何 峰，楊 松，任天嬌，卞紅杰，付恩越

（遼寧工程技術(shù)大學(xué) 力學(xué)與工程學(xué)院，遼寧 阜新 123000）

超靜定梁理論一直是結(jié)構(gòu)分析中非常重要的一部分，對其解析解的獲取也是工程界和學(xué)術(shù)界不斷探索的內(nèi)容。而兩端固定、受均布載荷梁的平面應(yīng)力解由Ding HJ 等[1]獲得；戴瑛[2]分析了兩端固定受均布載荷短梁的平面應(yīng)力解，改進簡化了邊界條件，并通過數(shù)值方法驗證了其解的準(zhǔn)確度；張勁夫[3]應(yīng)用瑞利-里茲法近似求得考慮固定端軸向約束力影響下的解析解并得到固定端梁的撓曲線函數(shù)和撓曲線形狀；王敏中[4]利用最小二乘法，對固定端采用位移平方為最小的邊界條件；邢靜忠[5]將Maple 引入力學(xué)教學(xué)，引導(dǎo)和培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)工具的習(xí)慣和能力，強化算法設(shè)計和程序的通用性和靈活性，為處理復(fù)雜問題提供幫助；陳小亮[6]等利用Maple 軟件探索了彈性力學(xué)應(yīng)力函數(shù)逆解法的計算機求解規(guī)范流程；盧小雨[7]等利用Maple 來求解彈性力學(xué)中的一些具體問題。

文章基于Maple 強大的符號運算能力，針對已驗證均布載荷作用下兩端固定等截面梁應(yīng)力函數(shù)有效性的前提下，結(jié)合彈性力學(xué)逆解法思想，編制Maple 程序，修正了文獻[2]解析解，應(yīng)用得到精確解析解與文獻[3]和有限元模擬結(jié)果進行精度的對比。

1 單跨三次超靜定梁彎曲問題

考慮單位厚度、矩形截面的梁，兩端固定，梁的上表面受均布載荷q的作用，下表面不受力，梁跨長為l，梁的高度為h，體力不計，如圖1 所示。

圖1 均布載荷作用單跨三次超靜定梁[1-3]

依據(jù)文獻[1-2]中采用的重調(diào)和應(yīng)力函數(shù)U為7 項五次多項式，并驗證了其準(zhǔn)確度：

式中：a，b，c，d，e，f，g是7 個待定系數(shù)，由邊界條件來確定。

2 彈性力學(xué)逆解法與Maple 求解

彈性力學(xué)逆解法思想：

（1）給出滿足條件的應(yīng)力函數(shù)；（2）驗證應(yīng)力函數(shù)是否滿足相容方程；（3）根據(jù)應(yīng)力函數(shù)和應(yīng)力分量關(guān)系式求解應(yīng)力分量；（4）結(jié)合幾何方程和物理方程，求解位移分量；（5）最后根據(jù)邊界條件列出方程求出待定系數(shù)，最終得到應(yīng)力分量和位移分量。

Maple 程序?qū)崿F(xiàn)如下：

（1）輸入應(yīng)力函數(shù)

（2）驗證是否滿足相容方程，經(jīng)驗證該等式為0，所以滿足相容方程。

equ0:=diff(U,x$4)+2*diff(U,x$2,y$2)+diff(U,y$4)結(jié)果為0。

（3）求應(yīng)力分量

（4）求位移分量

根據(jù)幾何方程和物理方程，建立偏微分方程組并求解位移分量。

為了符合彈性力學(xué)位移分量表示方式，再對其積分常數(shù)進行變換，Maple 程序最終得到位移分量并經(jīng)簡化整理表達式如下：

而文獻[2]位移分量表達式為

通過Maple 程序求解結(jié)果與文獻[2]對比可知文獻[2]水平位移分量多了一項2（1+μ）fy，豎向位移分量少了一項2（1+μ）fx，所以導(dǎo)致文獻[2]求解結(jié)果誤差大。其中：ω，u0，v0為積分常數(shù)，由位移邊界條件確定。

