比與損耗因子的區(qū)間。

1 試驗(yàn)研究

針對如圖1所示的典型螺栓連接結(jié)構(gòu)(長方體鋼結(jié)構(gòu)，長、寬、高分別為150 mm，110 mm，99 mm，質(zhì)量為12.8 kg)，通過六個(gè)M6的螺栓(螺栓為8.8級全螺紋六角頭螺栓，擰緊時(shí)配以標(biāo)準(zhǔn)平墊圈和彈簧墊圈使用)與鋼質(zhì)夾具圓盤相連，夾具圓盤直接與振動(dòng)臺相連。當(dāng)螺栓中預(yù)緊力矩較大時(shí)，螺栓連接表現(xiàn)出較弱的非線性特性，工程中一般可通過結(jié)構(gòu)模態(tài)試驗(yàn)或振動(dòng)試驗(yàn)研究其連接剛度與阻尼特性。本文通過正弦掃頻振動(dòng)試驗(yàn)研究螺栓連接結(jié)構(gòu)的軸向共振頻率與阻尼比。點(diǎn)A1～A4是控制點(diǎn)，點(diǎn)A5～A8是加速度響應(yīng)測點(diǎn)。正弦掃頻振動(dòng)試驗(yàn)采用點(diǎn)A1～A4做四點(diǎn)加速度響應(yīng)平均控制，控制基準(zhǔn)譜采用20～2 000 Hz的定加速度譜曲線，譜線數(shù)為801線。

圖1 典型螺栓連接結(jié)構(gòu)試驗(yàn)示意圖Fig.1 Sketch map of classic bolted joint structure experiment

對該螺栓連接結(jié)構(gòu)開展螺栓預(yù)緊力矩為7 N·m，振動(dòng)量級為2g的正弦掃頻振動(dòng)試驗(yàn)。每次振動(dòng)試驗(yàn)結(jié)束，更換連接螺栓，對螺栓連接系統(tǒng)進(jìn)行重新拆裝，重復(fù)開展11次振動(dòng)試驗(yàn)，獲得了系統(tǒng)軸向振動(dòng)的固有頻率和阻尼比，試驗(yàn)結(jié)果如表1所示。從表1可以看出，結(jié)構(gòu)軸向振動(dòng)的固有頻率和阻尼比具有一定的不確定性。

表1 螺栓連接系統(tǒng)固有頻率與模態(tài)阻尼比的試驗(yàn)結(jié)果Tab.1 Experimental results of natural frequency and modal damping ratio about the bolted joint system

2 基于薄層單元的有限元建模

實(shí)際螺栓連接結(jié)構(gòu)中，在螺栓連接結(jié)合部存在具有一定厚度的過渡區(qū)域，如圖2所示，該過渡區(qū)域剛度與阻尼特性與結(jié)構(gòu)其他區(qū)域存在較大差異，是影響整個(gè)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性的主要因素之一。

圖2 連接結(jié)合部示意圖Fig.2 Sketch map of joint interface

在連接結(jié)合部出現(xiàn)如圖2所示過渡區(qū)域的主要原因是結(jié)構(gòu)的實(shí)際粗糙表面，為準(zhǔn)確模擬結(jié)合部的連接動(dòng)力學(xué)特性，常常將結(jié)合部接觸界面兩側(cè)分離出一定厚度的薄層單元，薄層單元材料可以設(shè)置成各向同性或橫觀各向異性。本文主要研究螺栓連接界面的軸向特性，故將薄層單元材料參數(shù)按各向同性處理。

薄層單元的厚度可以定義為結(jié)合部兩接觸材料微凸體層厚度h1和h2之和?？紤]現(xiàn)有機(jī)床結(jié)合面的表面粗糙度，根據(jù)金屬表面微凸體表層微觀結(jié)構(gòu)， 微凸體層厚度大致在0.5 mm附近波動(dòng)，所以薄層單元的厚度可取為1 mm。

薄層單元的密度參考田紅亮等的方法確定，由于本文典型螺栓連接兩部件均為鋼，故薄層單元密度取7 800 kg/m3。

根據(jù)上述分析，建立典型螺栓連接結(jié)構(gòu)的有限元模型，如圖3所示。在所建立的有限元模型中，除薄層單元以外的其他部分材料參數(shù)均可確定，但可以通過模態(tài)分析與模態(tài)應(yīng)變能理論建立薄層單元材料參數(shù)與模態(tài)頻率與阻尼比之間的關(guān)系，并根據(jù)結(jié)構(gòu)的模態(tài)試驗(yàn)結(jié)果識別得到薄層單元彈性模量、泊松比與損耗因子等材料參數(shù)。