（5）邊界條件

細(xì)長梁固支邊界條件根據(jù)文獻[1－2]的表示方法，邊界條件為如下形式：

由于Maple 程序求解位移為方程組，為方便程序求解令U1：＝u（x，y）；V1：＝v（x，y）；根據(jù)邊界條件式（5）Maple程序如下：

由邊界條件（5）式得到12 個方程（其中y=±h/2，τxy=0邊界條件列出的方程非獨立，有效方程10 個），最終確定的7 個系數(shù)和3 個積分常數(shù)分別為

（6）應(yīng)力分量和位移分量

按邊界條件（5）式，編制Maple 計算程序如下：

3 應(yīng)用分析

設(shè)梁力學(xué)及幾何參數(shù)如下：載荷集度q=50N/m，彈性模量E=2.0lel1Pa，泊松比為μ=0.3；長度l=1m，橫截面積S=6e-5m2；寬度為0.02m，高度為0.003m，截面慣性矩Iz＝4.5e-11m4。

3.1 有限元模擬

結(jié)合有限元法優(yōu)點，其可以對固定端邊界面上的所有節(jié)點施加位移為零的約束，并隨著節(jié)點數(shù)目的增多，可以無限接近固定端真實的位移邊界，因而有限元結(jié)果常作為理論解近似程度的比較依據(jù)；通過建立兩端固定梁的有限元模型，其網(wǎng)格數(shù)69，節(jié)點數(shù)139；邊界及施加載荷見圖2；最終模擬得到梁的最大撓度：vmax=0.000325m。

3.2 文獻[3]Maple 程序?qū)崿F(xiàn)及梁軸線撓曲線

依據(jù)文獻[3]應(yīng)用瑞利-里茲法近似求得考慮固定端軸向約束力影響下的解析解Maple 程序如下：

通過運行以上Maple 程序得到梁軸線撓度方程、撓曲線見圖3 及中點處的撓度如下：

3.3 論文梁軸線撓度方程及撓曲線

依據(jù)前文位移分量表達式（7）及梁的參數(shù)，Maple 程序如下：

（4）小結(jié)

通過有限元模擬得到最大撓度為0.000325m、論文及文獻[3]梁軸線中點處最大撓度分別為0.000576m 和0.00491m；根據(jù)算例結(jié)果及圖3-4 梁撓曲線形態(tài)可知，論文解析解結(jié)果與有限元模擬結(jié)果為同一數(shù)量級，且更加逼近真實結(jié)果。而文獻[3]結(jié)果與論文和有限元結(jié)果相差一個數(shù)量級，其原因為文獻[3]采用了材料力學(xué)中撓曲線近似微分方程，其中忽略了剪力對梁變形的影響和轉(zhuǎn)角前提得到的。

4 結(jié)論

（1）基于文獻[1-2]對兩端固定梁受均布載荷作用下應(yīng)力函數(shù)形式已經(jīng)驗證準(zhǔn)確性的前提下，應(yīng)用彈性力學(xué)逆解法思想，編制Maple 計算程序，對文獻[2]解析解進行了修正，得到了均布載荷作用單跨三次超靜定梁精確的應(yīng)力分量和位移分量表達式。

圖2 兩端固定受均布載荷作用的梁有限元模擬

圖3 文獻[3]梁的撓曲線

圖4 兩端固定受均布載荷作用的梁撓曲線

（2）結(jié)合具體算例，通過有限元模擬與論文解析解對比，得到均布載荷作用單跨三次超靜定梁撓曲線和中點處最大撓度同處一個數(shù)量級，并對文獻[3]編制Maple 計算程序，驗證了其結(jié)果的準(zhǔn)確性，得到的梁中點的最大撓度與論文結(jié)果相差一個數(shù)量級，進一步證明了采用彈性力學(xué)方法解決相似問題的精確性。