圖3 螺栓連接結(jié)構(gòu)有限元模型Fig.3 Finite element model of the bolted joint structure

所建模型自由振動(dòng)的微分方程可寫成

(1)

式中：M為結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣；K為結(jié)構(gòu)的剛度矩陣?？紤]到材料的損耗因子，K為復(fù)剛度矩陣，即

K=KR+iKI

(2)

KR=K1R+K2R

(3)

KI=η1K1R+η2K2R

(4)

式中：KR，KI分別為結(jié)構(gòu)復(fù)剛度的實(shí)部和虛部；K1R，K2R分別為結(jié)構(gòu)薄層單元、其他部件材料的實(shí)剛度；η1，η2分別為結(jié)構(gòu)薄層單元、其他部件材料的損耗因子。

假定式(1)的解的形式為

(5)

(6)

(7)

式中，η(r)為阻尼結(jié)構(gòu)第r階的損耗因子，與第r階模態(tài)阻尼比ξ(r)的關(guān)系為η(r)=2ξ(r)。

聯(lián)合式(1)、式(5)～式(7)，得到

(8)

要計(jì)算η(r)的近似值，可以用結(jié)構(gòu)的實(shí)特征向量來代替其復(fù)特征向量。這樣，式(8)可以變換成

(9)

(10)

由式(9)～式(10)，可以得到

(11)

根據(jù)彈性模態(tài)理論，對給定第r階模態(tài)振型，其應(yīng)變能是

V(r)=φ(r)TKRφ(r)

(12)

由式(4)，式(11)和式(12)，得到

(13)

綜上，該螺栓結(jié)構(gòu)軸向振動(dòng)固有頻率與模態(tài)阻尼比有以下數(shù)學(xué)模型

f=f(E1,E2,υ1,υ2,ρ1,ρ2)

(14)

ξ=ξ(E1,E2,υ1,υ2,ρ1,ρ2,η1,η2)

(15)

式中：E1,E2分別為薄層單元及其他部位的彈性模量；υ1,υ2分別為薄層單元及其他部位的泊松比。本文中，其他部位的彈性模量、泊松比、材料損耗因子均是確定性值，分別取200 GPa，0.3，0.001；所有材料的密度均取7 800 kg/m3；不同次裝配帶來的結(jié)構(gòu)軸向動(dòng)態(tài)特性的不確定性由薄層單元的彈性模量E1、泊松比υ1、材料損耗因子η1的不確定性表征，通過試驗(yàn)結(jié)果對不確定性參數(shù)的區(qū)間進(jìn)行識別。

3 不確定性參數(shù)識別

在有限元模型中用薄層單元材料彈性模量E1、泊松比υ1的不確定性表征螺栓連接界面動(dòng)態(tài)連接剛度的不確定性，薄層單元的材料損耗因子η1表征連接界面動(dòng)態(tài)阻尼的不確定性，通過不確定性有限元模型修正方法對彈性模量E1、泊松比υ1及材料損耗因子η1進(jìn)行量化。

考慮到試驗(yàn)結(jié)果小樣本情況，首先，通過核密度估計(jì)(kernel density estimation，KDE)方法對螺栓連接系統(tǒng)的固有頻率進(jìn)行估計(jì)以獲得用于模型修正的頻率試驗(yàn)結(jié)果區(qū)間。估計(jì)得到的頻率、模態(tài)阻尼比試驗(yàn)結(jié)果區(qū)間分別為[1 767.95，1 814.52] Hz和[0.258 6，0.394 1]?？梢钥闯觯鶕?jù)KDE分析獲得的固有頻率、模態(tài)阻尼比試驗(yàn)結(jié)果區(qū)間略寬于試驗(yàn)數(shù)據(jù)本身的區(qū)間，該結(jié)果應(yīng)更可信。

接下來，假設(shè)待修正參數(shù)E1，υ1，η1的原始區(qū)間分別是[1.5 2.0]×109Pa，[0.2 0.3]，[0.05 0.20]。采用文獻(xiàn)[17]中的基于主成分分析(principal component analysis，PCA)的區(qū)間不確定性有限元修正方法，識別得到待修正參數(shù)E1，υ1，η1的不確定性區(qū)間。修正過程中，為獲得樣本設(shè)計(jì)點(diǎn)，每個(gè)迭代步通過拉丁超立方設(shè)計(jì)獲得20個(gè)樣本點(diǎn)，也就是說，每迭代一次只需進(jìn)行20次確定性有限元計(jì)算。該算例模型修正經(jīng)過六次迭代即達(dá)到收斂條件。

經(jīng)模型修正得到待修正參數(shù)E1，υ1，η1的修正區(qū)間分別是[1.661 1.815]×109Pa，[0.236 0.267]，[8.852×10-3，1.318×10-2]，修正前后待修正參數(shù)區(qū)間的圖形比較，如圖4所示，從圖4可以看出，模型修正后，待修正參數(shù)區(qū)間明顯縮小。圖5是薄層單元3個(gè)材料參數(shù)與結(jié)構(gòu)軸向振動(dòng)固有頻率、模態(tài)阻尼比的散點(diǎn)分布圖，從圖5可以看出，薄層單元彈性模量與結(jié)構(gòu)軸向固有頻率具有較強(qiáng)相關(guān)性，薄層單元泊松比與固有頻率具有較弱相關(guān)性，而薄層單元損耗因子與固有頻率幾乎無相關(guān)性；薄層單元損耗因子與模態(tài)阻尼比具有極強(qiáng)的相關(guān)性，但薄層單元彈性模量、泊松比與模態(tài)阻尼比基本沒有相關(guān)性，這些現(xiàn)象與認(rèn)識完全一致。

圖4 待識別參數(shù)修正前后區(qū)間比較Fig.4 Comparisons between the original and the updated intervals of the updating parameters

圖5 薄層單元材料參數(shù)與結(jié)構(gòu)軸向振動(dòng)特性的散點(diǎn)分布圖Fig.5 Scatter map between the material parameters of thin layer element and the vibration characteristics of the bolted joint structure

圖6是模型修正后系統(tǒng)的固有頻率、模態(tài)阻尼比的散點(diǎn)分布圖，從圖6可以看出，修正后系統(tǒng)固有頻率、模態(tài)阻尼比計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果二者更吻合。模型修正前，固有頻率計(jì)算結(jié)果區(qū)間為[1 690.9，1 896.4] Hz，與試驗(yàn)結(jié)果的差別為[-4.36%，4.51%]，模態(tài)阻尼比計(jì)算結(jié)果區(qū)間為[0.09%，0.64%]，與試驗(yàn)結(jié)果的差別為[-64.47%，63.63%]；修正后，固有頻率計(jì)算結(jié)果區(qū)間為[1 760.8，1 819.9] Hz，與試驗(yàn)結(jié)果的差別為[-0.40%，0.30%]，模態(tài)阻尼比計(jì)算結(jié)果區(qū)間為[0.24%，0.41%]，與試驗(yàn)結(jié)果的差別為[-6.76%，4.57%]；固有頻率計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果的最大差別由修正前的4.51%變?yōu)樾拚蟮?.40%，模態(tài)阻尼比計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果的最大差別由修正前的64.47%變?yōu)樾拚蟮?.76%。綜上，通過模型修正識別得到的薄層單元材料參數(shù)能較好反映接觸界面物理實(shí)際。

圖6 結(jié)構(gòu)固有頻率與模態(tài)阻尼比的散點(diǎn)分布圖Fig.6 Scatter map between the natural frequency and the modal damping ratio

4 結(jié) 論

本文采用薄層單元模擬螺栓連接接觸界面的方法，建立了典型螺栓連接結(jié)構(gòu)的有限元模型，并根據(jù)該結(jié)構(gòu)的振動(dòng)試驗(yàn)結(jié)果樣本，采用基于PCA方法的區(qū)間不確定性模型修正方法，對薄層單元的彈性模量、泊松比與材料損耗因子不確定性區(qū)間進(jìn)行了識別。模型修正結(jié)果表明，考慮材料參數(shù)不確定性的薄層單元可以較準(zhǔn)確模擬螺栓連接接觸界面的物理實(shí)際。并且，本文利用薄層單元修正后的損耗因子來表征連接界面的阻尼特性，使連接界面的阻尼特性變成一種材料參數(shù)，可方便應(yīng)用于不同結(jié)構(gòu)的類似連接，以便能較準(zhǔn)確預(yù)測不同結(jié)構(gòu)的各階模態(tài)阻尼比。由于螺栓連接結(jié)構(gòu)服役過程中的多次裝配帶來其動(dòng)力學(xué)特性的不確定性是客觀存在，故在對螺栓連接結(jié)構(gòu)進(jìn)行高置信度數(shù)值分析時(shí)需要考慮連接不確定性的影響。本文識別得到的典型螺栓連接結(jié)合部薄層單元材料參數(shù)的不確定性區(qū)間值可為建立類似典型螺栓連接結(jié)構(gòu)更可信的動(dòng)力學(xué)模型提供參考。